精品解析:江苏盐城市东台市第四教育联盟2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题
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内容正文:
江苏省盐城市东台市第四教育联盟2026-2027学年九年级上学期11月期中
数学试卷
(满分:150分,考试用时:120分钟,考试范围:1~3章)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1. 下列方程中,是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2. 已知一元二次方程的两根为,,则的值为( )
A. 3 B. C. 9 D.
3. 下列选项中,是关于的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
4. 在反比例函数的图象上有一点,横坐标为2,则下列说法正确的是( )
A. 点的纵坐标为 B. 该函数图象位于第一、三象限
C. 当时,随的增大而增大 D. 该函数图象关于轴对称
5. 下列各选项中的是圆心角的是( )
A. B. C. D.
6. 如图,四边形是平行四边形,在轴上,点在轴上,反比例函数的图像经过第一象限点,且的面积为6,则的值为( ).
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
7. 如图,图中外接圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
8. 如图,一圆弧形钢梁的拱高为,跨径为.则这钢梁圆弧的半径长为( )
A. B. C. D.
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9. 若实数m,n满足,则_______.
10. 为丰富职工文化生活,东营区举办职工篮球友谊赛,每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛,累计比赛36场,设共有x个队参加比赛,则可列方程___________.
11. 已知点在反比例函数的图象上,则_________.
12. 研究发现,近视眼镜的度数y(度)是镜片焦距x(米)的反比例函数,其图象如图所示,小明经过一段时间的矫正治疗后,他的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米,则他的眼镜度数减少了______度.
13. 如图,在中,,,分别以、为直径作半圆,面积分别记为,,则________.(结果保留)
14. 如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,CE=1,DE=3,则⊙O的半径是_______.
15. 如图,在中,是直径,点为圆上一点,将劣弧沿着弦翻折,交于点,连接,点为弧上的动点,连接并延长,交于点,的中点为,连接,已知的半径为5,且,则的最小值为________.
16. 如图,在中,,以为直径的半圆O分别交于点D,E,若,则图中弧的长为______.
三、解答题(本题共11小题,共102分.)
17. 解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
18. 解方程
(1)
(2)
19. 设、是方程的两个根,求下列各式的值.
(1)
(2)
20. (1)解方程:;
(2)两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
21. 将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条.
(1)写出钢筋条的长L(分米)与横截面S(平方分米)的函数关系式;
(2)当钢筋条的横截面的直径是分米时,可拉伸出多少米长的钢筋(结果保留).
22. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象,观察图象:当时,直接写出自变量x的取值范围.
23. 将一定体积的面团做成拉面,面条的总长度是面条的横截面积的反比例函数,其图像如图所示.
(1)当面条的横截面积为时,面条的总长度是多少?
(2)若面条的总长度不大于,则面条的横截面积有什么限制?
24. 某小区为方便住户用水,在高处修建了一个蓄水池.该蓄水池蓄满水后关闭进水口,打开排水管开始匀速排水.已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系,其函数图象如图所示.当排水总时间为时,每小时平均排水量为.
(1)求每小时平均排水量q(立方米)与排完水池中的水所用时间t(小时)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水,10小时恰好排完,那么每小时平均排水量是多少立方米?
25. 某水上公园南侧新建了摩天轮.据介绍,可将其抽象成一个直径为的圆(如图).摩天轮的最低点距离地面,摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱(将座舱抽象为圆周上的点).
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m;
(2)若小明和小亮间隔3个座舱(如图,小明和小亮分别位于点P,Q处),求两人所在座舱在摩天轮上的距离(的长)和直线距离(线段PQ的长).
26. 问题提出
(1)如图1,在四边形中,,M为的中点,猜想与四边形的面积关系,并说明理由.
问题解决
(2)如图2,现有一块半径为的圆形材料,工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形.四边形需要满足,且面积最大.请探究四边形面积最大的实施方案,并求出面积的最大值.
27. 某中学开展综合实践活动,同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量.
【问题提出】
如图,某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形.根据工件制作标准得知,是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与线段相切的切点,是圆弧与线段相切的切点,,,三点在同一条直线上.现需设计一个测量方案,以求得工件的截面面积.
【方案设计】
测量工具:刻度尺、量角器、游标卡尺.
操作步骤:同学们用刻度尺测量的长度,用量角器测量和的角度,用游标卡尺测量圆孔直径的长度.
【问题解决】
已知,,,圆孔直径为.(参考数据:,)
(1)求弧所在圆的半径;
(2)求阴影部分的面积.(结果精确到)
(3)如果不测量的长,其它测量数据不变,能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长,求得工件的截面面积?如果能,写出该线段;如果不能,说明理由.
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江苏省盐城市东台市第四教育联盟2026-2027学年九年级上学期11月期中
数学试卷
(满分:150分,考试用时:120分钟,考试范围:1~3章)
一、选择题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
1. 下列方程中,是一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【详解】解:A选项,是一元二次方程;
B选项,含两个未知数,不是一元二次方程;
C选项,未明确,不一定是二次方程;
D选项,是分式方程,不是一元二次方程.
2. 已知一元二次方程的两根为,,则的值为( )
A. 3 B. C. 9 D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用根与系数的关系整体代入计算即可解答.
【详解】解:∵一元二次方程的两根为,,
∴由根与系数的关系,得,,
∴ .
3. 下列选项中,是关于的反比例函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据反比例函数的定义(形如,为常数且,的次数为),逐一比对四个选项的函数形式,筛选出符合定义的选项即可.
【详解】解:选项:、C选项均为整式函数,不是反比例函数.
选项:的分母为,不是反比例函数.
选项:是反比例函数.
故选:.
4. 在反比例函数的图象上有一点,横坐标为2,则下列说法正确的是( )
A. 点的纵坐标为 B. 该函数图象位于第一、三象限
C. 当时,随的增大而增大 D. 该函数图象关于轴对称
【答案】B
【解析】
【分析】由反比例函数解析式得,以此为核心结合代入求值判断各选项.
【详解】解:将代入,得,故A错误;
∵ 反比例函数中,
∴ 该函数图象位于第一、三象限,故B正确;
且当时,随的增大而减小,故C错误;
反比例函数图象关于原点对称,不关于轴对称,故D错误.
5. 下列各选项中的是圆心角的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】顶点在圆心的角叫作圆心角.
【详解】解:A、顶点不在圆心,故不是圆心角,不符合题意;
B、顶点不在圆心,故不是圆心角,不符合题意;
C、顶点不在圆心,故不是圆心角,不符合题意;
D、顶点在圆心,故是圆心角,符合题意.
6. 如图,四边形是平行四边形,在轴上,点在轴上,反比例函数的图像经过第一象限点,且的面积为6,则的值为( ).
A. 3 B. 6 C. 12 D. 24
【答案】B
【解析】
【分析】如图:过点A作于点E,然后根据平行四边形的性质可知,进而可得矩形的面积与平行四边形的面积相等,最后根据反比例函数的几何意义求解即可.
【详解】解:如图:过点A作于点E,
∴,
∵四边形是平行四边形,
∴,
∴,
∴,
∴
∵的面积为6,
∴,
∴,即点E的横、纵坐标之积为6,
∵反比例函数,
∴.
7. 如图,图中外接圆的圆心坐标是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】三角形外接圆圆心是三边垂直平分线的交点,先根据、坐标确定边的垂直平分线,再利用圆心到顶点距离相等列方程求解.
【详解】解:由图可知,,
,
线段的中点坐标为,且垂直于轴
线段的垂直平分线为直线
外接圆圆心的纵坐标为,
设圆心坐标为
圆心到点、的距离相等
整理得
解得
外接圆的圆心坐标是.
8. 如图,一圆弧形钢梁的拱高为,跨径为.则这钢梁圆弧的半径长为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】把拱高与跨径化归到同一个直角三角形里:设圆心为 、半径为 ,则半弦长 、圆心到弦 的距离 ,由勾股定理列方程即可求 .
【详解】解:如图,设钢梁圆弧所在圆的圆心为 ,半径为 ,则 ,.
∵ 是拱高, 是跨径,
∴ ,,且点 是 的中点,
∴ .
∵ 、、 三点在同一条直线上,
∴ .
在 中,,
∴ .
∴ .
∴ ,解得 .
∴ 这钢梁圆弧的半径长为 .
二、填空题(本题共8小题,每小题3分,共24分)
9. 若实数m,n满足,则_______.
【答案】3
【解析】
【分析】方程中以整体形式重复出现,可通过换元法简化方程,求解时需结合平方和的非负性筛选有效根.
【详解】解:设
∵m、n为实数
∴,,即
将原方程中的整体替换为t,原方程可化为
对上述方程因式分解可得
解得,
∵
∴不满足取值要求,舍去
∴,即.
10. 为丰富职工文化生活,东营区举办职工篮球友谊赛,每两支参赛队伍之间都要进行一场比赛,累计比赛36场,设共有x个队参加比赛,则可列方程___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据单循环比赛规则,每两支参赛队伍仅进行一场比赛,需对重复计数的比赛场次去重,结合已知总比赛场数建立等量关系.
【详解】解:∵共有个队参赛,每支队伍需要与除自身外的支队伍各赛一场,
∴初步统计的比赛总场次为,
∵任意两支队伍之间仅进行一场比赛,上述初步统计将每场比赛重复计算了2次,
∴实际总比赛场数为,
已知累计比赛36场,
∴ 可列方程为.
11. 已知点在反比例函数的图象上,则_________.
【答案】
【解析】
【详解】解:∵点在反比例函数的图象上
∴点的横、纵坐标满足该函数的解析式
将,代入,得
解得
12. 研究发现,近视眼镜的度数y(度)是镜片焦距x(米)的反比例函数,其图象如图所示,小明经过一段时间的矫正治疗后,他的镜片焦距由0.25米调整到了0.4米,则他的眼镜度数减少了______度.
【答案】150
【解析】
【分析】求得反比例函数的解析式,再代入求值,相减即可.
【详解】解:近视眼镜的度数(度)是镜片焦距(米)的反比例函数,
设,
把代入可得,
解得,
,
把代入可得,
,
则他的眼镜度数减少了度.
13. 如图,在中,,,分别以、为直径作半圆,面积分别记为,,则________.(结果保留)
【答案】
【解析】
【详解】解:在中,,,
则,
以、为直径作半圆,面积分别记为,,
,,
.
14. 如图,⊙O的两条弦AB、CD互相垂直,垂足为E,且AB=CD,CE=1,DE=3,则⊙O的半径是_______.
【答案】
【解析】
【分析】过O作OF⊥CD于F,OQ⊥AB于Q,连接OD,由AB=CD,推出OQ=OF根据正方形的判定推出正方形OQEF,求出OF的长,在△OFD中根据勾股定理即可求出OD.
【详解】解:过O作OF⊥CD于F,OQ⊥AB于Q,连接OD,
∵AB=CD,
∴OQ=OF,
∵OF过圆心O,OF⊥CD,
∴CF=DF=2,
∴EF=2-1=1,
∵OF⊥CD,OQ⊥AB,AB⊥CD,
∴∠OQE=∠AEF=∠OFE=90°,
∵OQ=OF,
∴四边形OQEF是正方形,
∴OF=EF=1,
在△OFD中由勾股定理得:OD=
故答案为:.
【点睛】本题主要考查对垂径定理,圆心角、弧、弦之间的关系,勾股定理,正方形的性质和判定等知识点的理解和掌握,能根据性质求出OF和DF的长是解此题的关键.
15. 如图,在中,是直径,点为圆上一点,将劣弧沿着弦翻折,交于点,连接,点为弧上的动点,连接并延长,交于点,的中点为,连接,已知的半径为5,且,则的最小值为________.
【答案】
【解析】
【分析】由翻折后的弧与没有翻折的弧其实原本是在同一个圆中,翻折后它们所在的圆依然是等圆,可得,,添加适当的辅助线,证明出,确定点的运动轨迹,判断出当点、、三点共线位于之间)时,长度最小,利用勾股定理计算出该情况下的长度和的半径,最终得到长度的最小值.
【详解】解:翻折后的弧与没有翻折的弧原本是在同一个圆中,翻折后它们所在的圆依然是等圆,可得,连接、、,如下图所示:
,,
,,
又为中点,
,即,
点运动轨迹为以为直径所在的圆上,
取中点为,为圆心,当点、、三点共线位于之间)时,长度最小为减去的半径.
连接,,如下图所示:
∵为直径,
∴,
,,
由勾股定理得,
,
,
.
16. 如图,在中,,以为直径的半圆O分别交于点D,E,若,则图中弧的长为______.
【答案】
【解析】
【分析】连接,根据为半圆O的直径,可得,再由等腰三角形的性质可得,,然后根据圆周角定理可得,再根据弧长公式解答即可.
【详解】解:如图,连接,
∵为半圆O的直径,
∴,即,
∵,,
∴,,
∴,
∴弧的长为.
三、解答题(本题共11小题,共102分.)
17. 解下列方程:
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案】(1),
(2),
(3),
(4),
【解析】
【小问1详解】
解:∵,
∴,
∴,
解得,;
【小问2详解】
解:∵,
∴,
∴,
∴或,
解得,;
【小问3详解】
解:∵,
∴,
∴或,
解得,;
【小问4详解】
解:∵,
∴,
∴或,
解得,.
18. 解方程
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)利用十字相乘法对多项式因式分解,进而求出方程的解;
(2)利用提公因式法提取公因式进行因式分解,进而求出方程的解.
【小问1详解】
解:
解得:;
【小问2详解】
解:
解得:.
19. 设、是方程的两个根,求下列各式的值.
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】(1)由根与系数的关系得到的值,再把所求式子去括号并利用整体代入法求解即可;
(2)由根与系数的关系得到的值,再把所求式子通分并利用整体代入法求解即可.
【小问1详解】
解:∵、是方程的两个根,
∴,
∴
;
【小问2详解】
解:同理可得,
∴
.
20. (1)解方程:;
(2)两个数的差等于4,积等于45,求这两个数.
【答案】(1);(2)这两个数是9,5或,
【解析】
【分析】此题考查解一元二次方程及一元二次方程的应用,
(1)利用公式法解方程;
(2)设这两个数中较小的一个数是,则较大的一个数是,根据这两个数的积等于45列方程解答
【详解】(1)解:
这里;
;
(2)解:设这两个数中较小的一个数是,则较大的一个数是
根据题意得:解得:.
当时,,
当时,,
这两个数是9,5或,
21. 将体积为314立方分米的钢锭拉成圆柱体的钢筋条.
(1)写出钢筋条的长L(分米)与横截面S(平方分米)的函数关系式;
(2)当钢筋条的横截面的直径是分米时,可拉伸出多少米长的钢筋(结果保留).
【答案】(1)
(2)可拉伸出米长的钢筋
【解析】
【分析】本题考查了圆柱体积公式的应用以及反比例函数的表达式推导,解题的关键是抓住钢锭拉成钢筋条后体积不变这一核心条件,利用圆柱体积公式建立变量间的关系,再结合横截面尺寸计算具体长度.
(1)根据圆柱体积公式(为体积,为横截面面积,为长度),因钢锭体积不变(立方分米),将公式变形可得与的函数关系式;
(2)先由横截面直径求出半径,再根据圆的面积公式计算横截面面积,最后将代入(1)中函数关系式求出,并将单位换算为米.
