精品解析：云南楚雄彝族自治州牟定县第一高级中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

云南楚雄彝族自治州牟定县第一高级中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题 命题范围【第二十五章～第二十九章】 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 3. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 4. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 5. 下列运动形式属于旋转的是（） A. 火箭升空 B. 钟摆的摆动 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 6. 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点A，B，以为对角线作矩形，则矩形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 以上答案都不对 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 10. 已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象的对称轴为 11. 小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在中，是直径，D是弦，，垂足为，连接、、，，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 13. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 14. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为（ ）． A. B. C. D. 15. 如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 17. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是______m． 18. 一次函数与反比例函数的交点个数为___________． 19. 如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 三、解答题 20. 解方程： （1）． （2）． 21. 【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是______． 22. 如图，的顶点坐标分别为． （1）以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 23. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 25. 如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 26. 在平面直角坐标系中，有直线，m为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为___________； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是___________． 27. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式： （2）在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 云南楚雄彝族自治州牟定县第一高级中学2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题 命题范围【第二十五章～第二十九章】 注意事项： 1．本卷为试题卷．考生必须在答题卡上解题作答．答案应书写在答题卡的相应位置上，在试题卷、草稿纸上作答无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形． 2. 若反比例函数的图象经过点，则的值是（ ） A. 5 B. C. 6 D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 3. 将关于的一元二次方程化为一般形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：展开方程左边，得， 移项，得． 4. 若点在函数的图象上，则的值为（ ） A. 1 B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，将点代入函数解析式，直接求解a的值即可． 【详解】解：∵点在函数的图象上， ∴当时，， 代入得：， 解得：． 故选：A． 5. 下列运动形式属于旋转的是（） A. 火箭升空 B. 钟摆的摆动 C. 传送带移动 D. 电梯的运行 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查生活中的旋转现象，掌握知识点是解题的关键． 旋转是指物体围绕一个固定点或轴做圆周运动．钟摆的摆动围绕固定点旋转，属于旋转运动；其他选项均为直线运动，不属于旋转． 【详解】解：旋转需绕固定点或轴转动， A．火箭升空为直线运动，不符合题意； B．钟摆的摆动绕支点旋转，符合题意； C．传送带移动为直线运动，不符合题意； D．电梯的运行为直线运动，不符合题意． 故选：B． 6. 已知、和都在抛物线上，那么、和的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的特征，准确计算是解题的关键．通过直接计算各点在抛物线上的值，比较大小即可． 【详解】解： ∵、和都在抛物线上， ∴，，， ∴， 故选：A． 7. 如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点A，B，以为对角线作矩形，则矩形的面积为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据中心对称可得，然后根据矩形的性质求解即可． 【详解】解：设， ∵直线经过原点，且与反比例函数的图象交于点，， 且反比例函数与正比例函数的图象是中心对称图形， ∴， ∴矩形的面积为． 8. 若方程是关于x的一元二次方程，则方程的根是（　　） A. ， B. ， C. ， D. 以上答案都不对 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程的定义，只含有一个未知数，且未知数的最高次为2的整式方程叫做一元二次方程，据此确定m的值，然后代入方程求解根，与选项对比即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∴， ∴原方程为，即， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 9. 如图，将绕点A逆时针旋转得到，若，连接，则的长为（ ） A. 3 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转和全等的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据旋转和全等的性质可得，，再根据勾股定理可得． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到，， ∴，， ∴， ∴， 故选：C． 10. 已知二次函数（、、为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 3 4 … … 8 0 3 8 … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（ ） A. 图象经过第一、二、三象限 B. C. 当时，的值随值的增大而增大 D. 图象的对称轴为 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出函数解析式，再结合二次函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：将，，代入得： ， 解得， ∴二次函数解析式为， 由此可得函数开口向上，顶点坐标为，对称轴为直线. A，顶点在第四象限，图象经过第四象限，原选项结论错误，不符合题意； B，，，，得，不满足，原选项结论错误，不符合题意； C，开口向上，对称轴为，则时随增大而增大，时随增大而减小，原选项结论错误，不符合题意； D，图象对称轴为直线，结论正确，符合题意． 11. 小亮、小明、小刚三名同学中，小亮的年龄比小明的年龄小2岁，小刚的年龄比小明的年龄大1岁，并且小亮与小刚的年龄的乘积是130.你知道这三名同学的年龄各是多少岁吗？设小明的年龄为x岁，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设小明的年龄为x岁，则可用x表示出小亮的年龄和小刚的年龄．再根据小亮与小刚的年龄的乘积是130，即可列出方程． 【详解】设小明的年龄为x岁，则小亮的年龄为岁，小刚的年龄为岁， 根据题意即可列方程：． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用．理解题意，正确找出题干中的数量关系列出等式是解答本题的关键． 12. 如图，在中，是直径，D是弦，，垂足为，连接、、，，则下列说法中不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，是的直径， 得，，进而得出为等腰直角三角形，进而得出，，，从而得出答案． 【详解】解：，是的直径， ，， ， 为等腰直角三角形， ，，， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了垂径定理、圆周角定理及解直角三角形，熟练掌握垂径定理是解题的关键． 13. 如图，在中，，绕点逆时针旋转得到．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质得，，则，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，进而求出，最后利用角的和差即可求解． 【详解】解：如图， ∵绕点逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 14. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D，抛物线的对称轴上有一点P，使的和最小，则点P坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性可知，所以当点P在线段上时，的值最小，以此为依据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交对称轴于点P，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， 要使的值最小，则应使的值最小， ∴与对称轴的交点P，使得的值最小， 令，则， 解得，， ∴，， 抛物线的对称轴为， ∴点P的横坐标为1， 当时，， ∴， 设直线解析式为， 把，代入得， ，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴点P坐标为． 15. 如图，O为矩形的对称中心，，，，交于点E，连接，则四边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理求出，由O为矩形的对称中心，得，再根据推出，是的中位线，则，最后计算四边形的周长． 【详解】解： ∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∴， ∵O为矩形的对称中心， ∴O为矩形对角线的交点， ∴， ∵，O为的中点， ∴E为的中点， ∴，是的中位线， ∴， ∴四边形的周长为：． 二、填空题 16. 已知关于的一元二次方程的一个根是，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将已知方程的根代入原方程，通过求解关于的一元一次方程得到的值． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴代入方程得， 解得． 17. 一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的函数关系式是，则他将铅球推出的距离是______m． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，推出的距离就是当高度时x的值，所以解方程可求解． 【详解】解：令，则， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 18. 一次函数与反比例函数的交点个数为___________． 【答案】2个 【解析】 【分析】联立两个函数的解析式得到关于的方程，通过判断方程的实数根个数，即可确定两个函数的交点个数． 【详解】解：联立一次函数与反比例函数的解析式， 可得 方程两边同时乘不为0的，整理得， ∵ 该一元二次方程的判别式， ∴ 该方程有两个不相等的实数根 ∴ 两个函数的交点个数为2个． 19. 如图，中，，，，于点D，以点C为圆心，5为半径作，则点D在 ___________．(填“外”“内”或“上”) 【答案】内 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，点与圆的位置关系. 先根据勾股定理求出的长，再由三角形的面积公式求出的长，然后根据点与圆的位置关系即可得出结论． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点D在圆C内． 故答案为：内． 三、解答题 20. 解方程： （1）． （2）． 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）用配方法解一元二次方程． （2）用因式分解法解一元二次方程． 【小问1详解】 解：． 移项得：． 配方得：． 即：， 开方得：， 解得：，． 【小问2详解】 解：． 移项得：， 因式分解得：． 即． 解得：，． 21. 【探究】如图，已知抛物线． （1）在坐标系中画出此抛物线的大致图象（不要求列表）： （2）该抛物线可由抛物线向______平移______个单位得到； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） 此抛物线的大致图象如下图即为所求： （2）上，4 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，函数图象平移的规律，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意可知，该抛物线开口向下，顶点坐标为，经过点，，，，即可画出大致图象； （2）根据律抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移，进行求解即可； （3）先求得和时，的值，然后结合（1）中图象即可得出结论． 【小问1详解】 解：， 该抛物线的顶点坐标为，开口向下， 令，则，即该抛物线经过点，， 令，则，即该抛物线经过点，． 【小问2详解】 解：由上加下减的原则可得，向上平移4个单位可得出． 故答案为：上，4． 【小问3详解】 解：当时，，解得， 当时，，解得， 结合（1）中图象可知，当时，的取值范围为：或． 故答案为：或． 22. 如图，的顶点坐标分别为． （1）以原点为对称中心，画出与成中心对称的图形； （2）将平移后得到，若点A的对应点的坐标为，画出平移后的； （3）和关于点P中心对称，请直接写出P点坐标_____． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据中心对称的性质即可作图； （2）由点的对应点，得到平移方式，即可作图； （3）连接交于点，即可得出结果． 【小问1详解】 解：如图所示，为所求； 【小问2详解】 解：∵点的对应点，且， ∴平移方式为向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴如图，即为所求， 【小问3详解】 解：如图，连接交于点， 则． 23. 2025年世界人形机器人运动会在北京举行，其中“篮球投篮人机挑战赛”成为热门项目．篮球飞行的轨迹可近似看作抛物线．如图，机器人站立点为，篮球抛出点为，当篮球运行的水平距离为时，达到最大高度．以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．已知． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）若篮球与轴水平距离处的竖直高度满足，视为有效投篮，请你通过计算说明机器人此次投篮是否有效？ 【答案】（1） （2）机器人此次投篮有效 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、求二次函数解析式、二次函数的应用等知识点，求得函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）求出的函数值，若在范围内，则投篮有效；否则无效． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，， ∴机器人此次投篮有效． 24. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值，方程总有实数根； （2）若方程有一个根不小于5，求m的取值范围． 【答案】（1） 证明：∵，，， ∴， ∵是非负数， ∴． ∴无论m取何实数时，原方程总个实数根； （2） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． （1）根据根的判别式求出的值，再进行判断即可； （2）解方程得到，，根据方程有一个根不小于5，得到不等式，解不等式即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， 解得，， ∵原方程有一个根不小于5， ∴， ∴． 25. 如图，在中，为直径，为弦，且，垂足为C．若，，则的长是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】根据垂径定理，结合已知条件即可得，在中，根据勾股定理求出，进而求出，再根据勾股定理即可求出的长． 【详解】解：∵为直径，为弦，且， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的长是． 26. 在平面直角坐标系中，有直线，m为常数）和抛物线（，为常数） （1）直线经过的定点坐标为___________； （2）若无论取何值时，直线与抛物线总有公共点，则的取值范围是___________． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）求得直线过定点； （2）求得抛物线与轴的交点为，，然后分两种情况讨论即可求得a的取值． 【小问1详解】 解：∵直线，当时，， ∴直线经过的定点坐标为； 【小问2详解】 解：对于抛物线，令，则， 解得，， ∴抛物线与轴的交点为，． 当时，无论m为何值，函数和的图象总有公共点， ∴满足题意； 当时， ∵无论m为何值，直线和抛物线总有公共点， ∴时，，即， 解得， ∴满足题意； 综上，当或时，抛物线与直线总有公共点． 27. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求此反比例函数的表达式： （2）在轴上存在点，使得的值最小，求的最小值． （3）为反比例函数图象上一点，为轴上一点，是否存在点；使是以为底的等腰直角三角形?若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3） 存在，理由如下， 设点，，且， 当点在点的右侧时，如图所示，过点作轴于点，过点作轴交的延长线于点， ∵是以为底的等腰直角三角形，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，且， 解得，， ∴； 当点在点的左侧时，如图所示， 同理可得，，则，且，， ∴ ， ∴，即， 解得，， ∴； 综上所述，存在点使是以为底的等腰直角三角形，点坐标为或． 【解析】 【分析】（1）把，两点代入一次函数，运用求自变量，函数值的方法即可得到的坐标，再运用待定系数法即可求解反比例函数解析式； （2）如图所示，作点关于轴的对称点，可得，此时的值最小，运用两点之间的距离公式即可求解； （3）根据等腰直角三角形的判定和性质，图形结合分析，分类讨论：当点在点的右侧时；当点在点的左侧时；运用三角形全等的判定和性质列式求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点， ∴把，两点代入一次函数得，，， ∴，即，， 把代入反比例函数得，， ∴， ∴反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 解：如图所示，作点关于轴的对称点， ∴， ∴，此时的值最小， ∴，且， ∴， ∴的最小值为； 【小问3详解】 略 【点睛】本题主要考查一次函数与反比例函数的综合，掌握待定系数法求解析式，轴对称最短路径的计算方法，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，两点之间的距离公式等知识的综合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $