精品解析：上海市虹口区多校2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026学年第一学期期中诊断练习（九年级）数学试卷 （测试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、班级、学号填写在答题纸规定位置． 3．除选择题、填空题外，必须写出必要的计算、推理或证明步骤． 4．全部答题须使用0.5 毫米黑色字迹水笔，选择题、作图题必须使用 2B 铅笔作答． 5．所有答案必须书写在答题纸对应题号的答题框内；写在试卷、草稿纸上或超出答题区域的答案一律不予评分． 一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似图形的判断，根据相似多边形的定义：对应角相等且对应边成比例的两个图形相似，分析各选项，只有两个正方形满足一定相似的条件． 【详解】解：两个正方形的所有角均为，对应角相等，且所有边均相等，对应边成比例， 两个正方形一定相似； 其他选项不一定相似： A、两个菱形对应角不一定相等； B、两个矩形对应边不一定成比例； C、两个等腰梯形对应角和对应边都不一定对应成比例； 故选：D． 2. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的一般形式，即(，且a，b，c为常数)，即可一一判定． 【详解】解：A.中含分式，不满足二次函数的一般形式，故该函数不是二次函数； B.在中，当时，不是二次函数，故该选项不符合题意； C.，不是二次函数，故该选项不符合题意； D.，是二次函数，故该选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数的识别，熟练掌握和运用二次函数的一般形式是解决本题的关键． 3. 已知线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作法中不正确的是（图中虚线均为平行线）（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】用平行线分线段成比例定理，即可求解． 【详解】解：A、由图知，，即，故选项正确，不符合题意； B、由图知，，故选项不正确，符合题意； C、由图知，，故选项正确，不符合题意； D、由图知，，故选项正确，不符合题意； 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 5. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图像与性质逐一进行判断即可求解． 【详解】解：A、由图像可知：，， ∴，选项错误； B、由对称轴可知：， ∴另一个交点为：， 从图像可得：时，，选项错误； C、由对称轴可知：， ∴，选项错误； D、由B选项证明可得： 当时， ，即，选项正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的基本性质，解题的关键是熟练运用二次函数的图像与性质． 6. 如图，在中，点E为边上一点，与交于点O，如果，，，那么下列选项中是相似三角形的是（ ） 与 与 与 与 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行判定①；利用两边对应成比例且夹角相等判定②；结合①②的结论推导边长关系，利用三边对应成比例判定④． 【详解】解：四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴，故②正确； 由得，即， 由 得，即， ∴， 又，即 ， ∴，即， 在和中， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故④正确； 若③成立，则， 由②知， ∴， 又， ∴，题目未给此条件，故不一定正确， 综上所述，①②④正确． 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的加法性质，将拆分为，再代入已知条件计算． 本题考查了分式的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ． 故答案为：． 8. 如果抛物线开口向上，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线开口向上时二次项系数为正，据此列关于a的一元一次不等式求解即可. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴二次项系数， 解该不等式，移项得， 两边同时除以，不等号方向改变，得. 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考出来黄金分割，解一元二次方程．由题意知，，由点是线段的黄金分割点，可得，即，整理得，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点是线段的黄金分割点， ∴，即，整理得， 解得：或（舍去）， 故答案为：． 10. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方解答即可． 【详解】∵两个相似三角形的周长比为1：2， ∴两个相似三角形的相似比是1：2， ∴它们的面积比是1：4， 故答案为：1：4． 【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形的周长比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 11. 如果二次函数的图像上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】将A、B两点的横坐标代入二次函数解析式，得到对应纵坐标的表达式，再比较二者大小． 【详解】解：∵点在二次函数的图像上， ∴代入，得， ∵点在二次函数的图像上， ∴代入，得， ∵， ∴． 12. 已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表所示，那么该二次函数图像的对称轴是直线______． x ．．． 1 5 ．．． y ．．． 7 0 7 ．．． 【答案】 【解析】 【分析】表格中与对应的函数值相等，可利用二次函数的轴对称性直接求解对称轴. 【详解】解：观察表格可知，当时，，当时，， ∵二次函数图像上纵坐标相等的两个点关于对称轴对称， ∴对称轴为两点横坐标的中点所在直线，即. 13. 如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么______． 【答案】 10 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴. 14. 二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 【答案】k＜ 【解析】 【分析】根据二次函数的定义和判别式的意义得到△=（-3）2-4×1×k＞0，然后求出不等式的解集即可． 【详解】根据题意得△=（-3）2-4×1×k＞0， 所以k＜． 故答案为k＜． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0），△=b2-4ac决定抛物线与x轴的交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． 15. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，意思是：现在有一口井，，井口的直径是5尺，不知道井有多深．在井口边上立一根长5尺的木杆，从木杆的顶端往井底水面看，视线和井口边缘相交，交点距离井口边缘为4寸（1尺寸），问这口井的深度是多少？如图，已知井的截面图为矩形，交于点F，尺，尺，尺，设井深为x尺，那么所列方程是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得，从而证得，利用相似三角形对应边成比例即可列出方程 ． 【详解】解： ∵ 四边形是矩形， ∴，，  ∵，  ∴，  ∴，  ∴，  ∵，，，， ∴． 16. 新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】将两个二次函数配方得到顶点纵坐标，根据新定义列出对任意实数恒成立的不等式，通过配方求出含的二次式的最小值，即可确定的取值范围. 【详解】解：∵ ∴该函数的顶点纵坐标为， ∵， ∴该函数的顶点纵坐标为； 根据“仰顶函数”的定义，可得， 整理不等式得， ∵无论取任何实数，上述关系恒成立， ∴需小于的最小值， 对配方得； ∵， ∴，即该式的最小值为； ∴. 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点，得到，平分，，求出，然后证明出，得到，代值求出，，，然后证明出，得到，，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，连接并延长，过点作交于点，过点作交延长线于点， ∵中，，，点是中点， ∴，平分，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知，，求的值． 【答案】44 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．设，则，再代入可求出的值，从而可得的值，代入计算即可得． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 19. 如图，已知点O是坐标原点，点A、B的坐标分别为，． （1）在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的，且它与的位似比为． （2）若点在线段上，直接写出由（1）变化后点C的对应点的坐标 ． （3）求出的周长 ． 【答案】（1）如图所示：即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将的各顶点的横纵坐标乘以得到对应点，再顺次连接即可； （2）将点的横纵坐标乘以即可； （3）根据勾股定理求得各边的长度，根据三角形的周长公式，即可求得三角形的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点 ∴变化后点的对应点的坐标为； 【小问3详解】 解：根据题意可得：，，， 故的周长． 20. 已知二次函数． （1）求该函数的顶点坐标和对称轴； （2）求它与坐标轴的交点坐标，并求当时，函数的取值范围． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为． （2）与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为；当时，的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）把解析式化为顶点式即可得到答案； （2）求出时的函数值和时自变量的值即可得到与坐标轴的交点坐标，结合二次函数的开口方向和对称轴，分析给定区间内的最值，确定y的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，，解得或， ∴与轴的交点坐标为、，与轴的交点坐标为； ∵二次项系数为， ∴二次函数开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大，且在对称轴处有最小值， ∵， ∴在满足的前提下，当时，函数有最大值，为， ∴当时，函数的取值范围为． 21. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 【答案】（1） （2）2 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质等知识，解题的关键是： （1）利用待定系数法求出抛物线的表达式即可； （2）把代入（1）中解析式求出x的值，然后求出抛物线的对称轴，最后结合已知写出点C的坐标即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵点的纵坐标为，点在抛物线上， ∴， 解得，， ∵， ∴对称轴为直线， ∵点C在对称轴右侧， ∴ ∴点C 到 y 轴的距离2．． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证明，再根据相似三角形的性质以及三角形的外角定理证明即可； （2）根据等腰三角形的三线合一即可得出，再证明，根据相似三角形的性质得出，根据等式的性质和等量代换即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 【答案】（1）不能 （2） （3）不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）先根据顶点和出手点求出抛物线解析式，再把篮筐的横坐标代入算出对应高度，对比命中高度区间，得出不能命中篮筐； （2）向前走t米相当于抛物线向右平移，写出平移后的抛物线，把篮筐中心点代入方程求解，结合向前走舍去不满足条件的，得到t的值； （3）保持抛物线形状与出手高度不变，把篮筐水平位置代入解析式算出篮球高度，将算出的高度和的范围对比，判断无法命中；设改变出手高度后的抛物线解析式，再根据命中条件求出m的取值范围，把出手点坐标代入抛物线解析式中，得到的取值范围，即可命中． 【小问1详解】 解：由题意，篮球运动轨迹为抛物线，顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 代入出手点， 可得， 解得． 所以抛物线解析式为， 当时，， 因为，不满足， 答：不能命中篮筐． 【小问2详解】 解：已知向阳向前走了t米， 则抛物线向右平移t米解析式变为， 此时篮球恰好经过篮筐中心点， 代入得， 整理得，即， 解得， 当时，顶点横坐标为， 不符合“向前走”的实际情境，舍去． 答：的值为． 【小问3详解】 解：在离篮筐中心水平距离5米处起跳，即出手点横坐标为， 已知保持出手高度米， 则抛物线顶点横坐标为， 所以解析式为． 当时，， 因为，不满足命中条件， 所以不能命中篮筐． 设改变出手高度后，抛物线解析式为， 当时，， 当篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐， 则，即， 出手点坐标为，代入解析式， 所以， 答：不能命中篮筐，若要命中，则的取值范围是． 24. 如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）证明： ， 与都是直角三角形 在中， ，， ， ， 在中，， ， ， ； （2）①，定义域：； ②10或12.5． 【解析】 【分析】（1）由勾股定理得，再证，然后证，即可得出结论； （2）①证，得，则，然后证，得，即可得出结论； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况，当时、当时，分别求出的长，即可解决问题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①，又 又 在中，， ，， ， 定义域：； ②当是以为腰的等腰三角形时，分两种情况： 第一种：当时，则， 解得：， 经检验，是原分式方程的解， 即的长为10； 第二种：当时， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵是直角三角形， 同理可得， ∴， 所以，即， 则解得，， 综上所述：当是等腰三角形时，的长为10或12.5． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期期中诊断练习（九年级）数学试卷 （测试时间100分钟，满分150分） 考生注意： 1．本试卷满分150分，考试时间100分钟． 2．答题前，请将姓名、班级、学号填写在答题纸规定位置． 3．除选择题、填空题外，必须写出必要的计算、推理或证明步骤． 4．全部答题须使用0.5 毫米黑色字迹水笔，选择题、作图题必须使用 2B 铅笔作答． 5．所有答案必须书写在答题纸对应题号的答题框内；写在试卷、草稿纸上或超出答题区域的答案一律不予评分． 一、单项选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列两个图形一定相似的是（ ） A. 两个菱形 B. 两个矩形 C. 两个等腰梯形 D. 两个正方形 2. 下列四个函数中，一定是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作法中不正确的是（图中虚线均为平行线）（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 5. 已知二次函数的图像如图所示，那么下列结论中正确的是（ ） A. B. 当时， C. D. 6. 如图，在中，点E为边上一点，与交于点O，如果，，，那么下列选项中是相似三角形的是（ ） 与 与 与 与 A. B. C. D. 二、填空题：（本大题共11题，每题4分，满分44分） 7. 如果，那么______． 8. 如果抛物线开口向上，那么a的取值范围是______． 9. 已知点P是线段的黄金分割点（），如果，那么的长为______． 10. 两个相似三角形的周长比为1：2，那么它们的面积比为_______． 11. 如果二次函数的图像上有两点和，那么______（填“”、“”或“”）． 12. 已知二次函数的变量x与变量y的部分对应值如下表所示，那么该二次函数图像的对称轴是直线______． x ．．． 1 5 ．．． y ．．． 7 0 7 ．．． 13. 如图，已知直线、、分别交直线m于点A、B、C，交直线n于点D、E、F，且，，，那么______． 14. 二次函数y=x2﹣3x+k的图象与x轴有两个交点，则实数k的取值范围是_____． 15. “今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，意思是：现在有一口井，，井口的直径是5尺，不知道井有多深．在井口边上立一根长5尺的木杆，从木杆的顶端往井底水面看，视线和井口边缘相交，交点距离井口边缘为4寸（1尺寸），问这口井的深度是多少？如图，已知井的截面图为矩形，交于点F，尺，尺，尺，设井深为x尺，那么所列方程是______． 16. 新定义：对于二次函数A和B，若A的顶点坐标在B的顶点坐标上方，则A是B的“仰顶函数”，例如：函数是函数的“仰顶函数”．无论m取任何实数，函数都是函数的“仰顶函数”，则n的取值范围是______． 17. 如图，中，，，点是中点，点在上且，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，则的长为__________． 三、解答题（本大题共7题，满分82分） 18. 已知，，求的值． 19. 如图，已知点O是坐标原点，点A、B的坐标分别为，． （1）在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的，且它与的位似比为． （2）若点在线段上，直接写出由（1）变化后点C的对应点的坐标 ． （3）求出的周长 ． 20. 已知二次函数． （1）求该函数的顶点坐标和对称轴； （2）求它与坐标轴的交点坐标，并求当时，函数的取值范围． 21. 如图，已知抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点在抛物线上，且在对称轴右侧，若点的纵坐标为，求点到轴的距离． 22. 如图，点E为边上一点，过点C作，交的延长线于点D，交的延长线于点F，且． （1）求证：； （2）如果，求证：． 23. 综合实践：怎样才能命中篮筐． 【活动背景】学校组织班级间篮球比赛，九年级同学向阳发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮的图片，并测量相应的数据进行研究． 【模型建立】如图所示，以向阳的起跳点为坐标原点，水平方向为轴，竖直方向为轴建立平面直角坐标系；篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理 素材1 篮球出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2 当篮球恰好经过篮筐中心点时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹抛物线的开口大小由投篮方向和出手速度决定，向阳在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 【解决问题】在初次投篮时，小组测得相关数据为：米，米，米，米． （1）向阳初次投篮时______命中篮筐；（填写：“能”或“不能”） （2）该班数学兴趣小组同学对向阳的初次投篮数据进行研究后，让向阳同学在原来位置向前走了米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求的值（保留根号）． （3）在比赛过程中，向阳在离篮筐中心的水平距离5米处开始起跳投篮，若保持初次投篮时的出手高度，向阳此次能否命中篮筐？请说明理由．如果不能命中，在不改变向阳离篮筐中心的水平距离、投篮方向及出手速度的前提下，该如何调整向阳的投篮策略才能命中呢？ 24. 如图1，在和中，，，，． （1）求证：； （2）已知点M为边上一点（与点不重合），且，交于点，交的延长线于点E． ①如图2，设，，求y与x的函数关系式，并写出定义域； ②当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $