精品解析：广西壮族自治区崇左市大新县大新中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

大新县中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 （试题满分150分 考试时长120分钟） 一､单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 4. 若双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 6. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 某生产厂商要为一款直径为2的球形玩具设计一种正四面体的包装盒，每个盒子需放入10个小球，则包装盒的棱长最短为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B. 若，且，则 C. 若非零向量，，满足，，则 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 11. 在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 若对任意，都有，则的取值范围是 D. ，使得 三､填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数z满足（i为虚数单位），则________ 13. 直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 14. 已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是__________. 四､解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若外接圆的面积为，求边长. 17. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． （1）求证：面； （2）求到平面的距离． 18. 已知椭圆：过点，且的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围； （3）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值. 19. 已知函数. （1）若在处的切线与直线平行，求的极值； （2）若函数的图象恒在直线的下方. ①求实数的取值范围； ②求证：对任意正整数，都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大新县中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 （试题满分150分 考试时长120分钟） 一､单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用集合的交集运算求解. 【详解】解：因为， 所以集合， 故选：C 2. 国家射击运动员甲在某次训练中次射击成绩（单位：环）如：，则这组数据第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按照从小到大顺序排序，根据百分位数的求法直接求解即可. 【详解】将次射击成绩按照从小到大顺序排序为：， ，第百分位数为. 故选：C. 3. 设向量，，，且，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再结合向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为，，，则， 若，则，解得. 故选：A. 4. 若双曲线（为非零常数）的离心率是，则双曲线的虚轴长是（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】由解析式得到双曲线的的值，由离心率建立等式，求得参数的值，然后知道轴长. 【详解】由解析式可知双曲线的，， 所以离心率，所以， 即， 所以虚轴长. 故选：B. 5. 将函数的图象向右平移个单位长度，则平移后的图象中与y轴最近的对称轴的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角函数的图象变换，得到函数，结合三角函数的性质，即可求解. 【详解】由题意，可得， 令，可得， 当时，可得． 故选：D． 6. 大多数居民在住宅区都会注意噪音问题.记为实际声压，通常我们用声压级（单位：分贝）来定义声音的强弱，声压级与声压存在近似函数关系：，其中为常数,且常数为听觉下限阈值.若在某栋居民楼内，测得甲穿硬底鞋走路的声压为穿软底鞋走路的声压的倍，且穿硬底鞋走路的声压级为分贝，恰为穿软底鞋走路的声压级的倍.若住宅区夜间声压级超过分贝即扰民，该住宅区夜间不扰民情况下的声压为，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】由结合对数运算可求得的值，由于，可得出、，结合对数函数的单调性可出结论. 【详解】由题意，得， 则，因此， ，则， ，则. 故选：A. 7. 已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 8. 某生产厂商要为一款直径为2的球形玩具设计一种正四面体的包装盒，每个盒子需放入10个小球，则包装盒的棱长最短为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先确定正四面体的棱长与高还有内切球半径的关系，然后根据当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的面相切，从而计算出棱长的最小值. 【详解】设正四面体的棱长为，高为，内切球半径为， 则，可得，又， 可得， 即正四面体的高等于其棱长的，正四面体的内切球的半径等于其棱长的． 当10个直径为2的小球放进棱长为a的正四面体中，构成三棱锥的形状，有3层，从上到下每层的小球个数依次为1，3，6．     当a取得最小值时，从上到下每层中放在边缘的小球都与正四面体的侧面相切，底层的每个球都与正四面体的底面相切，任意相邻的两个小球都外切，位于正四面体尖角处的所有相邻小球的球心连线可组成一个正四面体， 设底面的中心为，与面的交点为，则该正四面体的棱长为，可求得其高为，，所以正四面体的高为，进而可求得其棱长a的最小值为. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. 的坐标为 B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】根据抛物线的定义和标准方程，以及抛物线的几何性质，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得，所以，且焦点在y轴正半轴上， 则焦点，所以A错误； 由抛物线的定义,可得，解得，所以B正确； 由，可得，所以，则，所以C不正确； 由，所以D正确． 故选：BD． 10. 以下四个命题中正确的是（ ） A. 在轴上的投影向量的模为0的空间向量都共面 B. 若，且，则 C. 若非零向量，，满足，，则 D. 若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据空间向量在坐标轴上的投影和共面向量的定义可判断A；根据向量数量积的运算律和向量垂直的充要条件可判断B；根据向量垂直及共线的定义可判断C；根据基底的概念可判断D． 【详解】对于A，设空间向量，是轴的单位向量，则在轴上的投影向量的模为0，即，得，因此在轴上的投影向量的模为0的空间向量的坐标形式为，所有这样的向量都在平面内（或平行于平面），因此它们共面，故A对； 对于B，由可得，所以， 但这推不出，故B错； 对于C，若非零向量，，满足，则，又， 所以，即，得，所以，故C正确； 对于D，若共面，设， 即，又是空间的一个基底，所以，方程无解，所以不共面，即也是空间的一个基底，故D正确． 11. 在数列中，，记数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是递增数列 C. 若对任意，都有，则的取值范围是 D. ，使得 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意可得，进而可得，再求即可判断A；作商判断数列的单调性即可判断B；分为偶数和为奇数讨论求的范围即可；利用裂项相消法求，设，利用导数可证得即可判断D． 【详解】对于A，因为，所以， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，所以，故A正确； 对于B，由于．故，因此是递增数列，故B正确； 对于C，由可得． 当为偶数时，则恒成立， 由于单调递增，故； 当为奇数时，则恒成立， 由于单调递增，故，则得． 故对任意，都有，则，故C正确； 对于D，因为， 所以， 令，所以， 当时，，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增，又， 所以，即，故D错误． 三､填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设复数z满足（i为虚数单位），则________ 【答案】 【解析】 【详解】因为，即， 可得，所以. 13. 直线与圆交于两点，则弦长的最小值是___________. 【答案】 【解析】 【分析】先把圆的方程化成标准形式，从而得出圆心坐标和半径，再通过直线方程得出直线过定点，发现定点在圆的内部，从而根据圆的有关知识知：当定点是弦的中点时，弦长最短，从而求出弦长的最小值. 【详解】圆化成标准形式为圆， 圆心，半径， 直线过定点，并在圆内， 最短时，点为弦的中点，即时， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数，.若的零点恰为的零点，则a的最大值是__________. 【答案】3 【解析】 【分析】设，，根据三角函数的性质及集合间的基本关系计算即可. 【详解】设， 显然，集合A非空. 当时，显然， 以下设， 此时，. 易知，当且仅当对任意的，有， 即，故整数的最大值为3. 故答案为：3 【点睛】思路点睛：利用函数的迭代及集合的基本关系结合三角函数的有界性计算即可. 四､解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 某工厂生产线上有2个不合格零件和5个合格零件，需逐一检测分类.每次随机抽取一个零件检测，检测后不再放回，当检测出2个不合格零件或检测出5个合格零件时停止检测. （1）求在第一次检测出合格零件的条件下第二次检测出不合格零件的概率； （2）设表示停止检测时抽取出不合格零件的个数，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 数学期望为【解析】 【分析】（1）根据条件概率公式进行求解即可； （2）根据古典概型运算公式，结合分布列和数学期望公式进行求解即可. 【小问1详解】 设“第1次检测出合格零件”为事件，“第2次检测出不合格零件”为事件， 则， 故在第1次检测出合格零件的条件下第2次是不合格零件的概率为. 【小问2详解】 由题意可能的取值为. 表示前5次检测出的均为合格零件，则. 表示停止检测时前5次中恰有1个不合格且第6次为合格，则. . 则的分布列为： 0 1 2 所以的数学期望. 16. 在中，内角、、所对的边分别为、、，且. （1）求； （2）若外接圆的面积为，求边长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合余弦定理可求出的值，结合角的取值范围可得出角的值，由此可得出的值； （2）求出外接圆的半径，结合正弦定理可求出的值. 【小问1详解】 因为，由正弦定理可得， 由余弦定理可得， 因为，则，故. 【小问2详解】 设外接圆的半径为，则，可得， 由正弦定理可得，故. 17. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． （1）求证：面； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）底面，平面， ∴， ∵底面为矩形，∴， ∴以为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则根据题意可得： ， ． ． ， ，又，平面， 面； （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得DA，DC，DP两两垂直，所以分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直； （2）利用等体积法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设C到平面的距离为h． 由（1）可知． 底面，底面为矩形，， 分别为的中点， ， ． ， 由， ， ，即C到平面AMN的距离为． 18. 已知椭圆：过点，且的离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）设点，，是椭圆上关于轴对称的两点，交椭圆于另一点，是椭圆的左焦点，求的内切圆半径的取值范围； （3）若斜率为的直线与椭圆相交于，两点，且中点恰在抛物线：上.记的横坐标为，求的最大值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意，根据椭圆的离心率公式及椭圆上一点，列出等式即可求出椭圆的，即可得的方程； （2）设的直线方程为，,，,，,，将直线的方程与椭圆方程联立，由，，三点共线且斜率一定存在，得坐标关系，结合坐标转化，求出的值，确定直线经过定点，再设所求内切圆半径为，根据三角形面积公式以及换元法进行求解即可； （3）设，，代入椭圆方程作差得：，结合斜率计算公式可得，得，利用数列的单调性即可得出结论． 【小问1详解】 依题意，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 因为直线斜率存在且不为0，可设的直线方程为， 设点，，则， 联立得， 则，， 因为点，，三点共线且斜率一定存在，所以， 所以， 将，代入，化简可得， 故，解得， 满足，所以直线过定点，且为椭圆右焦点. 设所求内切圆半径为，因为， 所以， 令， 所以，当且仅当即时等号成立，从而. 所以内切圆半径的范围为. 【小问3详解】 设，，，代入得， 作差整理得， 即，又因，， 整理得，即，即. 因为点在抛物线上，所以，又，即，即得， 由题中得，即得， 由，当时，上式为正； 当时，上式为负，即. 联立，得到其交点的横坐标为，所以， 因为且. 所以的最大值为. 19. 已知函数. （1）若在处的切线与直线平行，求的极值； （2）若函数的图象恒在直线的下方. ①求实数的取值范围； ②求证：对任意正整数，都有. 【答案】（1）极大值为，无极小值 （2）①； ②证明：因为，所以当时，， 即对任意的恒成立.令，则， 所以， 即， 所以， 因为， 所以，又，即 【解析】 【分析】（1）根据题意得，求出，求解单调性，再求极值即可； （2）①根据题意得，转化为，设，求的最值即可；②根据题意得，即，再分析求解即可. 【小问1详解】 由可得， 所以，即. 则，， 令可得，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 ①由条件可知：只需，即在上恒成立， 即，而，所以，所以恒成立. 令，则，令可得， 令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的最大值为，所以，即实数的取值范围是. ②略 【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $