初中数学破题致胜微方法（等腰直角三角形与旋转）：等腰直角三角形旋转中的最值2

【典例探究】 例1：（2016春•江阴市期中）在数学兴趣小组活动中，小明进行数学探究活动．将边长为2的正方形ABCD与边长为3的正方形AEFG按图1位置放置，AD与AE在同一条直线上，AB与AG在同一条直线上． （1）小明发现DG⊥BE，请你帮他说明理由． （2）如图2，小明将正方形ABCD绕点A逆时针旋转，当点B恰好落在线段DG上时，请你帮他求出此时△ADG的面积． （3）如图3，若小明将正方形ABCD绕点A继续逆时针旋转，顺次连接BD、DE、EG、GB，请你直接写出四边形BDEG面积的最大值________. 分析：（1）利用正方形得到条件，判断出△ADG≌△ABE从而∠AEB+∠ADG=90°即可； （2）利用正方形的性质在Rt△AMD中，∠MDA=45°，AD=2从而得出AM=DM= ，在Rt△AMG中，AM2+GM2=AG2从而得出GM= 即可；   （3）方法一：如图3， 作DN⊥AE交EA的延长线与N，作BI⊥AG， ∵四边形ABCD是边长为2的正方形，∴AB=AD=2， ∴S四边形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE 当0°＜α≤90°时， S四边形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE 当α=90°时，S有最大值， 当90°＜α＜180°时， 0°＜180°-α＜90°，设β=180°-α S四边形BDEG=S△ABG+S△ABD+S△ADE+S△AEG=S△ABD+S△AEG+S△ABG+S△ADE 方法二：对角线BE、DG相等且互相垂直，则四边形的面积为 ， ，所以DG的最大值为5，面积的最大值为 ∵△DEP中，∠AEB+∠ADG+∠DPE=180°,∴∠DPE=90°∴DG⊥BE． （2）如图2，过点A作AM⊥DG交DG于点M，∠AMD=∠AMG=90°, ∵BD是正方形ABCD的对角,∴∠MDA=45°, 在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2∴AM=DM= , 在Rt△AMG中，∵AM2+GM2=AG2,∴GM= ,∵DG=DM+GM= + , ∴S△ADG = , （3） 【方法破解】 （1）如图， ∠BAG=α，0°＜α≤90°，sinα随α增大而增大；90°≤α＜180°sinα随α增大