精品解析：陕西延安市志丹县部分校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

志丹县保安中学教育集团阶段性作业九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的方程的一个根为，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】解：把代入， 得， 解得． 2. 已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设与的函数解析式为，根据已知的、值求出值即可． 【详解】解：设与的函数解析式为，将，代入解析式，得，解得， ∴与的函数解析式为． 3. 用配方法解一元二次方程时，得到，则n的值为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】配方时需在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式，即可求出的值． 【详解】解：移项得． 两边同时加，得． 即． ∴． 4. 顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点式的性质，二次函数顶点式中，决定抛物线的开口方向和形状，顶点坐标为，根据已知条件确定和顶点坐标即可得到解析式． 【详解】解：∵所求抛物线的开口方向、形状与相同， ∴所求抛物线的二次项系数，可排除C、D选项； ∵所求抛物线的顶点为，代入顶点式（顶点坐标为）， 得，，， ∴解析式为． 5. 定义为关于的一元二次方程的特征数．若特征数为的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】从特征数的定义入手，确定一元二次方程的系数、，再利用根与系数的关系计算两根之和． 【详解】解：∵ 特征数对应一元二次方程，题中特征数为， ∴ 该一元二次方程中，． ∴ ． 6. 中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，也是中华传统文化的表达方式之一．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利元，一天可售出个，将一天出售该种手工团扇的总利润记作（元），则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】总利润等于单个商品的利润乘以销售数量。提取题目中的已知条件，单个团扇获利为元，一天可售出的数量为个．按照总利润的计算公式，将单个利润与销售数量相乘，得到与的关系式． 【详解】解：． 7. 如图，反比例函数的图象经过Rt斜边的中点，点是的中点，连接，点在轴上，则的面积为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 【答案】B 【解析】 【详解】解：， 点是的中点，点是的中点， ，， ， ， ． 8. 已知二次函数（为常数，且）的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由二次函数的图象性质推导的符号、与的数量关系、的符号，再逐一判断各选项正误． 【详解】解：∵二次函数图象开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴，即， ∴， ∵二次函数与轴交于负半轴， ∴， ∵，，， ∴，故A错误． ∵开口向上，且时， ∴抛物线与轴有两个交点， ∴，故B错误． 当时，，将代入得， 无法确定的符号，故C错误． ∵，， ∴，， ∴，故D正确． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 方程的根为________ 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法，是解题的关键．直接开平方法解一元二次方程即可． 【详解】解：， 开平方得：， 解得：，． 故答案为：，． 10. 已知一个反比例函数的图象经过点P（3，4），请你写出该反比例函数图象上异于点P的另外一个点的坐标_________(写出一个即可）． 【答案】（-3，-4） 【解析】 【分析】根据待定系数法求得该反比例函数的解析式，然后假设当，即可求得的值，进而即可得到点的坐标． 【详解】设该反比例函数的解析式为， ∵点P（3，4）在其图像上， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点 （-3，-4）在该反比例函数图像上， 故答案为：（-3，-4）． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数以及反比例函数的性质，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的定义． 11. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱．已知该纪念品今年6月份的销售量为700件，8月份的销售量为1008件．设该纪念品6月份到8月份的月平均增长率为，则根据题意可列方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】题干给出6月份、8月份的纪念品销售量，已知6月到8月的月平均增长率为x，需依据连续两次同比例增长的数量关系建立对应方程． 【详解】解：∵6月份的销售量为700件，月平均增长率为x． ∴7月份的销售量为件． ∵8月份的月平均增长率与6到7月的增长率保持一致， ∴8月份的销售量为件． ∵8月份的实际销售量为1008件， ∴可列方程． 12. 已知二次函数（是常数），当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次项系数判断抛物线开口方向，求出函数对称轴，结合给定x范围内的增减性，确定对称轴与区间端点的位置关系，列不等式求解k的取值范围． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向下，在对称轴左侧y随x的增大而增大． 