广西壮族自治区崇左市宁明县宁明中学2026-2027学年高三上学期11月期中考试数学试题

宁明县宁明中学2026-2027学年秋季学期期中考试 高三数学 (满分150分时长120分钟) 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要 求 1.某公园在2026年国庆期间举办了丰富多彩的活动，参与游客中的老年、中年、青少年人数之比为 2:5:3.现采用分层抽样的方法抽取名游客调查活动满意度.若抽取的老年人数有20人，则样本容量 n为() A.100 B.150 C.80 D.90 2.已知集合A={xx<3,x∈N,则A的非空真子集个数为() A.4 B.6 C.7 D.9 +2 3. 的展开式中xy4的系数为() B.20 C.60 D.96 4.已知复数z满足0-3列=7+i,则=() A.√2 B.5 C.2 D.5 5.已知棱长为2的正方体的体积与球O的体积相等，则球O的半径为() A.24 B.6 C. 24 Vπ 6,已蜘双曲袋二乐=1《a>0,60)的在店F与雅物线=数的焦点重合，鹅物线准线与一条 渐近线交于点Am,23),则双曲线的方程为() A.8-1 B.x2_y2 124 4121 3y2=1 D.x-=1 3 7.函数y=√-x2+5x-4的单调递减区间是() a.[3+o c. 8.对任意的x∈(0，+)，不等式(e-e-x+ad(x2-e-x+2na+a-1)≥0恒成立，则实数a的取值集合是 () 试卷第1页（共4页） A. B.(0,2 c. D.{2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知向量a=1,3),b=(-2,1),c=(3,-5),则(). A.(a+2b)Lc B.(a+2/1c C.a+c=2 D.la+c=2b 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD中，E,M,N分别为AB,AD,CC1的中点，则 () D M A.AC/平面EMN B.BD⊥平面EMN C.平面ABCD与平面EN夹角的余弦值为Y6 D.点B到平面EMN的距离为√3 11.抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线1交x轴于点Q(-2,0),过焦点的直线m与抛物线C 交于A,B两点，则() A.p=2 B.|AB|≥8 C.直线AQ与BQ的斜率之和为0 D.准线I上存在点M,若△MAB为等边三角形，可得直线AB的斜率为士 2 三、填空题（共15分)：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知空间向量ā=(2，-1,1)，b=(2,x,3),且a与b垂直，则x等于 13.已知函数x)-smx+引(@>0)在0，上单调递增，则0的取值范围为 14.已知S,是各项均为正实数的数列{a}的前n项和，4=1，cH-4+4,-6c=0,若 n∈N,2S,a,-a.+27≥0，则实数的取值范围是 试卷第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15.(13分)甲、乙两人组成团队参加竞猜活动，每轮活动由甲、乙各猜一次，己知甲每轮猜对的概率为 号，乙每轮猜对的联率为号·每轮活动中，甲和乙猜对与否五不影确，各轮结果也互不影响。 (1)求团队在第一轮活动中至少猜对一次的概率： (2)求团队在两轮活动中猜对三次的概率， 16.(15分)如图，在三棱锥P-ABC中，AC=2AB=3,AD=2DB,点E在AC上，且PE⊥AC, CE=PE=2. D (1)若F为线段PE的中点，求证：直线DF∥平面PBC; (2)若AB⊥平面PAC,求平面PAB与平面PCB夹角的余弦值. 17.(15分)在△ABC中，内角A,B,C对边分别为a,b,c,已知2 acos B=2c-b. (1)求角A的值： (2)若b=5,AC.CB=-5,求△ABC的边c的大小. 试卷第3页（共4页） 18.17分)已知椭圆C的焦点在x轴上，焦距为2，离心率为5，过点P(2,0)的直线1与椭圆C交于 2 A,B(不重合)两点，坐标原点为O(0,0). (1)求椭圆C的标准方程： (②若线段4B的巾点的横坐标为号，求直线1的方程： (3)若点O在以线段AB为直径的圆上，求直线1的方程， 19.(17分)已知函数f(x)=ecosx-x+1,8(x)=∫(x)+x(m∈R),其中函数∫(x)的导函数为 f"(x). (1)当m=1时，求函数f"(x)在[0，上的单调性： (2)证明：当m>0时，8(x)在0，上存在极大值点，且a此=m; 证明：加>0xe引，使得g>e片+1恒成立 试卷第4页（共4页） 参考答案 题号 2 心 5 6 8 9 10 答案 双 B C D D D C A BD ABD 题号 11 答案 BCD 1.A 【详解】由题意得： 2 2+5+3×n=20,解得：n=10 2.B 【详解】由题可得A={xx<3,x∈N=0,1,2},则A的非空真子集个数为2-2=6个 3.C 【详解】要得到xy,需从6个因子中选2个取x,其余4个取2y, 2 所以x2y4的系数为C× 1 ×24=15×号×16=60. 2 4 4.D 【详解】由=0-31)=7+i, 得：=7i-亿+0+0-7+2i+-4+2i+号， 1-3i1+3i)0-3i)1-9i2 1055 所以2=211， 55 故选：D 5.D 【详解】由棱长为2的正方体的体积为V=2x2×2=8, 4 设球的半径为”，可得π3=8，解得r= 3 67 故选：D. 6.D 【详解】由抛物线广=8x的焦点为2,0，因为双曲线 线立京=1与抛物线2=8x的焦点重合， 可得双曲线的右焦点为F(2,0),即c=2,可得2+b2=4, 又由双曲线女卫」 若分-1的一条近线方程为少=一久，抛物线的准线方程为￥=-2， a 因为抛物线准线与一条渐近线交于点Am,2√3)，可得m=-2, 答案第1页（共10页） 即交点为4-2,25)，代入新近线方程，可得25=白，可得6=5a, 将b=V3a代入+=4，可得d=1,所以公=3，所以双曲线的方程为r2_ 31, 故选：D 7.C 【详解】由-x2+5x-4≥0，解得1≤x≤4， 所以函数y=√-x2+5x-4的定义域为[1,4]， 令u=-x2+5x-4,则y=Va, 心54在任L件洞或，在》 上单调递增，y=√在[0，+o)上单调递增， 所以函数y=√-x2+5x-4的单调递减区间是 故选：C 8.A 【详解】由题意，知a>0,令f(x)=e-x-e+a,x>0,则f'(x)=e-1>0, 所以f(x)在(0，+o)上单调递增，易知f(a)=0, 所以当x>a时，f(x)>0;当0<x<a时，f(x)<0. 8(x)=x2-e-*+2na+a-1, 则对任意的x∈(0，+∞)，不等式(e*-e-x+a)(x2-e-x+2na+a-1)≥0恒成立， 等价于当x>4时，g(x)>0,当0<x<a时，g(x)<0. 当x>0时，g'(x)=2x+ex>0,则函数8(x)在(0，+o)上单调递增， 所以x=a是g(x)=x2-e-+2na+a-1的零点，即d-ea+2lna+a-1=0, 即ad2+2lna=e-a+1-a,即e2a+2lna=e-a+1-a. 构造函数h(t)=e+t,则（①=e+l>0,函数h(t)在R上单调递增， 由e2a+2lna=e-a+l-a,得h(2na)=h(1-a,所以2na=1-a,即2na+a-l=0 令p(a)=2ha+a-1,则p(a=2+1>0,函数p(a在(0，+o)上单调递增， 易知p(1)=0,故a=1. 故选：A 9.BD 答案第2页（共10页） 【详解】因为a+2b=(-3,5)=-(3,-5)=-c,所以(a+2b)/1c,故A错误，B正确： 因为a+c=(4,-2)=-2(-2,1)=-2b,所以a+c√42+（←2）}'=25，且a+c=21,故C错误，D正 确。 故选：BD 10.ABD 【详解】以D为原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系 则M(1,0,0),E(2,1,2),N(0,2,1),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),D(0,0,2), 所以E=(1,1,2),MN=(-1,2,1),AC=（-2,2,0),BD=(-2,-2,2),BM=(-1,-2,0) 设平面EMN的一个法向量为n=(x,y,z), n=x+y+2z=0。令2-1，得y=-1x=-1,得i=(1,-1) 则 -.MN=-x+2y+z=0, 因为AC.i=2-2=0,所以AC⊥n, 又ACt平面EMN,所以AC/平面EMN,A正确： 因为BD=2i,所以BD/1i,所以BD⊥平面EMN,B正确； 易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1), m列_5 所以子面ABCD与平面EN夹角的余弦值为冰osa,列园兮，C错误： D C ￥2 M B BM.n 点B到平面EMN的距离为 =√5，D正确， 故选：ABD 11.BCD 【详解】对A,由准线1交x轴于点Q(-2,0), 所以号-2，p=4,故A错误， 答案第3页（共10页） 对B,抛物线过焦点的弦通径最短，即垂直于x轴时， 令x=2,可得y=±4，|AB=8, 所以|AB|>≥8，故B正确： 对C,设直线m的方程为x=四+2， 代入抛物线方程可得：y2-8y-16=0, 设A(3,)B(x2,y2),则有：乃+y2=82为=-16， 所议o知在2 :没罗0故e+ 对D,若△MAB为等边三角形，设A,B中点为N(a,b), 则a=+五=+)+4=4n2+2,b=当+边=4n, 2 2 设M(-2,),所以 4n-t=-,所以t=4r+8,则M-2,4r+8, 4+4 4n4+8n2+4 则点M(-2,4m+8m）到直线m的距离d= Vm2+1 而AB=x+x3+p=ny+2)+4+4=8n+8, 由d=98可得8r44.5r+9 Vn2+12 解得√n+1=√3，所以n=±√5 此时AB的斜率为士 ,故D正确 2 故选：BCD 12.-1 【详解】因为a=(-2,-1,1),b=(2,x,3),且a与b垂直， 所以a.b=-4-x+3=0,解得x=-1. 故答案为：-1 13.(0,1] 【详解1由2分+骨流+子ez,解得2海要 2m+ 6,kez 答案第4页（共10页） 2kn- 5π 6≤0 0 「0<0≤12k+1 由题意知 2m+元 解得k0 由于k∈Z,故k=0,所以0<o≤1. 故答案为：(0,1] 14.(-0,1刀 【详解】因为4=1，+H-a+a.-64=(a+1-30n)(a+H+2a)=0, 又因为{}是各项均为正实数的数列， 所以aH=3a,即数列{a}是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以a=3-1，所以S= 1×(1-3"）3”-1 1-3 2 而n∈N,2Sn4,-a,+27≥0，所以(3”-1B-1-3m-1.m+27≥0， +一1恒成立， 即neN,ms3”+ 仅3+12281-117，当且仅当n=2时，等号成立 所以m≤17，即实数的取值范围是(-∞，17]. 故答案为：(-0,17] 5 15.(四 a时 【详解】(1)设甲在第1轮中猜对事件为4，乙在第i轮中猜对事件为B, 团队在第一轮活动中至少猜对一次事件为C, 则Pe)-1P)-18 所以团队在第一轮活动中至少猫对一次的概率为。 (2)设团队在两轮活动中猜对三次事件为D, P(D)=P(ABAB2)+P(AB4B2 )+P(ABAB)+P(AB4B2) 1211.1212.1112.1212 232323323232323 答案第5页（共10页） =121 363’ 所以团队在两轮活动中有对三次的概率为兮 16.(I)证明：取PC中点H,在平面ABC中，过点D作DG∥AC,连接FH,HG, 因为F为线段PE的中点，所以IC,时-号C=1, 又因为AC=2AB=3,AD=2DB,DG∥AC,所以DG8C,DG=号AC=1, 由上可得FH=DG,FH‖DG,所以四边形FHGD是平行四边形， 所以FD‖HG,又FD文平面PBC,HGc平面PBC,所以直线DF∥平面PBC D B (2)V30 30 【详解】(1)略： (2)过点E作EO∥AB交BC于点Q, 因为AB⊥平面PAC,所以EO⊥平面PAC 因为PEc平面PAC,ACc平面PAC,所以EQ⊥AC,EQ⊥PE 因为PE⊥AC,所以EQ,AC,PE两两互相垂直. 如图，以E为坐标原点，所在直线EQ,EC,EP分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系E-xz, 根据题意AC=2AB=3,CE=PE=2. 所以P002,40-10,c2-10.C0,20.A=(0-1-2).历=C-1-2Pc-0,2-习 设平面PAB的一个法向量为n=(x,y,z), PA.i=-y-2z=0 3 x=0 所以 PB.=3x-y-22-0 即 -,可取n=(0,-2,1) y=-2z 平面PAB的一个法向量为n=(0,-2,1) 设平面PCB的一个法向量为=(：1，y1,3), 答案第6页（共10页） PC.=2y-2=0 所以 3 即 PBi=-4-2=0 片=31 可得平面PCB的一个法向量为m=(2,1,1). 设平面PAB与平面PCB的夹角为0，则cos6=cos(i,m训= n.m -2+1 V30 m4+1V4+1+130 所以平面PAB与平面PCB的夹角为V3@ 30 P F E B x 1.0号 (2)8 【详解】(1).2 acosB=2c-b→2sinA.cosB=2sinC-sinB, ..2sin A.cos B=2.sin(A+B)-sin B=2(sin A.cos B+cos A.sin B)-sin B, 整理得2 cos A.sin B-sinB=0,结合三角形内角性质知sinB>0, 所以cosA= 2,0<A<π， A= 3 (2)AC.CB=-abcosC=-5acosC=-5, coC=l,即a+-c-1,则d-c2-15, 2ab a=b2+c2-2bccosA=25+c2-5c, .c2-15=25+c2-5c,故c=8. 18.05+y=1 (2)x±2y-2=0 (3)x±√5y-2=0. 【详解】(1)由已知得2c=2,所以c=1. 因为 ,所以a=√5 所以b2=a2-c2=2-1=1. 答案第7页（共10页） 所以椭圆C的标准方程为+广=】 (2)因为直线1过P(2,0), 当斜率不存在时，直线1的方程为x=2,与C无交点. 当斜率存在时，设1：y-0=k(x-2),即y=a-2k [y=-2k, 联立直线的方程与椭圆C的方程得方程组 2+2=1, 消去y,整理得(1+2k2)x2-82x+8k2-2=0, 由已知△=(-8k2)-4×1+2k2)×(8k2-2)=-16+8>0,即2<1 ,B内，由韦达定理可知+为，。8 1+2k2, 手得子分 因为线段AB的中点G横坐标为，所以x+5= 于是k=±号方程为x-2y-2=0或者x+2y-2=0 (3)因为OA=(5,),OB=(x2,2), 所以OAOB=xx2+y2 将4=-2k,=2-2k代入上式可得 OA·OB=xx2+(-2k)(kx2-2k)=(（1+2)xx3-2k2(31+x2)+4k2, G B P 由题意可知OA⊥OB,所以OAOB=0, 即+2)8k2-2）16k4 1+2k2 1+2k2+4k2=0, 答案第8页（共10页） 解得=11 行2即k=t5 方程为x-√5y-2=0或者x+√5y-2=0. 19.(1)单调递减 (2)i证明：g(x)=f(x)+r=e"cosr+1,g'(x)=e(cosx-sinx)=-Vm2+1sim(x+0)er,其中8满足 m0,m>0.0(0: 令g'()=0,得=-8，当x∈(0，-8)时，g'(x)>0,所以函数8(x)在区间(0，-8)上单调递增： 当（0引时，8k0,所以画数g)在区间(0码上单讨递减 所以国在[0写到上存在极大值点，且a此=tm(-0)-m 3)证明：由(2)知g(x)在0， 上的最大值为g(-0)=em co(-8)+1=em cos0+1 使得g(x)>em+1对任意m>0恒成立， 即证e c6+1>em+1对任意m>0恒成立， 即证cos6>eH对任意m>0成立，又m=-tn6, 即[es0m0->0,其中c( tane min 1 令p(x)=ln(cosx)- tanx 1 因为 1 COSX (tanx)= sinx tanx sinx sinx cosx [in (cosx)=sin=tanx, 所以p'(x)=-tanr+ 1 .+tanx+x cosx+xsinx sin2 cOSx sin'xcosx 令mW-oi+wmix,司子0 n(x)=-2cosxsinx +sin'x+2xsinxcosx=sinxsinx+2(x-1)cosx>0, 则在(50上单调罐增。又(-=aw(-(m(-=o(-2)=o20, 则36e(1,使s)-cas+m飞=0， 所以cos x,-1 答案第9页（共10页） 当x(受)时，<0，即()k0,所以函数9()在区间受上单调道减： 当x∈(x1,0)时，n(x)>0,即φ(x)>0,所以函数p(x)在区间(，0)上单调递增 所以函数p(x)在x=x,时取到极小值，也是最小值， )(c) +xtanx -1=-tamx-1+In(cos%) 25-1 令-25-xe(1- 即()在（-1-到上单调递减。。=)=(g)>（军到 --2层1-513品0 即当9(0时.[h((o2-)-aan0-10, 所以x∈0引使得g)>。六+1对任意m>0恒成立，命腿得证 【详解】(1)当m=1时，f(x)=e*cosx-x+1,f'(x)=e(cosx-sinr)-1, 令h(x)=f'(x),则M(x)=[(cosx-sinx)+(←sinx-cosx)]e*=(-2simx)e, 当x∈[0，元时，sinx≥0，e>0,所以H(x)≤0， 所以h(x)=∫'(x)在[O,π]上单调递减， (2)略 (3)略 答案第10页（共10页）