【小问1详解】
解:∵ 钢锭拉成钢筋条后体积不变,且圆柱体积公式为,已知立方分米,
∴,
变形得函数关系式:(,横截面面积不为0).
故答案为:
【小问2详解】
解:横截面直径为0.1分米,故半径分米,由圆的面积公式,得平方分米.
将代入,得分米.
∵1米分米,
∴分米米.
答:可拉伸出米长的钢筋.
22. 已知反比例函数与一次函数的图象交于点和点.
(1)求这两个函数的表达式;
(2)在同一坐标系中画出上述两个函数图象,观察图象:当时,直接写出自变量x的取值范围.
【答案】(1)反比例函数的表达式为 ,一次函数的表达式为
(2) 或
【解析】
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题及待定系数法求反比例函数与一次函数解析式,也考查了观察图象的能力.(1)把点代入反比例函数求出,即可求出反比例函数解析式,再求出点坐标,由待定系数法求出一次函数解析式;(2)由题意得出函数的图象总在函数的图象上方,即可得出结果.
【小问1详解】
解:反比例函数的图象经过点,
,
反比例函数的表达式为 ,
点在反比例函数的图象上,
,
点B的坐标为 ,
一次函数的图象经过点A、B,将A、B两个点的坐标代入,
得:,
解得:,
一次函数的表达式为;
【小问2详解】
画出图象:
观察函数图象可知:符合条件的x取值范围是: 或.
23. 将一定体积的面团做成拉面,面条的总长度是面条的横截面积的反比例函数,其图像如图所示.
(1)当面条的横截面积为时,面条的总长度是多少?
(2)若面条的总长度不大于,则面条的横截面积有什么限制?
【答案】(1)面条的总长度是
(2)面条的横截面积不小于
【解析】
【分析】(1)先利用待定系数法求出面条的总长度是面条的横截面积函数的关系式,再将代入求解即可.
(2)先求出时自变量x的取值,再根据函数图像求解即可.
【小问1详解】
解:设面条的总长度关于面条的横截面积的函数解析式为,将点代入可得,
.
当时,,
∴当面条的横截面积为时,面条的总长度是.
【小问2详解】
解:当时,,解得.
由图像可得,当时,,
∴若面条的总长度不大于,则面条的横截面积不小于.
24. 某小区为方便住户用水,在高处修建了一个蓄水池.该蓄水池蓄满水后关闭进水口,打开排水管开始匀速排水.已知每小时平均排水量与排水总时间之间成反比例关系,其函数图象如图所示.当排水总时间为时,每小时平均排水量为.
(1)求每小时平均排水量q(立方米)与排完水池中的水所用时间t(小时)之间的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(2)若该蓄水池蓄满水后关闭进水口开始排水,10小时恰好排完,那么每小时平均排水量是多少立方米?
【答案】(1)
(2)每小时平均排水量是.
【解析】
【分析】此题考查了反比例函数的应用,正确求出函数解析式是关键.
(1)根据待定系数法求出函数解析式即可;
(2)求出当时的函数值即可.
【小问1详解】
解:依题意可设,
当排水总时间为时,每小时平均排水量为,则有
【小问2详解】
当时
答:每小时平均排水量是
25. 某水上公园南侧新建了摩天轮.据介绍,可将其抽象成一个直径为的圆(如图).摩天轮的最低点距离地面,摩天轮的圆周上均匀地安装了个座舱(将座舱抽象为圆周上的点).
(1)小明所在座舱到达最高点时距离地面的高度为 m;
(2)若小明和小亮间隔3个座舱(如图,小明和小亮分别位于点P,Q处),求两人所在座舱在摩天轮上的距离(的长)和直线距离(线段PQ的长).
【答案】(1)
(2)两人所在座舱在摩天轮上的距离为,直线距离为
【解析】
【分析】本题考查了点到圆上一点的距离,求弧长,等边三角形的性质与判定,掌握相关知识是解题的关键.
(1)根据点到圆的距离可得最高点到地面的距离为;
(2)根据题意得出,进而根据弧长公式即可求解;证明为等边三角形,即可求得的长.
【小问1详解】
解:如图,由题意可知,,
当座舱转到点时,距离地面最高,
此时;
故答案为:101;
【小问2详解】
解:圆周上均匀地安装了个座舱,因此每相邻两个座舱之间所对的圆心角为,
,
的长为,
如图,连接,
且,
为等边三角形,
.
答:两人所在座舱在摩天轮上的距离(的长)为,直线距离(线段的长)为.
26. 问题提出
(1)如图1,在四边形中,,M为的中点,猜想与四边形的面积关系,并说明理由.
问题解决
(2)如图2,现有一块半径为的圆形材料,工人师傅需要在材料中裁剪出一个内接四边形.四边形需要满足,且面积最大.请探究四边形面积最大的实施方案,并求出面积的最大值.
【答案】
(1),
理由:如图1,延长,,交点为.
,
∵,
.
为的中点,
.
在与中,
,
∴,
∴,
∴,
,
∴.
(2)如图2,取的中点,连接,,.
,
,
,
,
为的中点,
结合(1)中结论可知,即当的面积最大时,四边形的面积最大.
连接,,,,过点作于点,过点作于点.
为的中点,
,
.
,
,
.
,
当,,三点共线时,,的面积最大,此时四边形为矩形.
,
.
【解析】
【分析】(1)延长,,交点为.证明,得出,即可得出,再结合,即可得证;
(2)取的中点,连接,,.结合(1)中结论可知,即当的面积最大时,四边形的面积最大.连接,,,,过点作于点,过点作于点.求出、的长,当,,三点共线时,,的面积最大,此时四边形为矩形,由此即可得解.
【详解】(1)略
(2)略
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、圆周角定理、勾股定理,熟练掌握以上知识点并灵活运用,添加适当的辅助线是解此题的关键.
27. 某中学开展综合实践活动,同学们运用测量工具和所学知识进行工件测量.
【问题提出】
如图,某工件的截面是一个中间有圆孔的不规则图形.根据工件制作标准得知,是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与线段相切的切点,是圆弧与线段相切的切点,,,三点在同一条直线上.现需设计一个测量方案,以求得工件的截面面积.
【方案设计】
测量工具:刻度尺、量角器、游标卡尺.
操作步骤:同学们用刻度尺测量的长度,用量角器测量和的角度,用游标卡尺测量圆孔直径的长度.
【问题解决】
已知,,,圆孔直径为.(参考数据:,)
(1)求弧所在圆的半径;
(2)求阴影部分的面积.(结果精确到)
(3)如果不测量的长,其它测量数据不变,能否通过用刻度尺测量另外一条线段的长,求得工件的截面面积?如果能,写出该线段;如果不能,说明理由.
【答案】(1)
(2)
(3)能,测量或或、、的长
【解析】
【分析】(1)连接,,由切线的性质得, ,由等腰三角形的判定及性质即可求解;
(2)由图形得即可求解;
(3)测量或或、、的长,情况:测量,,由同理可求;情况2:测量,由勾股定理求得;由情况同理可求;情形:测量、、的长,由(2)同理可求.
【小问1详解】
解:连接,,
是圆孔及轮廓圆弧所在圆的圆心,是圆弧与线段相切的切点,是圆弧与线段相切的切点,,,三点在同一条直线上,
, ,
,
,
,
,
,
故弧所在圆的半径为;
【小问2详解】
解:由(1)得,
,
,
,
,
;
【小问3详解】
解:能,测量或或、、的长;
情况:测量,
由(1)(2)得:,,
设,则,,
,
,
解得(负值已舍),
,
由同理可求;
情况2:测量,
由勾股定理求得;
由情况同理可求;
情形况:测量、、的长
由(2)同理可求.
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