该函数的对称轴为直线． ∵当时，y随x的增大而增大， ∴区间需完全位于对称轴左侧，即． 13. 在平面直角坐标系中，点均在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则_____．（填“>”“＝”或“<”） 【答案】＞ 【解析】 【分析】先通过点C的坐标确定反比例函数比例系数的符号，再结合反比例函数在对应象限内的增减性，根据A、B两点的横坐标范围比较函数值大小． 【详解】解：∵ 点在反比例函数的图象上， ∴ 将C点坐标代入函数解析式，得，即． ∵ ，且， ∴ ，即． ∴ ． ∴ 该反比例函数的图象位于第二、第四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵ ， ∴ 点A、B均在第四象限的函数图象分支上． ∴ 对应的函数值满足． 14. 如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数最值以及四边形面积求法．直接利用对角线互相垂直的四边形面积求法得出，再利用配方法求出二次函数最值． 【详解】解：设，四边形的面积为S， ∵， ∴， ∵四边形的对角线和互相垂直， ∴， ∴当时，S取得最大值，最大值为， 即四边形面积最大值为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 或， 解得：． 16. 已知抛物线（为常数，且）经过点，判断点是否在此抛物线上，并说明理由． 【答案】解：点不在此抛物线上，理由如下： 将代入中，得， 解得， 抛物线的函数解析式为， 令，则， 点不在此抛物线上． 【解析】 【详解】略 17. 已知代数式与的值互为相反数，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】因为互为相反数的两个数的和为0，所以先根据这一性质列出关于x的一元二次方程．对列出的方程进行整理，将其化为一元二次方程的一般形式．选择合适的方法（如因式分解法、求根公式法）求解该一元二次方程，得到x的值． 【详解】由题意可知：， 整理得：， ， ， ． 18. 已知反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】因为反比例函数的图象位于第二、四象限时，比例系数满足，所以可据此建立关于的不等式．确定本题中反比例函数的比例系数为，将其代入的条件，得到关于的一元一次不等式．求解该一元一次不等式，即可得到的取值范围． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得． 的取值范围为． 19. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到新的抛物线，求新抛物线的解析式． 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【分析】（1）用配方法把二次项与一次项配成完全平方式，再合并常数项，把解析式写成的形式； （2）按左加右减、上加下减，把顶点式中的换成、常数项减，化简后得到新抛物线的解析式． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：把的图象向左平移个单位长度，式中的换成． 再向下平移个单位长度，所得式子的常数项减． ∴． 20. 某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量为6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积为多少升？ 【答案】（1） （2）平均每亿个细胞占有的培养液体积为升 【解析】 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将代入，得， 与之间的函数关系式为． 【小问2详解】 由题意可知：，则， 当瓶内藻类细胞总数量为6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积为升． 21. 已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 5 … … －1 －4 －5 －4 4 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）利用（1）中所画图象回答：当时，的取值范围为_____． 【答案】（1）该二次函数的图象如图所示． （2）．理由： 由图象性质可知该二次函数开口向上，顶点是整个函数的最小值点， 在区间内再看端点的函数值： 时，时， ∵， ∴始终小于； ∴当时，． 【解析】 【分析】（1）因为表格给出了二次函数的多组对应值，所以先将这些对应值转化为平面直角坐标系中的坐标点．因为二次函数的图象是抛物线，所以将已确定的坐标点用平滑曲线连接，即可画出该二次函数的图象． （2）因为要确定指定区间内的函数值范围，所以观察画出的抛物线在区间内的最低点和最高点对应的纵坐标，以此确定的取值范围． 【小问1详解】 解：先在坐标系中标出表格给出的对应点：、、、、； 由点和纵坐标相等，可知二次函数对称轴为直线，顶点是最低点，抛物线开口向上； 用平滑曲线顺次连接所有点，得到开口向上的完整抛物线即可． 【小问2详解】 解：略． 22. 某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电．在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电每件的售价每降低2元，该商场每天可多卖出5件．假设该小家电的售价定为元/件．已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的售价． 【答案】这种小家电的售价为50元/件 【解析】 【分析】因为利润的核心计算公式为“总利润=单件利润×销售量”，所以首先需要分别用售价表示出单件利润和日销售量．因为单件利润为售价减去成本价，所以可直接根据已知成本价得出单件利润的表达式．因为日销售量与售价的降价幅度相关，所以需要先计算出售价从60元降到元的总降价幅度，再结合“每降2元多卖5件”的条件，推导日销售量的表达式．因为已知总利润为1250元，所以将单件利润、日销售量的表达式代入利润公式，建立关于的一元二次方程．因为题目限定售价范围为，所以求解方程后需筛选出符合该范围的解． 【详解】根据题意得：， 整理得：， 解得（不合题意，舍去）， 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的售价为50元/件． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）若a为正整数，求a的值； （2）在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值． 【答案】（1），， （2）6 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，利用判别式列出不等式，解出的取值范围，再结合为正整数，确定的值． （2）先根据（1）的条件确定偶数的值，代入方程求出方程的根，再利用根的定义和韦达定理，对代数式进行化简求值． 【小问1详解】 解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，， ∴ ， ∴， 为正整数， ，，； 【小问2详解】 解：是偶数，且， 将代入原方程得即， 是方程的根， ， ， 由一元二次方程根与系数的关系得，， ∴ 24. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象相交于点、． （1）求反比例函数的解析式； （2）一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，点是反比例函数图象上的点，且位于第一象限，连接、，若四边形的面积为9，求点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）因为点在一次函数的图象上，所以将代入一次函数解析式可求出的值，得到点的完整坐标．因为点同时在反比例函数​的图象上，所以将点的坐标代入反比例函数解析式，可求出的值，进而得到反比例函数的解析式． （2）因为一次函数与轴、轴交于点、，所以分别令、，可求出点、的坐标．设点的横坐标为（，因在第一象限），将四边形的面积分割为两个规则图形与的面积之和，结合已知面积为9，建立关于的方程，求解得到的值，进而得到点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入中，得， 点的坐标为 将代入中，得， 反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：在一次函数中， 令，则，令，则， 点的坐标分别为，即， ，点在第一象限， ，即， 解得， 在反比例函数中，令，则， 点的坐标为． 25. 如图1是某学校的抛物线型的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，该拱门的示意图如图2，以的中点为原点，所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到所在直线的距离为，点在轴上，，且． （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数解析式； （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（即），灯笼悬挂点、到的水平距离均为．求灯笼底端到地面的距离（即点、到所在直线的距离）． 【答案】（1） （2）灯笼底端到地面的距离为 【解析】 【分析】（1）先根据坐标系确定抛物线顶点坐标，设出顶点式解析式．代入已知点的坐标求解解析式中的未知系数． （2）根据灯笼悬挂点的水平距离确定其横坐标，代入解析式得到悬挂点的纵坐标．用悬挂点纵坐标减去灯笼长度，得到灯笼底端到地面的距离． 【小问1详解】 解：，点为的中点， ， 由题意可知：点的坐标为，顶点的坐标为， 设该大门拱形部分所在抛物线的函数解析式为， 将点代入，得， 解得， 该大门拱形部分所在抛物线的函数解析式为． 【小问2详解】 灯笼悬挂点到最高点的水平距离为， 点的横坐标为1.2， 令，则， ， 灯笼底端到地面的距离为． 26. 【问题情境】 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，与轴相交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点． 【问题解决】 （1）求抛物线的解析式； （2）已知点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． ①当线段的长最大时，求点的坐标； ②过点作交抛物线于另一点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②存在，的值为或． 理由如下： ， 为等腰直角三角形，， 由①得：， 当点在对称轴右侧，即时，如图1所示， 由题意得：， ， 解得或（舍去）； 图2 当点在对称轴左侧，即时，如图2所示， 由题意得：， 解得或（舍去）， 综上所述，的值为或． 【解析】 【分析】（1）求抛物线解析式：利用抛物线对称轴公式，代入已知对称轴和，求解的值，得到抛物线解析式． （2）①求直线解析式：先根据抛物线解析式求出、两点坐标，再用待定系数法求直线的解析式．求最大时的坐标：因为轴，所以、横坐标均为，分别代入抛物线和直线解析式得到两点纵坐标，用纵坐标差表示的长度，将其转化为关于的二次函数，利用二次函数最值性质求最大值，进而得到的坐标．②判断等腰直角三角形是否存在：因为，所以轴，结合抛物线的对称性，用表示出点坐标和的长度；若为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质，可得，建立关于的方程求解，同时结合的横坐标范围判断解的合理性． 【小问1详解】 解：抛物线的对称轴是直线， ， 解得， 抛物线的解析式为． 【小问2详解】 解：①由（1）知：， 令，则， 点的坐标为， 令，则， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为， 设直线的解析式为， 则解得 直线的解析式为， 由题意知：点的坐标为，点的坐标为， ， 当时，线段的长最大， 图1 此时， 点的坐标为． ②略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 志丹县保安中学教育集团阶段性作业九年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名、班级和准考证号． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于x的方程的一个根为，则a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 已知与成反比例关系，且当时，，则关于的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程时，得到，则n的值为（ ） A. 4 B. 7 C. D. 4. 顶点是，开口方向、形状与抛物线相同的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 定义为关于的一元二次方程的特征数．若特征数为的一元二次方程的两个实数根分别为，则的值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 6. 中国传统手工艺品，如中国结，油纸伞，团扇等，是古代先民智慧和勤劳的结晶，也是中华传统文化的表达方式之一．某工艺品店出售某种手工团扇，若每个获利元，一天可售出个，将一天出售该种手工团扇的总利润记作（元），则与之间的关系式为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象经过Rt斜边的中点，点是的中点，连接，点在轴上，则的面积为（ ） A. 30 B. 24 C. 18 D. 12 8. 已知二次函数（为常数，且）的图象开口向上，对称轴为直线，与轴交于负半轴，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 方程的根为________ 10. 已知一个反比例函数的图象经过点P（3，4），请你写出该反比例函数图象上异于点P的另外一个点的坐标_________(写出一个即可）． 11. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱．已知该纪念品今年6月份的销售量为700件，8月份的销售量为1008件．设该纪念品6月份到8月份的月平均增长率为，则根据题意可列方程为_____． 12. 已知二次函数（是常数），当时，随的增大而增大，则的取值范围是_____． 13. 在平面直角坐标系中，点均在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则_____．（填“>”“＝”或“<”） 14. 如图，四边形的对角线和互相垂直，，则四边形面积最大值为_______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知抛物线（为常数，且）经过点，判断点是否在此抛物线上，并说明理由． 17. 已知代数式与的值互为相反数，求的值． 18. 已知反比例函数（为常数）的图象位于第二、四象限，求的取值范围． 19. 已知抛物线． （1）将抛物线解析式转化为的形式； （2）将抛物线先向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度后得到新的抛物线，求新抛物线的解析式． 20. 某生物兴趣小组在实验室用一个装有培养液的锥形瓶培养一种单细胞藻类．培养过程中发现，在一定范围内，平均每亿个细胞占有的培养液体积（单位：升）是瓶内藻类细胞总数量（单位：亿个）的反比例函数，且当时，． （1）求与之间的函数关系式； （2）当瓶内藻类细胞总数量为6亿个时，平均每亿个细胞占有的培养液体积为多少升？ 21. 已知二次函数（为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 1 2 3 5 … … －1 －4 －5 －4 4 … （1）在给定的平面直角坐标系中画出该二次函数的图象； （2）利用（1）中所画图象回答：当时，的取值范围为_____． 22. 某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电．在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电每件的售价每降低2元，该商场每天可多卖出5件．假设该小家电的售价定为元/件．已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的售价． 23. 已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，． （1）若a为正整数，求a的值； （2）在（1）的条件下，且a是偶数，求代数式的值． 24. 如图，一次函数与反比例函数（为常数，且）的图象相交于点、． （1）求反比例函数的解析式； （2）一次函数的图象分别与轴、轴交于点、，点是反比例函数图象上的点，且位于第一象限，连接、，若四边形的面积为9，求点的坐标． 25. 如图1是某学校的抛物线型的拱形大门，为喜迎30年校庆，学校想要在拱形大门上距最高点相同距离的左右两侧各挂一个灯笼，该拱门的示意图如图2，以的中点为原点，所在的直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．经测量，拱门的宽，拱门最高点到所在直线的距离为，点在轴上，，且． （1）求该大门拱形部分所在抛物线的函数解析式； （2）如图2，线段和分别表示大门两侧悬挂的灯笼．已知每个灯笼的长为（即），灯笼悬挂点、到的水平距离均为．求灯笼底端到地面的距离（即点、到所在直线的距离）． 26. 【问题情境】 如图，已知抛物线（为常数，且）的对称轴是直线，与轴相交于、两点（点在点的右侧），与轴交于点． 【问题解决】 （1）求抛物线的解析式； （2）已知点是抛物线上、两点之间的一个动点（不与点、重合），设点的横坐标为，过点作轴，交直线于点． ①当线段的长最大时，求点的坐标； ②过点作交抛物线于另一点，是否存在点使得为等腰直角三角形？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $