精品解析：上海市梅陇中学2026-2027学年第一学期九年级数学学科第二阶段质量调研试卷

2026学年第一学期九年级数学学科第二阶段质量调研试卷 （时间100分钟，满分150分） 一．选择题（每题4分，共24分） 1. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形进行判断即可． 【详解】A、两个等腰三角形，三个角不一定相等，因此不一定相似，故本选项错误，不符合题意． B、两个菱形对应角不一定相等，故本选项不符合题意； C、两个矩形的边不一定成比例，故不一定相似，故本选项错误，不符合题意． D、两个正方形四个角相等，各边一定对应成比例，所以一定相似，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了相似图形的判定，掌握对应角相等，对应边成比例的两个图形，叫做相似图形是解题的关键． 2. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（ ）． A. 扩大为原来的倍； B. 缩小为原来的； C. 不变； D. 不能确定． 【答案】C 【解析】 【分析】根据正弦的定义，判断对边与斜边的比值变化即可． 【详解】解：∵在中，, ∴. ∵三边都扩大为原来的倍, 新三角形中的对边为, 斜边为, ∴新的正弦值为, 即的正弦值不变. 3. 已知，那么锐角的取值范围是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 【答案】C 【解析】 【分析】利用锐角正弦值的增减性，结合特殊角的正弦值求解的取值范围． 【详解】解：∵是锐角，且， 又∵当为锐角时，随角度的增大而增大， ∴由可得， ∵锐角满足， ∴． 4. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作于点D，求出的长和的面积，求出的长，进而求出的长即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点B作于点D， 由题意得，， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 5. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作交于点，再利用平行线分线段成比例定理建立线段比例关系求解，即可解题． 【详解】解：过点作交于点， 是的中点，， ∴ ， ，即是的中点， ∵，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得， ∴． 6. 已知二次函数中部分和的值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质及用图象法确定一元二次方程的近似根，利用二次函数的对称性是解题关键，先求对称轴，再根据表格确定较小根的范围，最后通过对称求出较大根的范围． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为， 由表可知，当时，；当时，， ∴方程的较小根满足， ∵二次函数的图象关于对称轴对称，设较大根为，则， ∴， 当时，；当时，， ∴． 故选C． 二．填空题（每题4分，共44分） 7. 如果，那么________． 【答案】 【解析】 【分析】已知两数的比值，可设公共比例参数表示a、b，代入目标分式化简，约去非零参数即可求解． 【详解】解：∵ ∴设，（） 将其代入待求分式得． 8. 抛物线在对称轴的左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）． 【答案】 上升 【解析】 【分析】结合抛物线解析式的二次项系数判断开口方向，确定对称轴位置，再根据二次函数增减性判断对称轴左侧的升降趋势． 【详解】解：∵抛物线解析式为，二次项系数． ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵开口向下的抛物线，在对称轴左侧，随的增大而增大． ∴抛物线在对称轴的左侧部分是上升的． 9. 如图，若，，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴ 解得． 10. 如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为，则的面积为________． 【答案】27 【解析】 【分析】先求出，再根据与位似得到，由相似三角形的性质即可得到答案． 【详解】解：， ， 与位似， 且相似比为， ， 的面积为12， ． 11. 抛物线与轴交点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】轴上的点横坐标恒为，将代入抛物线解析式计算对应的纵坐标，即可得到交点坐标． 【详解】解：∵轴上所有点的横坐标为． ∴求抛物线与轴的交点时，令． 将代入，得 ， ∴抛物线与轴的交点坐标为． 12. 在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理的知识求解即可． 【详解】解：∵在直角坐标平面内有一点A（12,5） ∴OA==13 ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形、锐角三角函数的定义、坐标与图形性质以及勾股定理等知识点，掌握锐角三角函数的定义成为解答本题的关键． 13. 如图，点在线段上，，，，如果，，，那么的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】由垂直定义得出，利用同角的余角相等证得，结合的值求出的长，进而得到的长，最后在中利用勾股定理和三角函数定义求解 ． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中， 设，则， 由勾股定理可得，， 即 解得（负值已舍去） 即的长是． 14. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是________．（用连接） 【答案】 【解析】 【分析】由二次函数的顶点式可确定抛物线的开口方向与对称轴，根据开口向下时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小的性质，比较三个点到对称轴的距离即可判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线. ∵开口向下的抛物线上的点，到对称轴的水平距离越远，对应的函数值越小， ∴分别计算三个点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为. ∵距离大小为， ∴对应的函数值大小为． 15. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 【答案】## 【解析】 【分析】过B作，垂足为F，则四边形为矩形，在中，求出的长，在中，求出的长，然后根据即可求出广告牌的高度． 【详解】解：过B作，垂足为F，则四边形为矩形，， ∵山坡的坡度， 设米，则（米）， 在中， ∴， ∴， ∴米，米， ∴（米）． ∵， ∴米． ∴（米）， 在中，（米）， ∴（米）， ∴广告牌的高度是米． 16. 若函数与轴有且仅有个交点，则的值为________． 【答案】或或． 【解析】 【分析】需分两类讨论函数类型，当时函数为一次函数，直接判断其与轴的交点个数；当时函数为二次函数，利用二次函数与轴仅有1个交点时根的判别式为0的性质求解，汇总所有符合条件的值，避免漏解． 【详解】解：分两种情况讨论： 当时，函数解析式为，属于一次函数． ∵ 一次函数的图象与轴有且仅有1个交点． ∴ 符合题意． 当时，函数为二次函数． ∵ 二次函数图象与轴有且仅有1个交点时，对应的一元二次方程有两个相等的实数根． ∴ 根的判别式． 对于方程，二次项系数，一次项系数，常数项． ． 令，即． 解得，即或． ∵ 和均满足的前提． ∴ 这两个值均符合题意． 综上，的取值为或或． 17. 如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，点、分别落在点，处，边、分别与边交于点、，，那么线段的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于，设，，则，由旋转的性质可得：，，，证明，得出，由勾股定理得出，推出，证明，求出，，得到，证明，得出，求出，结合得到关于的方程，求出的值即可得解． 【详解】连接，作于， 四边形为矩形， ，，， ， 设，， ，， ， 由旋转的性质可得：，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ． 三．解答题（共82分） 18. 已知二次函数的图象为抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为________； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数表达式； （3）当时，求原二次函数的函数值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二次函数顶点式求顶点坐标； （2）根据抛物线平移规律求新函数表达式； （3）结合二次函数性质求给定区间内的y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵抛物线C的解析式为， ∴抛物线C的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：∵将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：∵，二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴当时，y随x的增大而减小，当时，y随x的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，为3， 当时，， 当时，， ∴当时，的取值范围为． 19. 已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如果水面上升米，那么水面宽度减少多少米？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得，该抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，将代入解析式计算即可得出结果； （2）令，则，求出此时的值，作差即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得，该抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则， 整理得， 解得，， ∴此时水面宽为． 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，． （1）求的长； （2）如果点到的距离为，求四边形的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）证即可得解； （2）利用面积比是相似比的平方即可得解． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：由题可知， ，且相似比为， ∴ ， 同理可得， ． 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图，与交于点，那么的比值是________； （2）如图，仅用无刻度的直尺在上找点，使； （3）如图，仅用无刻度的直尺在上找点，使； （4）如图，仅用无刻度的直尺和圆规在上找点，使点是线段的黄金分割点． 【答案】（1） （2）如图，点即为所求， （3）如图，点即为所求， （4）如图，点即为所求， 【解析】 【分析】（1）由图可得，，，，证明，由相似三角形的性质计算即可得出结果； （2）取格点、、，连接交于点，由网格特点可得，，，证明，由相似三角形的性质即可得出结果； （3）取格点，连接交于点，点即为所求； （4）取格点，连接、，求出，为直角三角形，且，从而可得，以点为圆心，为半径画弧交于点，则，求出，最后以点为圆心，为半径画弧交于点，则，即点即为所求． 【小问1详解】 解：由图可得，，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取格点、、，连接交于点， 由网格特点可得，，，， ∴， ∴； 【小问3详解】 略； 【小问4详解】 解：如图，取格点，连接、， 由网格特点和勾股定理可得，，， ∴，， ∴为直角三角形，且， ∴， 以点为圆心，为半径画弧交于点，则， ∴， 最后以点为圆心，为半径画弧交于点，则，即点即为所求． 22. 如图，是中的平分线，，是的垂直平分线，交于点，、的延长线交于点．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明：∵是的垂直平分线， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， 由（1）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线的性质可得，，，证明，得出，再证明，从而可得，最后证明，即可得证； （2）连接，由直角三角形的性质可得，从而可得，由（1）可得，，从而得出，，证明出，再结合，即可得出，最后由相似三角形的性质即可得证． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点在直线：上运动．点是抛物线上一点，其横坐标比顶点的横坐标大． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点时，求本次平移的距离． 【答案】（1） （2） （3）本次平移的距离为或 【解析】 【分析】（1）将抛物线的解析式化为顶点式即可得出结果； （2）设，从而可得抛物线的解析式为，点的横坐标为，求出，再结合直线与抛物线的对称轴平行，得出垂直于轴，求出，从而可得，，最后由三角形面积公式计算即可得出结果； （3）由（2）可得，求出直线的解析式为，设，则平移后的新抛物线的解析式为，再结合平移后的新抛物线经过点，求得或，再分两种情况，分别结合勾股定理计算即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴抛物线的顶点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线的顶点在直线：上运动， ∴设， ∵抛物线由抛物线平移得到， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点是抛物线上一点，其横坐标比顶点的横坐标大， ∴点的横坐标为， 在中，当时，， ∴， ∵直线与抛物线的对称轴平行， ∴垂直于轴， ∴点、的横坐标相等， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴的面积； 【小问3详解】 解：由（2）可得， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， ∵将抛物线沿直线平移， ∴平移后的新抛物线的顶点仍在直线上， 设，则平移后的新抛物线的解析式为， ∵平移后的新抛物线经过点， ∴， 整理得， 解得或， 当时，，平移的距离为， 当时，，平移的距离为， 综上所述，本次平移的距离为或． 24. 已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，，，求与的值； （3）如图，保持图中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，则，再根据相似三角形的判定即可得证； （2）在中，利用勾股定理可得，进而可得的长，再证出，则可得，的长，据此计算即可； （3）先求出，，，的长，再过点作于点，过点作于点，则，设，，利用相似三角形的判定与性质建立方程，解方程即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵四边形是菱形，且， ∴，，，，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，，即， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 解得， ∴，， ∴在中，；． 【小问3详解】 解：∵四边形是菱形，且， ∴，，，， 由（2）可知，， 设，则， ∴在中，， 解得， ∴，， 如图，过点作于点，过点作于点，则， 设，， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 同理可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴①，②， 由①得：， 由②得：， ∴，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 即点到的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期九年级数学学科第二阶段质量调研试卷 （时间100分钟，满分150分） 一．选择题（每题4分，共24分） 1. 下列图形中一定是相似形的是（ ） A. 两个等腰三角形 B. 两个菱形 C. 两个矩形 D. 两个正方形 2. 在中，，现把这个三角形的三边都扩大为原来的倍，则的正弦值（ ）． A. 扩大为原来的倍； B. 缩小为原来的； C. 不变； D. 不能确定． 3. 已知，那么锐角的取值范围是（ ）． A. ； B. ； C. ； D. ． 4. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，D是的中点，点F在上，连接并延长交于点E，若，，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6. 已知二次函数中部分和的值如表所示： 0.89 0.56 0.25 则方程的一个较大的根的范围是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（每题4分，共44分） 7. 如果，那么________． 8. 抛物线在对称轴的左侧部分是________的（填“上升”或“下降”）． 9. 如图，若，，，，则的长为________． 10. 如图，与位似，位似中心为点，若，的面积为，则的面积为________． 11. 抛物线与轴交点的坐标是________． 12. 在直角坐标平面内有一点，点A与原点O的连线与x轴的正半轴的夹角为，那么_________． 13. 如图，点在线段上，，，，如果，，，那么的长是________． 14. 已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是________．（用连接） 15. 如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌，小明在山坡的坡脚处测得广告牌底部的仰角为．沿坡面向上走到处测得广告牌顶部的仰角为，已知山坡的坡度米，米．广告牌的高度是_____米（保留根号）． 16. 若函数与轴有且仅有个交点，则的值为________． 17. 如图，已知在矩形中，连接，，将矩形绕点旋转，使点恰好落在对角线上的点处，点、分别落在点，处，边、分别与边交于点、，，那么线段的长为________． 三．解答题（共82分） 18. 已知二次函数的图象为抛物线． （1）抛物线的顶点坐标为________； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到抛物线，直接写出抛物线的函数表达式； （3）当时，求原二次函数的函数值的取值范围． 19. 已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面米时，水面宽米．如图建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如果水面上升米，那么水面宽度减少多少米？ 20. 如图，在中，点、、分别在边、、上，，，． （1）求的长； （2）如果点到的距离为，求四边形的面积． 21. 以下各图均是由边长为的小正方形组成的网格，图中的点，，，均在格点上． （1）如图，与交于点，那么的比值是________； （2）如图，仅用无刻度的直尺在上找点，使； （3）如图，仅用无刻度的直尺在上找点，使； （4）如图，仅用无刻度的直尺和圆规在上找点，使点是线段的黄金分割点． 22. 如图，是中的平分线，，是的垂直平分线，交于点，、的延长线交于点．求证： （1）； （2）． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：，其顶点为．抛物线由抛物线平移得到，抛物线的顶点在直线：上运动．点是抛物线上一点，其横坐标比顶点的横坐标大． （1）求抛物线的顶点的坐标； （2）当直线与抛物线的对称轴平行时，求的面积； （3）在（2）的条件下，再将抛物线沿直线平移，当平移后的新抛物线经过点时，求本次平移的距离． 24. 已知菱形的对角线，交于点，点为上一点，连接交于点． （1）如图，若，求证：； （2）如图，若，，，求与的值； （3）如图，保持图中菱形的形状不变，移动点，连接，过点作交于点，连接，若，，求点到的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $