精品解析：广西壮族自治区贵港市达开高级中学2026-2027学年高三上学期11月期中测试数学试题

贵港市达开学高级中学2026-2027学年秋季学期期中测试 高三数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数，则复数的共轭复数（     ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的乘法与除法，结合共轭复数求解即可. 【详解】由， 所以. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出一元二次方程的两根，再利用交集的定义即可求解. 【详解】因为一元二次方程的两根为和，所以， 所以. 故选：A 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令即可得解. 【详解】令，解得，故所求为. 故选：D. 4. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用整体代换求得对称中心，再赋值求解即可. 【详解】令，解得， 所以函数的对称中心为 当时，，即是函数的一个对称中心. 5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由椭圆的长轴长是短轴长的3倍得，由得，即可求解离心率. 【详解】因为椭圆的长轴长是短轴长的3倍， 所以，得，又因为，所以， 可得，因此的离心率. 故选：C. 6. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】在和中应用正弦定理求得BC与BD，然后在中应用余弦定理求得CD. 【详解】在中，由正弦定理得， 即，得， 在中，，是等边三角形，， 在中，，由余弦定理， ， 所以． 故选：C. 7. 过点作圆的切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】点四点共圆，求出此圆的方程，与相减后得到弦的方程，得到圆心到的距离和弦长，求出最小值. 【详解】圆的圆心为， 故点四点共圆，其中为直径， 故此圆的圆心为，即， 直径为， 故此圆的方程为， 与相减得，， 故弦的方程为， 圆心到的距离为， 故弦长. 故选：A 8. 数列的前项和，且，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先把适度放缩，求出前项和的范围，再进行判断. 【详解】由已知得： ，又， 故 当且时， ， 所以. 故选：D 【点睛】方法点睛：数列的前项和没法求，再者本题求的是前项和的取值范围，所以要想到对数列要适度放缩，然后求和. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 该圆锥的轴截面的面积是8 D. 圆锥侧面积是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据给定条件，求出圆锥的高，再逐项分析判断即得. 【详解】圆锥的底面半径，母线长，则该圆锥的高， 对于A，圆锥的体积，A错误； 对于B，圆锥侧面展开图扇形弧长为，该扇形圆心角为，B正确； 对于C，该圆锥的轴截面是底边长为6，高为的等腰三角形，面积为，C错误； 对于D，该圆锥的侧面积，D正确. 故选：BD 10. 若的展开式中存在含的项，则的值可能是（ ） A. 6 B. 11 C. 15 D. 20 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合题意求得正确答案. 【详解】由题意得展开式的通项， 展开式的通项， 要使的展开式中存在含的项， 则或，即或，其中， 所以的值可能是，不可能的是. 故选：ABD. 11. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，求出比例即可判断A选项；由余弦定理得，结合向量数量积即可判断B选项；由向量的线性运算得即可判断C选项；取中点，由求出最小值即可判断D选项. 【详解】 设，则，三式联立解得，对于A，，A正确； 对于B，，则，B错误； 对于C，若，则，则， 即，即，则，，C正确； 对于D，若，则，取中点，连接， 则，显然当时，最小， 此时，则，则的最小值为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 【答案】 【解析】 【分析】直接由数量积的几何意义计算投影向量可得. 【详解】由，，得，， 所以在上的投影向量为. 13. 函数的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由辅助角公式将函数解析式化简得到即可求解. 【详解】因为函数 ， 又，所以，所以， 所以，所以. 故答案： 14. 已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】 【解析】 【分析】先由，求得数列的通项公式，再由错位相减法求出，再利用不等式恒成立即得. 【详解】因为，所以当时， ，即， 当时，有， 所以，即， 因此数列是首项为，公比为的等比数列， 所以，因为， 所以， ， 得， 因此． 由恒成立得恒成立， 因为，所以， 即，所以． 故答案为：． 【点睛】数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和； （2）对于型数列，其中是等差数列，是等比数列，利用错位相减法求和； （3）对于型数列，利用分组求和法； （4）对于型数列，其中是公差为的等差数列，利用裂项相消法求和. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 【答案】（1） （2），取得最大值56 【解析】 【分析】（1）根据与关系求解； （2）法一，利用二次函数求最值；法二，由项的符号求最值. 【小问1详解】 由题意可知：， 当时，， 当时，， 当时，，符合， ∴数列的通项公式； 【小问2详解】 法一：， 由二次函数图象及知或时，取得最大值56. 法二：当时，， 当时，， 当时，， 所以当或时，有最大值. 16. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得的值，由，即可得所求方程 （2）先用点差法及中点公式求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 设C的焦距为，长轴长为， 则， 所以，所以， 所以C的方程为． 【小问2详解】 设， 代入椭圆方程得 两式相减可得， 即． 由点为线段的中点， 得， 则l的斜率， 所以l的方程为， 即． 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，，为中点，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得到，进而得到，结合题目条件证明平面，由线面垂直的性质得到，易证平面，进而得证； （2）结合题意建立适当的空间直角坐标系，结合线面角相关求解公式计算求解即可. 【小问1详解】 在中，，，， 由余弦定理可得，所以， 进而，所以，即， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 又因为，，平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以. 【小问2详解】 在平面内，过点作交的延长线于， 因为，所以， 又，且四点共面， 所以四边形为平行四边形， 进而，，所以点为中点， 因为平面，且平面， 所以，，， 在中，，，由勾股定理得， 以点为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，， 平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则． 即直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件． （1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量； （2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率； （3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？ 【答案】（1）需要从甲厂订购配件M的数量为5万个；从乙厂订购配件M的数量为3万个 （2）0.028 （3）甲厂应承担的费用为元，乙厂应承担的费用为元，本厂应承担的费用为元 【解析】 【分析】（1）设出使用甲厂生产的配件M的比例，同时得到乙厂的比例，再根据已知条件求出比例，进而求出数量； （2）由（1）的生产比例，分别算出各个厂的次品的概率，求概率的和即可； （3）由条件概率公式，分别求出来自各个厂次品配件的概率，进一步求出它们各自应该承担的维修费用. 【小问1详解】 设使用甲厂生产的配件M的比例为a，则使用乙厂生产的配件M的比例为0.8-a， 由已知可得，解得a＝0.5． 所以需要从甲厂订购配件M的数量为100.5＝5万个； 从乙厂订购配件M的数量为＝3万个． 【小问2详解】 由（1）知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的比例分别为0.5，0.3，0.2， 所以该汽车厂使用的配件M的次品率的估计值为 ， 所以该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率为0.028． 【小问3详解】 设A＝“该轿车使用了次品配件”，“配件M来自甲厂”，“配件M来自乙厂”，“配件M来自本厂”．由（2）可知 ． 该次品配件M来自甲厂的概率为： ， 该次品配件M来自乙厂的概率为： ， 该次品配件M来自本厂的概率为： ， 所以甲厂应承担的费用为元， 乙厂应承担的费用为元， 本厂应承担的费用为元． 19. 已知函数，为的导数． （1）若且曲线上的动点P到直线距离的最小值为，求实数a的值； （2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，求证：． 【答案】（1）1 （2） （3） 证明：依题意：要证. ①当时，，，所以不等式成立； ②当时，要证，即. 设，， 则，. 设，.则，. 当时，，，，所以，. 所以在上单调递减. 所以.即，. 所以在上单调递减， 所以， 即当时，成立. 综上：当时，在上恒成立. 【解析】 【分析】（1）求函数斜率为2的切线方程，根据平行线间的距离公式求的值. （2）明确的解析式，函数有两个极值点，转化成有两个不同的正数解，利用二次方程根的分布可求的取值范围. （3）问题转化为证明（），分和两种情况证明.当时，构造函数，利用导数分析函数单调性，求最值即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 由， 又. 所以切点，且必在直线的上方. 由 设，则，且， 设，，则， 故在上为增函数，而，故仅有一个解， 故方程只有1解：. 【小问2详解】 由题意：，. 所以，， 因为有两个极值点，所以在有两个变号零点， 即方程有两个不等正根，即为，， 则. 【小问3详解】 略 【点睛】方法点睛：本题主要考查导数的几何意义、函数的零点问题，考查考生的逻辑思维能力，考查数形结合思想的应用．已知函数有零点求参数的取值范围的常用方法： ①直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式（组），再通过解不等式（组）确定参数的取值范围； ②分离参数法，将参数分离，转化为函数的值域问题加以解决； ③数形结合法，首先对解析式变形，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合法求解． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵港市达开学高级中学2026-2027学年秋季学期期中测试 高三数学 （满分150分 时间120分钟） 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若复数，则复数的共轭复数（     ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 双曲线的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的一个对称中心为（ ） A. B. C. D. 5. 已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为了测量河对岸两点间的距离，现在沿岸相距的两点处分别测得，则间的距离为（ ） A. B. C. D. 7. 过点作圆的切线，切点分别为A，B，则弦长的最小值为（ ） A. B. 3 C. 2 D. 8. 数列的前项和，且，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某圆锥的底面半径是3，母线长为4，则下列关于此圆锥的说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积是 B. 圆锥侧面展开图的圆心角是 C. 该圆锥的轴截面的面积是8 D. 圆锥侧面积是 10. 若的展开式中存在含的项，则的值可能是（ ） A. 6 B. 11 C. 15 D. 20 11. 中，内角，，的对边分别为，，，已知，点是边上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则在上的投影向量坐标为_________. 13. 函数的最小值为___________. 14. 已知数列的前项和为，且满足，若数列的前项和满足恒成立，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知是等差数列的前n项和，且. （1）求数列的通项公式； （2）n为何值时，取得最大值并求其最大值. 16. 已知椭圆的长轴长为10，焦距为6． （1）求C的方程； （2）若直线l与C交于A，B两点，且线段AB的中点坐标为，求l的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面是等腰梯形，，，，，，为中点，，． （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 某品牌汽车厂今年计划生产10万辆轿车，生产每辆轿车都需要安装一个配件M，其中由本厂自主生产的配件M可以满足20%的生产需要，其余的要向甲、乙两个配件厂家订购．已知本厂生产配件M的成本为500元/件，从甲、乙两厂订购配件M的成本分别为600元/件和800元/件，该汽车厂计划将每辆轿车使用配件M的平均成本控制为640元/件． （1）分别求该汽车厂需要从甲厂和乙厂订购配件M的数量； （2）已知甲厂、乙厂和本厂自主生产的配件M的次品率分别为4%，2%和1%，求该厂生产的一辆轿车使用的配件M是次品的概率； （3）现有一辆轿车由于使用了次品配件M出现了质量问题，需要返厂维修，维修费用为14 000元，若维修费用由甲厂、乙厂和本厂按照次品配件M来自各厂的概率的比例分担，则它们各自应该承担的维修费用分别为多少？ 19. 已知函数，为的导数． （1）若且曲线上的动点P到直线距离的最小值为，求实数a的值； （2）若函数有两个极值点，求实数a的取值范围； （3）在（1）的条件下，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $