精品解析：陕西西安市高新一中初级中学2026-2027学年上学期九年级期中考数学试卷

2026~2027学年度第一学期期中考试试题 九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 3. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线，直线m分别交a，b，c于点，，，直线n分别交a，b，c于点，，，若，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 7. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 8. 已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向下 B. 该函数图象的顶点位于第三象限 C. 该函数当时， D. 方程有两个异号实数根 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 10. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，点为线段的黄金分割点，且，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦的长为_________． 12. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 13. 若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 14. 如图，在菱形中，，，连接，点为线段上一动点（不与点，点重合），点在线段上，且，则的最小值为_________． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 16. 解不等式组：． 17. 如图，已知，，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 某校举办运动会，在比赛中，运动员们奋勇争先，全力以赴．运动会的领奖台可以近似地看成如图1所示的几何体，请你在图2中添线补全这个几何体的三视图． 19. 求下列二次函数的对称轴和顶点坐标： （1）； （2）． 20. 如图，点，在线段上，是等腰直角三角形，且，，，，求的度数． 21. 如图，在某拱桥桥孔的竖直截面内，桥孔上缘轮廓近似为一段开口向下的抛物线．正常水位时，桥孔内水面水平宽度为20米，拱顶到正常水位的竖直距离为5米．以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系．警戒水位线在拱顶正下方，与拱顶竖直相距1.8米，与抛物线交于，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当水位上升至警戒水位时，求桥孔内水面宽度． 22. 落实“五育并举”，扎实开展阳光大课间活动，增强学生体质．某中学为了解七年级学生阳光大课间自主活动日均时长（简称：“活动时长”）情况，在本校七年级随机调查了部分学生的“活动时长”，对数据进行整理分析后，绘制了如下两幅不完整的统计图． 所调查七年级学生“活动时长”统计图 组别 活动时长 A B C D E 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所调查的七年级学生的“活动时长”的中位数落在______组内（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； （3）已知该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中约有多少人的“活动时长”不少于20分钟． 23. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺．如图所示，小南和小北利用平行投影和“矩”的知识测量了某建筑物的高（底部不可到达）．小南在建筑物影子的顶端处竖立一根标杆，此时标杆在地面上的影子为；小北在之间，手持曲尺（“L”型，），保持与地面平行，当在点处时，边与点在同一直线上．测得“矩”的两直角边长分别为，，并测得，，，．已知，，，，点，，，在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高． 24. 用“描点法”绘制二次函数的图像，列表如下 … 0 1 3 4 … … 4 6 4 0 … 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将表中各组对应值作为点的坐标，描出相应的点，连线，得到该二次函数的图像，记为抛物线．已知抛物线与抛物线关于轴对称． （1）在给定的平面直角坐标系中画出抛物线，并直接写出抛物线的表达式； （2）抛物线与轴的交点记为，，其中点在点的左侧．点在抛物线上，点在抛物线上，当以，，，四点为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求，两点的坐标． 25. 【问题发现】 （1）如图1，和是等边三角形，点在边上，连接．若，则________； 【问题探究】 （2）如图2，在和中，，，点在边上，且不与，重合，连接．试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，学校劳动实践基地有一块边长80 m的正方形种植园，在边上取点，以为边向外搭建正方形育苗展示区，点是正方形育苗展示区的中心．将正方形育苗展示区中的区域作为实验组育苗区，剩余区域作为对照组育苗区．设的长为，该对照组育苗区的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②该对照组育苗区的面积是否存在最小值？若存在，求其面积的最小值，并确定此时的长；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年度第一学期期中考试试题 九年级数学 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分） 1. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行投影的特点，利用两小树的影子的方向相反可对A、B进行判断；利用在同一时刻阳光下，树高与影子成正比可对C、D进行判断． 【详解】解：A、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，不符合题意； B、两棵小树的影子的方向相反，不可能为同一时刻阳光下影子，不符合题意； C、在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，符合题意； D、图中树高与影子成反比，而在同一时刻阳光下，树高与影子成正比，不符合题意． 2. 小亮利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是他剪裁出的空心等边三角形、正方形、矩形、正五边形，若每个图案花边的宽度都相等，那么每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似图形的定义，结合图形，对选项一一分析，排除不符合的即可得到答案. 【详解】A.内外都是等边三角形，符合相似的定义，对应角相等，∴两个三角形相似，故不符合题意； B.内外都是正方形，对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正方形相似，故不符合题意； C.两个矩形的对应角都相等，对应边不成比例，∴两个矩形不相似，符合题意； D.两个正五边形对应角都相等，对应边都成比例，∴两个正五边形相似，不符合题意. 故选C. 【点睛】此题主要考查相似多边形的定义，对应角都相等，对应边都成比例的多边形是相似多边形，熟记定义并应用解题即可正确解答. 3. 将抛物线向右平移2个单位，得到新抛物线的表达式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数图像“左加右减，上加下减”的平移规律进行解答． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位，得． 4. 如图，直线，直线m分别交a，b，c于点，，，直线n分别交a，b，c于点，，，若，，，则线段的长为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴． 5. 点，，均在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助二次函数的开口方向与对称轴，通过比较三点到对称轴的水平距离判断函数值大小． 【详解】解：∵二次函数的二次项系数， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线． ∵抛物线开口向下时，抛物线上的点到对称轴的水平距离越近，对应的函数值越大． 分别计算三点到对称轴的距离： ：． ：． ：． ∵， ∴． 6. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，为格点三角形，，与格线分别交于点，，图中阴影部分的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，网格中三角形面积的计算，先求出，再证明，利用相似比求出，最后利用计算即可． 【详解】解：由图可知，在格线上，在格线上，且 观察网格可知，的底，高为3，对应的高为2 7. 如图，在正方形中，为的中点，，分别为、边上的点，若，，，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．由在正方形中，，易证得，又由为的中点，，，根据相似三角形的对应边成比例，易求得与的长，然后由勾股定理求得答案． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 为的中点， ， ，， ， 解得：， 在中，， 在中，， 在中，． 故选：． 8. 已知二次函数，当时，y的值随x值的增大而减小，则下列结论正确的是（ ） A. 该函数图象的开口向下 B. 该函数图象的顶点位于第三象限 C. 该函数当时， D. 方程有两个异号实数根 【答案】C 【解析】 【分析】先求二次函数的对称轴，结合x<0时的增减性确定a的符号，再逐一判断各选项. 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ∵ 当时，随的增大而减小，且在对称轴左侧， ∴ ，抛物线开口向上； A选项：开口向下与矛盾，错误； B选项：顶点横坐标为，不可能位于第三象限，错误； C选项：当时，代入函数得， ∵， ∴，即，正确； D选项：若方程有两个根，由根与系数的关系，方程的两根之积为， ∵， ∴，两根同号，错误. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 如图，在中，点D，E分别在边上．添加一个条件使，则这个条件可以是______________．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定解答即可． 【详解】解：∵， ∴添加条件：可判定． 10. 如图，小树在路灯的照射下形成投影，若树高，树影，树与路灯的水平距离，则路灯的高度为____________m． 【答案】9 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质． 根据题意得出相等角，判定出，得出对应边成比例，然后代数求解即可． 【详解】解：根据题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：9． 11. 二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一．音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为，点为线段的黄金分割点，且，千斤线绑在点处，则点下方的琴弦的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义即可解决问题． 【详解】解：由题意得， ∵， ∴． 12. 如图，五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形，已知点A，的坐标分别为，，若的长为3，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A，的坐标求出与的长，从而确定位似比，利用位似图形对应边成比例即可求出的长． 【详解】解：点A，的坐标分别为，， ，， 五边形，的相似比为：， ， ． 13. 若二次函数与的图象关于坐标原点中心对称，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据中心对称的性质，关于原点中心对称的两个点，横纵坐标都互为相反数，先求出原二次函数的顶点坐标，得到对称后二次函数的顶点坐标，结合的顶点式即可求出的值，进而计算． 【详解】解：先对配方得， 因此的顶点坐标为. 因为两个函数图象关于原点中心对称， 所以的顶点坐标为， 又因为的顶点坐标为， 因此可得，， 所以． 14. 如图，在菱形中，，，连接，点为线段上一动点（不与点，点重合），点在线段上，且，则的最小值为_________． 【答案】 16 【解析】 【分析】根据菱形边长为8、，得到为等边三角形，取中点，利用三线合一与勾股定理，求出、、．由，结合线段差推导出，再在中列出的平方关系式，变形得到．在射线上取点，令，在直角三角形中用勾股定理得到，等量代换证明，把转化为．利用两点之间线段最短，确定的最小值是线段的长度，三点共线时落在点，计算，得到原式最小值为16． 【详解】解：连接交于点，取中点，连接 四边形是菱形． ，，，． ，是等边三角形． 是的中点． ，． 在中 ． 是等边三角形． ，． 在中： ． ∴． ， ∴ ． 在中： ∴ 即 两边同时乘，则． ∴． 在射线上取点，使，连接． 在中，， ∴，即 ∴ ∴ 根据两点之间线段最短，，当三点共线时，等号成立． ∵直线与的交点为，所以当与点重合时，满足三点共线． ∵ ∴ 的最小值为． 三、解答题（共11小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 16. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 由①，得； 由②，得； 故不等式组的解集为． 17. 如图，已知，，，请用尺规作图法在边上求作一点，连接，使得与相似．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 【解析】 【分析】利用尺规作图方法，过点作的垂线，垂足为，连接，即可获得答案． 【详解】解：作图略， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 18. 某校举办运动会，在比赛中，运动员们奋勇争先，全力以赴．运动会的领奖台可以近似地看成如图1所示的几何体，请你在图2中添线补全这个几何体的三视图． 【答案】 【解析】 【分析】从正面看所得到的图形是主视图，从左面看到的图形是左视图，从上面看到的图形是俯视图，据此作答，解题的关键是正确理解三视图． 【详解】略 19. 求下列二次函数的对称轴和顶点坐标： （1）； （2）． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为． （2）对称轴为直线，顶点坐标为． 【解析】 【分析】（1）（2）把对应的解析式化为顶点式即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 【小问2详解】 解： ， ∴对称轴为直线，顶点坐标为． 20. 如图，点，在线段上，是等腰直角三角形，且，，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据等腰直角三角形的性质可得，，进而可得，结合题意证明，易得，进而可得，然后计算的度数即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，且，， ∴，， ∵点，在线段上， ∴，， ∵，， 在和中，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 21. 如图，在某拱桥桥孔的竖直截面内，桥孔上缘轮廓近似为一段开口向下的抛物线．正常水位时，桥孔内水面水平宽度为20米，拱顶到正常水位的竖直距离为5米．以为原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系．警戒水位线在拱顶正下方，与拱顶竖直相距1.8米，与抛物线交于，两点． （1）求该抛物线的表达式； （2）当水位上升至警戒水位时，求桥孔内水面宽度． 【答案】（1） （2）12米 【解析】 【分析】（1）根据题意，可得该抛物线的对称轴为，顶点坐标为，可设该抛物线的表达式为，然后将点代入并求解即可； （2）结合题意易得点，的纵坐标为，将代入抛物线解析式并求解，可确定点，坐标，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，可得该抛物线的对称轴为， ∵拱顶到正常水位的竖直距离为5米， ∴该抛物线的顶点坐标为， 设该抛物线的表达式为， 将点代入，可得， 解得， ∴该抛物线的表达式为； 【小问2详解】 根据题意，警戒水位线在拱顶正下方，与拱顶竖直相距米， 即点，的纵坐标为， 将代入，得， 解得， ∵点在点左侧， ∴， ∴（米），即桥孔内水面宽度为12米． 22. 落实“五育并举”，扎实开展阳光大课间活动，增强学生体质．某中学为了解七年级学生阳光大课间自主活动日均时长（简称：“活动时长”）情况，在本校七年级随机调查了部分学生的“活动时长”，对数据进行整理分析后，绘制了如下两幅不完整的统计图． 所调查七年级学生“活动时长”统计图 组别 活动时长 A B C D E 请你根据以上信息，解答下列问题： （1）补全频数分布直方图； （2）所调查的七年级学生的“活动时长”的中位数落在______组内（填“A”或“B”或“C”或“D”或“E”）； （3）已知该校七年级共有1500名学生，请你估计该年级学生中约有多少人的“活动时长”不少于20分钟． 【答案】（1） （2）C （3）1140人 【解析】 【分析】（1）首先计算参与调查的七年级学生总数，进而可得C组人数，然后补全频数分布直方图即可； （2）根据中位数的定义，即可获得答案； （3）利用“七年级学生总数参与调查的学生中“活动时长”不少于20分钟的学生人数占比”，即可获得答案． 【小问1详解】 解：根据题意，参与调查的七年级学生总数为（人）， ∴C组人数为（人）， 补画频数分布直方图略； 【小问2详解】 将所调查的七年级学生“活动时长”数据按照从小到大的顺序排列， 可知所调查的七年级学生的“活动时长”的中位数落在C组内； 【小问3详解】 （人）， 答：估计该年级学生中约有1140人的“活动时长”不少于20分钟． 23. 《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法，“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺．如图所示，小南和小北利用平行投影和“矩”的知识测量了某建筑物的高（底部不可到达）．小南在建筑物影子的顶端处竖立一根标杆，此时标杆在地面上的影子为；小北在之间，手持曲尺（“L”型，），保持与地面平行，当在点处时，边与点在同一直线上．测得“矩”的两直角边长分别为，，并测得，，，．已知，，，，点，，，在同一条直线上，图中所有点均在同一平面内，求该建筑物的高． 【答案】16.5米 【解析】 【分析】首先证明四边形为矩形，由矩形的性质可得，；再证明，由相似三角形的性质可得；证明，由相似三角形的性质解得的长度，然后由求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴ 根据题意，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，解得， ∴（米）， 答：该建筑物的高为16.5米． 24. 用“描点法”绘制二次函数的图像，列表如下 … 0 1 3 4 … … 4 6 4 0 … 如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，将表中各组对应值作为点的坐标，描出相应的点，连线，得到该二次函数的图像，记为抛物线．已知抛物线与抛物线关于轴对称． （1）在给定的平面直角坐标系中画出抛物线，并直接写出抛物线的表达式； （2）抛物线与轴的交点记为，，其中点在点的左侧．点在抛物线上，点在抛物线上，当以，，，四点为顶点的四边形是以为边的平行四边形时，求，两点的坐标． 【答案】（1） 抛物线的表达式为 （2）或 【解析】 【分析】（1）分别作出抛物线上的点关于轴对称的点，用光滑曲线连接，即可画出抛物线的图像；用待定系数法确定抛物线的表达式即可； （2）首先确定点，易得；若以，，，四点为顶点的四边形是以为边的平行四边形，则轴，且，即点的纵坐标相等；设，，则，且，结合确定的值，进而获得答案． 【小问1详解】 解：画出抛物线的图像略， 设抛物线的表达式为， 将点代入， 可得，解得， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 对于抛物线：， 令，可得， 解得， ∵抛物线与轴的交点记为，，且点在点的左侧， ∴， ∴， 若以，，，四点为顶点的四边形是以为边的平行四边形， 则轴，且， ∴点的纵坐标相等， 设，， ∴，， ∴或， ∵， ，整理可得， ∵当或时，均不等于0， ∴， 当时，解得， ∴， ∴； 当时，解得， ∴， ∴． 综上，，两点的坐标为或． 25. 【问题发现】 （1）如图1，和是等边三角形，点在边上，连接．若，则________； 【问题探究】 （2）如图2，在和中，，，点在边上，且不与，重合，连接．试判断的形状，并说明理由； 【问题解决】 （3）如图3，学校劳动实践基地有一块边长80 m的正方形种植园，在边上取点，以为边向外搭建正方形育苗展示区，点是正方形育苗展示区的中心．将正方形育苗展示区中的区域作为实验组育苗区，剩余区域作为对照组育苗区．设的长为，该对照组育苗区的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②该对照组育苗区的面积是否存在最小值？若存在，求其面积的最小值，并确定此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2）为直角三角形，理由如下： ∵在和中，，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （3）①；②存在，其面积的最小值为，此时的长为 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质，证明，由全等三角形的性质即可获得答案； （2）首先根据题意易得，，进而证明，由相似三角形的性质可得，进一步可得，即可获得答案； （3）连接，过点作，交延长线于点，根据题意，，则，在中，由勾股定理可得；结合点为正方形的中心，易得，证明，结合相似三角形的性质以及三角函数，可得，，进而可得，即可确定实验组育苗区的面积；根据对照组育苗区的面积，即可获得答案；②由①可得，对其配方，并根据二次函数的图像与性质，即可获得答案． 【小问1详解】 解：∵和均为等边三角形，， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 ①如下图，连接，过点作，交延长线于点， 根据题意，，则， 在中，，即， ∵四边形为正方形，点为中心， ∴， ∵四边形为正方形，点为中心， ∴，即， ∴， ∵四边形均为正方形，点为正方形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴实验组育苗区的面积 ， ∴对照组育苗区的面积 ， 答：与之间的函数关系式为； ②存在， 由①可得， 配方，得， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为． 答：该对照组育苗区的面积存在最小值，最小值为，此时的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $