精品解析：广西壮族自治区崇左市扶绥县扶绥中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

扶绥中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 （满分150分 时长120分钟） 一､单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求解三次方程得到集合A，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，得，即，解得或或， 所以. 因此. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先计算，再由复数的概念即可求解. 【详解】由题意有， 所以的虚部是. 故选：A. 3. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用几何法即可求得弦的长. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 则弦的长 故选：A 4. 在中，角所对的边分别是，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理角化边，即可判断三角形形状. 【详解】在中，由正弦定理及，得， 而，因此，所以是等腰三角形. 故选：A 5. 已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（ ） A. B. 8 C. 16 D. 24 【答案】D 【解析】 【分析】先求出，再结合方差公式可得正确选项. 【详解】由题设有，故， 故， 故数据，的方差为： ， 故选：D. 6. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，分析几何关系，建立关于的不等式，求解即可. 【详解】设交轴于点，则， ， 则，即， 即，结合椭圆离心率， 得， 则离心率的最小值为. 故选：D. 7. 已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用构造等差递推数列，求出通项，从而可用计算，这样求解即可. 【详解】令可得：且， 由数列的前项积为，可得， 代入可得：当时，有， 两边同时除以可得：， 即是等差数列，且首项，公差为， 所以， 则， 故选：D. 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】函数的根转化为两个新函数图像的焦点问题，再对对数函数的进行分类讨论即可. 【详解】由知是周期为2的周期函数， 函数至少有6个零点等价于函数 与的图象至少有6个交点， ①当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即. ②当时,画出函数与的图象如下图所示, 根据图象可得,即 . 综上所述,的取值范围是. 故选：A 二､多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知.若，则（ ） A. 的最小值为10 B. 的最小值为9 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质依次判断选项即可得到答案. 【详解】对选项A，B，因为已知， 所以， 当且仅当，即，取等号，故A错误，B正确. 对选项C，D， ，即，当且仅当，时等号成立， 故C正确，D错误. 故选：BC 10. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，，当时，都有；③，下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若， D. ，使得 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件可直接判断函数为偶函数，单减，单增，再结合函数特征以此判断选项即可. 【详解】由①，，得为偶函数， ②，，当时，都有，得在上单调递减，，故A正确； 即或，解得或，故B错误； 由，得，若，则或，解得，故C正确； 由为R上的偶函数，在单调递减，在单调递增， 又因为函数的图象是连续不断的，所以为的最大值，所以，，使得，故D正确. 故选：ACD 11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线和所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面平行的判定推理判断A；利用面面垂直的判定推理判断B；利用等积法求出三棱锥的体积判断C；求出异面直线和所成的角的余弦值判断D. 【详解】对于A， 在四棱锥中，连接交于点，连接， 在中，点为中点，而为的中点，则， 平面，平面，因此平面，A正确； 对于B，平面，平面，则， 又，平面， 于是平面，又平面，因此平面平面，B正确； 对于C，在中，，由为的中点， 得，C错误； 对于D，由选项A知，异面直线和所成的角即为（或其补角）， 在Rt中，，， 在Rt中，，， 在Rt中，，则，D正确. 故选：ABD 三､填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律求解即得. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则________． 【答案】1 【解析】 【分析】设出M点的坐标，写出切线方程，求出，依据，列出方程组求解即可. 【详解】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线：即，焦点，设， 因为，所以抛物线在M处的切线方程为， （另法：设抛物线在M处的切线方程为与联立消去y，得到：，利用亦可求出）. 令，得，即， 由题，， 解得. 故答案为：. 14. 已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得，由，得，画出的图象结合，且，分情况求解即可. 【详解】由，得，当时，的最小值为． 由，得，即， 因为，所以．而， 当时，方程的实数解的个数分别为3，3，2； 当时，方程的实数解的个数分别为3，2，2； 当时，方程，的实数解的个数均为2． 所以当时，函数恰有7个零点，故所求概率为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：此题考查函数与方程的综合应用，考查分段函数的性质的应用，解题的关键是画出函数图象，结合图象求解即可，考查数形结合的思想，属于较难题. 四､解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二倍角公式及辅助角公式化简函数，然后利用正弦函数的单调性求解增区间； （2）先求出的范围，然后利用正弦函数的性质求解值域即可. 【小问1详解】 由 ， 令得，， 所以的单调递增区间为， 【小问2详解】 因为，所以，所以， 故函数的值域为. 16. 如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2）存在，1 【解析】 【分析】（1）根据线线平行可得异面直线所成的角，根据三角形的边角关系即可求解， （2）根据几何法求解线面角，利用三角形的边角关系即可求解. 【小问1详解】 因为为正方形，则， 则异面直线与所成的角为与所成的角，即或其补角， 因为三角形是等边三角形，则 平面，平面，，． 所以异面直线AC与BD所成的角为． 【小问2详解】 作交于点，连接， 平面，平面， 则与平面所成的角为， 设，则， 则. 17. 某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的列联表（单位：人）． 接种疫苗情况 感染病毒情况 感染 未感染 未接种 20 30 已接种 10 60 （1）是否有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？ （2）以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率． （3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率为，求当p为何值时，最大． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关； （2）； （3）当时，最大. 【解析】 【分析】（1）利用独立性检验公式，代入计算比较即可； （2）利用二项分布概率公式计算出答案即可； （3）表示出，借助导数研究其单调性，从而确定为何值时，最大. 【小问1详解】 ， 所以有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关． 【小问2详解】 由题意得，该地区每名密切接触者感染病毒的概率为， 设随机抽取的4人中感染病毒的人数为X，则X的可能取值为0，1，2，3，4， 设至少有2人感染病毒的为事件A． ，，， 则． 【小问3详解】 ，则， 令，则，（舍去）， 随着p的变化，，的变化如下表: p 0 增 极大值 减 综上，当时，最大. 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 【答案】（1）在上单调递增，在上单调递减.；（2）； （3）证明：由，，不妨设， 构造函数，，， 则， 所以在，上单调递增，， 也即对，恒成立． 由，则，， 所以， 即，又因为，，且在上单调递减，所以， 即证． 即． 【解析】 【分析】（1）根据导数和函数单调性的关系即可求出； （2）先求出函数的值域，即可求出的范围； （3）构造函数，判断函数的单调性，即可证明． 【详解】解：（1）因为，所以，令，解得，令，解得， 即函数在上单调递增，在上单调递减． （2）由（1）可得函数在处取得最大值，， 所以函数的图象大致如下： 易知函数的值域为． 因为方程有两个不同的根， 所以，即，，解得． 即实数的取值范围为． （3）略 【点睛】本题考查导数的综合应用，利用导数求函数的单调性及最值，考查不等式与函数单调性的应用，考查转化思想，属于中档题． 19. 已知动点到点的距离与到直线的距离之比为2． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线经过点与轨迹交于，两点，交直线于点（点在点，之间），过点作轨迹的两条切线，切点分别为，. ①是否为定值?若是，请求出此定值； ②若直线的斜率满足，求四边形的面积的最小值． 【答案】（1） （2）①是，；②18． 【解析】 【分析】（1）根据距离公式化简求解可解； （2）①设，设的方程为，与双曲线联立，根据韦达定理可求得，根据两点之间距离公式代入化简即可求解；②设，分别表达出过切线方程，点满足两个方程，可求出直线的方程，分别求出直线，根据四边形面积公式即可求解. 【小问1详解】 设点，则， 化简可得， 即动点的轨迹的方程为； 【小问2详解】 ①设，其中，直线的方程为，则． 联立，则，其中，从而． 由对称性，不妨设，则 ． ②设，过点的切线方程为，过点的切线方程为． 由于点是这两条直线的交点，则， 从而直线的方程为，即直线经过点（2，0）且． ． 同理，． 直线的斜率，则． 四边形的面积为 ， 当且仅当，即直线的斜率时四边形的面积取到最小值18． 【点睛】关键点点睛：设出点的坐标，以及直线方程，联立后根据韦达定理可求出两点和纵坐标关于直线斜率的表示，以及两点纵坐标积关于直线斜率表示，代入后化简即可求解， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 扶绥中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学试题 （满分150分 时长120分钟） 一､单选题（共40分）：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线与圆相交于两点，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 4. 在中，角所对的边分别是，若，则是（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 5. 已知一组样本数据分别为，若这组数据的平均数为4，则数据，的方差为（ ） A. B. 8 C. 16 D. 24 6. 已知椭圆的左、右焦点为，，上顶点为，右准线为，上存在点满足，则椭圆的离心率的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知各项均为正数的数列的前项和为，数列的前项积为，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在R上的函数对于任意的x都满足，当时，，若函数至少有6个零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题（共18分）：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知.若，则（ ） A. 的最小值为10 B. 的最小值为9 C. 的最大值为 D. 的最小值为 10. 已知定义在R上函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①；②，，当时，都有；③，下列选项成立的是（ ） A. B. 若，则 C. 若， D. ，使得 11. 如图，在四棱锥中，平面，底面是平行四边形，，为的中点，则（ ） A. 平面 B. 平面平面 C. 三棱锥的体积为 D. 异面直线和所成的角为 三､填空题（共15分）：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______． 13. 在平面直角坐标系中，抛物线：的焦点为，过上一点（异于原点）作的切线，与轴交于点．若，，则________． 14. 已知函数，若从集合中随机选取一个元素，则函数恰有7个零点的概率是________． 四､解答题（共77分）：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，函数. （1）求的单调递增区间； （2）当时，求的值域. 16. 如图，已知正方形的边长为1，平面，三角形是等边三角形． （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）在线段上是否存在一点，使得与平面所成的角大小为？若存在，求出的长度，若不存在，说明理由. 17. 某国卫生与公共服务部门数据显示，在近两周里，该国某州新冠肺炎确诊病例数新增．在对确诊病例的密切接触者进行医学观察后发现，其中未接种过新冠疫苗者感染病毒的比例较大．对该州120个密切接触者样本的医学观察结束后，统计了其疫苗接种与感染病毒情况，得到下面的列联表（单位：人）． 接种疫苗情况 感染病毒情况 感染 未感染 未接种 20 30 已接种 10 60 （1）是否有的把握认为密切接触者感染病毒与未接种新冠疫苗有关？ （2）以样本中结束医学观察的密切接触者感染病毒的频率估计概率，现从该地区结束医学观察的密切接触者中随机抽取4人统计感染病毒的人数，求其中至少有2人感染病毒的概率． （3）该国现有一个中风险村庄，当地政府决定对村庄内所有住户进行排查．在排查期间，发现一户3口之家与确诊患者有过密切接触，这种情况下医护人员要对其家庭成员逐一进行病毒检测，每名成员进行检测后即告知结果，若检测结果呈阳性，则该家庭被确定为“感染高危家庭”．假设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为p（）且相互独立，记该家庭至少检测了2名成员才被确定为“感染高危家庭”的概率为，求当p为何值时，最大． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数． （1）判断函数的单调性； （2）若方程有两个不同的根，求实数的取值范围； （3）如果，且，求证：． 19. 已知动点到点的距离与到直线的距离之比为2． （1）求动点的轨迹的方程； （2）若直线经过点与轨迹交于，两点，交直线于点（点在点，之间），过点作轨迹的两条切线，切点分别为，. ①是否为定值?若是，请求出此定值； ②若直线的斜率满足，求四边形的面积的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $