河南南阳市2026-2027学年上学期高二期中质量评估数学试题

26年秋期高中二年级期中质量评估 数学试题 注意事项： 1．考生做题时将答案答在答题卡的指定位置上，在本试卷上答题无效． 2．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．选择题答案使用2B铅笔填涂，非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚． 4．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效． 5．保持卷面清洁，不折叠、不破损． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．抛物线的焦点到准线的距离为（ ） A． B． C． D． 2．已知四点，，，中只有三点在直线上，则不在直线上的点是（ ） A． B． C． D． 3．若点为椭圆：上的一点，则的范围为（ ） A． B． C． D． 4．过原点作出圆：的一条切线，记一个切点为，则（ ） A． B． C． D． 5．过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，若线段的中点，则（ ） A． B． C． D． 6．已知为椭圆的下焦点，过上焦点的直线交椭圆于，两点，则的面积的最大值为（ ） A． B． C． D． 7．已知双曲线：的左、右焦点分别为，，点，则的角平分线的横截距为（ ） A． B． C． D． 8．已知，分别为椭圆：（）的左、右焦点，若椭圆上存在点满足，，则椭圆的离心率为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知直线：，则（ ） A．存在，使得轴 B．直线恒过定点 C．点到直线的距离的最大值为5 D．若直线：，当时，与间的距离为 10．已知曲线：（，不全为0），则（ ） A．当，时，曲线是一个圆 B．当，，时，曲线是中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆 C．当曲线是中心在坐标原点，焦点在坐标轴上的双曲线时，，， D．当曲线是顶点在坐标原点，焦点在轴正半轴上的抛物线时，， 11．已知曲线：，则（ ） A．曲线关于坐标原点对称，关于轴和轴对称 B．曲线与轴和轴均不相交 C．曲线上存在到坐标原点的距离小于2的点 D．曲线与曲线恰有8个不同的交点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知圆：，圆：，则圆和圆的公切线的条数为                        ． 13．直线：与双曲线：的一条渐近线平行，则双曲线的离心率为                        ． 14．抛物线：，过点可作直线，分别与抛物线相切于点，．若，且直线分别与直线，轴交于点，，则的最小值为                        ． 四、解答题：本题共5小题，共计77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 已知直线过点． （1）若直线与直线： 垂直，求直线的方程； （2）若直线与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，且的面积为2，求直线的方程． 16．（15分） 动圆过点，且与轴相切． （1）求圆心的轨迹的方程； （2）过的直线交曲线于，两点，求证：． 17．（15分） 已知点，，． （1）求的外接圆的标准方程； （2）设是圆上的动点，作轴于点，点为的中点． （i）求点的轨迹的标准方程； （ii）设，以为直径作出圆，请判断圆与圆的位置关系，并证明． 18．（17分） 已知双曲线的左焦点为，渐近线方程为，过的直线交双曲线于，两点． （1）求双曲线的标准方程； （2）若直线交轴于，且，，求； （3）若点在第二象限，点在第三象限，且，求直线的方程． 19．（17分） 已知圆：和圆：，动圆与圆相外切，与圆相内切，记圆心的轨迹为曲线． （1）求的方程； （2）过的直线交曲线于，两点，连接交曲线于，交曲线于． （i）若直线的斜率为，直线的斜率为，求； （ii）求证：直线经过定点，并求出定点坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $2026年秋期高中二年级期中质量评估 数学参考答案 评分说明： 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查 内容比照评分标准制定相应的评分细则. 选择题： 题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C B D B D AC ACD ABD 9,k= 8【解析】因为k= ,所以-c<<c 3 (方法一)如图，设∠P耳耳=a,∠PE耳=B,则∠耳P耳=π-(B+). 因为阳= 9 ,所以m∠P-tma=,所以ma-0,cosa-36 9 8 同理：s如p= 4,0sB=V6 4 所以 sn∠RPg=sm[π-(B+a]=sin(B+oy=sino+cosin&-Vo3W6,6o正5 4848 4 在△P耳耳中，由椭圆的定义及正弦定理可得： 5 e=c=2c-IRBl sin(B+a) 4 √6 a 2a RP+EP sinB+sina 10,√10 3 4 8 (方法二)过P作PH⊥x轴于H,设PH= 3 PEl-EH+puP= +m2= 2V10m 5 IPRI=RHl+paf 9m 410m 15 5 H 9m,3m 所以e=C=2e、 EE V1515 √6 a 2a RP+P 410m 210m 3 5 5 故选：D 三、填空题12.2 13.5 14.2V2 高二数学答案第1页（共8页） 14.【解析】设两切点A(:,)、B(,⅓)，则切线PA,PB的方程分别为 y=2(x+)① y=2(x+3)② 而点P(a,b)同时满足式①与②，所以有by=2(a+)和by2=2(a+x), 所以A(5,片人B(x,乃)均满足方程by=2(a+x)③，所以式③就是直线AB的方程 直线P0与AB的斜率分别为与2， 6所以北2-2山解得：a=2从而式®即为y=在2 a a b a 故AB与x轴的交点R是定点(2，O), 因为a=-2,故直线P0的斜率片=- 直线PR的斜率龙=-A b P 2解得 X= b2+4 -4b (方法一)由} y=- 即9 bx+2y=0 ', b2+4'b2+4 y=b2+4 又(-2020.所Pg-石8+2 8 -4b 2 b b2+8 b2+4 Vb2+4 -4b 2B √b2+4 所以%-8+≥28022（当且仅当8=P,即b=25时等号成立 226 所以 Ipe OR 的最小值为2√2 (方法二)设直线P吧的倾斜角为P,则tanB=k=-名，直线PR的顿斜角为7，则tamy=k=-名 设∠QPR=ax,则a=y-B为锐角， b b 所以tana=tan(y-B= tan y-tan B 24 2 1+tan yxtan B b 8+b2 1+2 在直角三角形PQR中，tana OR PO 1 8+b2、2V8b2 PO' 所以 tana 2B52 =2√2（当且仅当8=b2, 即b=±2√2时等号成立). PO 所以 OR 的最小值为2√2 高二数学答案第2页（共8页） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.解：(1)因为直线1与直线：2x+y+3=0垂直，所以可设1：-x+2y+C=0.…1 又直线1过点P(-1,1),所以1+2+C=0,解得：C=-3. ……4 所以1：-x+2y-3=0,即x-2y+3=0 …5 (2)方法一：由题意可知：直线1的斜率存在，设其为k,k>0, …6 设直线的方程为y-1=+).可得4名-10,8Qk+). …10 则5as=o41o网=号会+(k4)-2,解得：质=1， …12 所以直线l的方程为y-1=1×(x+1),即x-y+2=0: …13 方法二：设A(a,0),B(0,b)(a<0,b>0), ……6 则所求直线的方程为启+片-1ac06>0.可得方1 …7 a b 而△A0B面积S=b)2解得：a=-2,b=2 …12 此时直线1的方程是音+-1，即x-y+2=0. …13 16.解：(1)设P(,y),由题意可得：PF=,即Vc-2+(y-0=, …2 整理化简得：y2=4x-4. …4 即圆心P的轨迹C的标准方程为y=4x-4. …5 (2)可设直线m:x=my+2. …6 设A(5,乃小B(化，乃)，则 =+2,消去x得：y2-4w-4=0, y2=4x-4 所以△=(4m)+4×4=16(m2+1>0,+y2=4,4y=-4. ……8 所以kA+k=4+2=+乃立=上(y,+2)+2(m4+2) xx2 X1X2 =2m%2+2(0+2l_2m×(-4)+2×4m=0, …13 X1X2 X1X2 所以直线AO和BO的倾斜角互补，所以∠AOF=∠BOF. …15 17.解：(1)方法一：设圆C1的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2, …] (0-a2+(2-b)2=7 [a=0 则{5-a+1-b2=r,解得b=0， …4 (5-a+(1-b2=r r2=4 高二数学答案第3页（共8页） 所以圆O的标准方程为x2+y2=4; …5 方法二：设圆C的方程为x2+y2+Dx+y+F=0, …] 02+22+2E+F=0 D=0 则尽+1P+3D+E+F=0,解得{E=0, …4 (3+P-vBD+B+P=-0 F=-4 所以圆O的标准方程为x2+y2=4: …5 (2)方法一：设M(x,y). 因为PH⊥x轴于点H,M为PH的中点，所以P(x,2y). …7 因为点P在题0上，所以+2=4，即写-1 …9 所以曲线C的标准方程为女 +y2=1. …10 4 ○ 方法二：因为点P在圆0：x2+y2=4上，所以可设P(2cos0,2sin0). …6 因为PH⊥x轴于点H,所以M为PH的中点，所以Q(2cos6,sin), …8 消去0得： 4+y=1. …9 所以曲线C,的标准方程为二+少=1. …10 (3)圆C3与圆C相内切. ..…11 是然R(-5.0)为曲线C:千y=1的左焦点，其右焦点，0)。 F 高二数学答案第4页（共8页） 由椭圆的定义可得：M+M匹=. ……12 由题意，以M为直径作出圆C3,所以C?为M的中点. 因为C为RR的中点，所以CC,为中位线，所以C,C=M, 所以CA+lC,C=0M+Mr)=a 所以C,C=a-FC引，即圆心距等于两圆的半径的差， …14 所以圆C3与圆C1相内切. …15 18.解：(1)由题意可设双曲线C的标准方程为二广 61, ……1 [a2+b2=3 [d2=2 则b2，解得 .…4 1b2=11 (a2 所以双曲线C的标准方程为二 -y2=1. …5 (2)方法一：因为直线I交双曲线C于A、B两点，交y轴于N,所以直线的斜率存在，设其为k, 则直线l的方程为y=k(x+V⑤)： …6 -y=1 设A(:,人B(5,乃)，则}2 消去y得： r-25x-3-10, y=k(x+③) 所以±5(-25+传3+)-2+2> 232.-3k2-1 X1+x2= -,X1X2= …8 2 由N(03k),F(5,0),可得： =(s-0,y-3k),丽=(-0，为-V3k),AF=（V5-x,-y)BF=(-V3-5,-为） 因为=2派，酒=酥，商以2有=-5 ……9 3+V3(化+5)+6 高二数学答案第5页（共8页） -2×3-1-V5×25R 6k2+2-6k2 3+V3x 2W32-3k2-1 …11 -3F+6-3k-12 =2=4,即2+=4. 2 2 方法：可设直线1的方程为=四5，与号少=1联立，消去得： (m2-2)y2-2V3my+1=0,所以m2-2≠0，△=(23m-4(m2-2）=8m2+8>0, 设A(5,y入B(x2,),则片+y= 2√3m 1 m-24=m-一2 …8 2,F(V50,可得： &-f9%9]亚-5--5-小 因为=F话=，以y合无点（小 …9 980m-50*oe-点：a源r- y 02 所以1++1=5+6-5.1+25,26-6 my my m y'y m 1 所以2+=4. ……11 3)因为2sx=Sm,所以2xor-o,所以2-， 又片>0，<0，所以2y+为=0且k>0. ……13 方法一：由y=k(x+V3),可得：2x+5+35=0. 2N3k2 因为+书3 。,所以5=35-化)-g-2健.39 2 2 与-6--26.35v6,3w0 2 2 -为= 2i …15 2 1 1 高二数学答案第6页（共8页） 所以x2= -k 2 52去) 2 ……16 后线倒把%=+间甲5r-3y+56-0 …17 方法二：可设直线1的方程为x三w-3,与)y=1联立，消去x得 (m2-2)y2-2V3muy+1=0,所以m2-2≠0，△=(23m-4(m2-2）=8m2+8>0, 当+巧 2√3m 1 m22y= .…13 m2-2 因为21+为=0，所以片+（以+为）=片+ 2v3m 23m0解得y2=2y号 4v3m m2-2 m2-2 所以=-2y=-2m×41,解得：m=5（m=-5合去)，…16 m2-22-2m2-2 5 5 所以直线的方程为xyV3,即5x-V2v+5V30 …17 19.解：(1)设P(xy),圆P的半径为R,由题意可得：P=R+1,P=3-R,所以 P+P引=4>E,所以点P的轨迹为一个椭圆，其中长轴2a=4,半焦距c=1,所以 B三d-c2=41=3,所以曲线T的方程为4+3=1（x≠-2) …5 (2)由(1)可得耳(-1,0)，(1,0)，设A(5,),B(,),C(s,⅓)，D(x4,y4), 可得极：之-=+1， x2+卫=1 ∴联立方程 43 x=1 1÷1565y4-6y-9=0,%502-9 -93y +12 y 34 25是c583刃 …7 2x-5'2x-5 同理，直线BR与椭圆交点D558。,35 …8 2x-5’2x-5 高二数学答案第7页（共8页） 3y3y2 =当业4= 2x-52x2-5 3y(2x2-5)-3y2(2x1-5) 9 x3-x4 5-8-5,-8(5x,-8)(2,-56-8)②-5)' 2x-52x2-5 设AB:y=k(x+1),.y=k(+1),2=k(x3+1) 96=3张6+12-53,1)-5-k9x- (5x-8)2x2-5)(5x2-8)2x-5) 心无为定值. …11 (i)由对称性可知：直线CD经过定点，则定点必在x轴上. …12 由(i)知，当直线AB的斜率存在时可得：直线CD:y-3=k(:-3) a.老5房w加5{益动 5x-8 2x-5 26x-6513 Γ7(2x-5)7· 所以直线CD经过定点 …15 3 当直线AB的斜率不存在时，有CDLx轴.由A-1, 1,,直线ABy三-(x+1),与+ =1联 43 13 立，消去得：2r+18x-39=0,所以-1x》,解得：=片 所以直线CD也经过点 ……16 综1用述：直线0经过定点（号.0 …17 高二数学答案第8页（共8页）