初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形与旋转）：等腰直角三角形旋转形成的四边形与其关系

【典例探究】 例1 已知，如图1，正方形ABCD和正方形BEFG，三点A、B、E在同一直线上，连接AG和CE， （1）试确定线段 AG和线段CE有什么关系？并说明理由． （2）将正方形BEFG绕点B顺时针旋转到图2的位置时，（1）中的结论是否还成立？请说明理由． （3）若在图2中连接AE和CG，且AE=7，CG=3，求正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和． （2）有特殊推广到一般位置，方法类似（1），由SAS证明△ABG≌△CBE，得出AG=CE，由角的互余关系得出∠2+∠BCE=90°，得出∠AHC=90°，得出AG⊥CE； （3）连接AC、EG，设AG、CE交点为H，由（2）得AG⊥CE，由勾股定理求出AC2+EG2=CG2+AE2，求出AC2+EG2，然后由正方形的面积等于对角线平方的一半求解即可． 解答：（1）AG=CE，且AG⊥CE．理由如下： 延长AG交CE于H，如图1所示： ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴AB=CB，BG=BE，∠ABG=∠CBE=90°，∴△ABG≌△CBE（SAS）， ∴AG=CE，∠BAG=∠BCE， ∵∠BCE+∠BEC=90°，∴∠BAG+∠BEC=90°， ∴∠AHE=90°，∴AG⊥CE； （2）AG=CE，且AG⊥CE仍然成立．理由如下： 如图2所示： ∵四边形ABCD和四边形BEFG是正方形， ∴AB=CB，BG=BE，∠ABC=∠EBG=90°， ∵∠ABG=∠ABC+∠CBG，∠CBE=∠EBG+∠CBG， （3）连接AC、EG，如图3所示： 由（2）得：AG⊥CE， 在Rt△CGH中，CG2=CH2+GH2， 在Rt△AEH中，AE2=AH2+EH2， ∴CG2+AE2=CH2+GH2+AH2+EH2=（CH2+AH2）+（GH2+EH2）=AC2+EG2， ∵AE=7，CG=3，∴AC2+EG2=32+72=58， ∴正方形ABCD和正方形BEFG的面积之和=AB2+BE2= 【方法破解】 如图1，两个等腰直角三角形涉及的旋转中，顺次连接四个底角顶点形成的四边形中，知道一组对边的长度，可得到另一组对边平方和， 如图2，放在两个共顶点的正方形中，涉及共定点及其所对的对角线所形成的图形中同样成立，往往涉及等腰直角三角形（正方形）边长或面积与形成的四边形中边长的关系 【学以致用】 1.已知，如