精品解析：河南省南阳市民进学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

2025-2026学年度高二上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A. 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 【答案】B 【解析】 【分析】根据的值，可得出的值，然后利用双曲线的定义结合的范围求解即可. 【详解】由题意可知，，则，解得， 所以双曲线的方程为， 由双曲线的定义可得，解得或， 设点，则或，且，易知点， 所以， 当时，； 当时， 综上所述，，故. 故选：B 2. 已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程识别求解即可． 【详解】由方程表示椭圆， ，解得． 故选：C． 3. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点坐标可得直线斜率，由斜率与倾斜角关系可得结果. 【详解】，，， 设直线的倾斜角为，则，. 故选：D. 4. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的椭圆方程及焦点位置列不等式求解. 【详解】由方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，得，解得， 所以k 的取值范围为. 故选：C 5. 一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出关于直线的对称点为，点，，三点共线， 利用点，可求出反射光线所在的直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 由反射的性质，可知点，，三点共线. 由对称轴为，得且， 解得，，即， 所以反射光线所在的直线方程为， 故反射光线所在的直线在轴上的截距为. 故选:D. 6. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用集合的交集运算求解. 【详解】由，，得. 故选：B 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用幂函数的单调性判断大小及范围，利用对数函数的单调性判断的范围，得解. 【详解】因为在上单调递增，所以， 又由对数函数的图象可得，， 所以. 故选：A. 8. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】用向量，表示向量，利用共面向量定理构造方程组，求解方程组即得结果. 【详解】显然向量与不平行，而，，共面， 则存在实数，使，即， 于是，解得，所以实数的值为5. 故选：B 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据是直角三角形，分类讨论得出即可求解. 【详解】由题意知， 若，令，得，所以，故A正确； 若，则，又，所以，故D正确； 当点为的上顶点或下顶点时，，又，所以，故B正确. 故选:ABD. 10. 已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则为纯虚数 B. 若，则为实数 C. 对任意的复数均有 D. 对任意的复数均有 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例判断A，D；根据复数运算及复数的概念判断B；根据复数模的运算及复数的乘法运算判断C即可. 【详解】对于A，当时，，但不是纯虚数，故A错误； 对于B和C，设，则， 若，则，所以为实数，故B正确； 而， 故，故C正确； 对于D，不妨取，则， 但，不满足，故D错误． 故选：BC. 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角的余弦值为 C. D. 若四点共面，则点是线段的中点 【答案】BCD 【解析】 【分析】用基底表示，再结合数量积计算即可求解判断A；由基底法和向量夹角余弦公式计算，再结合异面直线所成角定义即可求解判断B；由基底法计算即可判断C；用基底表示，由共面定理求出即可得解. 【详解】因为， 所以， 取FC中点为M，因为点是三角形的重心， 所以， 所以 ， 所以， 所以 ，所以，故A错误； 因为，所以异面直线所成角即为所成角， 因为， 所以， 所以所成角即异面直线所成角的余弦值为，故B正确； 因为 ， 所以，即，故C正确； ， 因为四点共面，所以， 所以，所以点是线段的中点，故D正确. 故选：BCD 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用建立不等式，进而求出离心率的范围. 【详解】依题意，，而，则，又， 因此，解得，即， 所以的离心率的取值范围是. 故答案为： 13. 已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】先根据平行得出参数，再应用平行线间的距离公式计算求解. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以直线，直线， 所以直线与直线间的距离为. 故答案为：. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】依题意可得，从而得到点在圆上，再由表示点与点连线的斜率，结合图象及直线与圆的位置关系求出的最值，即可得解. 【详解】因为，所以， 所以点在圆上，其中圆心为，半径为， 又，其中表示点与点连线的斜率， 又，所以点在圆外， 由图可知，当直线与圆相切时，取得最值，设过点的直线的方程为， 即，则，解得或， 即的最大值为，最小值为， 所以的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）直接建立空间直角坐标系，利用空间向量研究线面关系即可； （2）利用空间向量计算点到平面的距离即可. 【小问1详解】 如图，建立空间直角坐标系， 所以， 则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，即， 显然，所以平面； 【小问2详解】 由（1）可知平面的法向量为； 又 所以到平面的距离. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面平行，然后得到线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解面面夹角，从而求解. 【小问1详解】 证明：如图，在上取一点，使得，连接，，， 因为底面是平行四边形，所以，所以， 因为，，所以四边形是平行四边形，所以， 因平面，平面，所以 平面， 又因为，所以，所以， 因为平面，平面，所以 平面， 又因为，平面，所以平面 平面， 因为平面，所以 平面. 【小问2详解】 当中点，，，易知，为中点， 又因为平面，所以两两垂直， 则以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如（1）图， 设，则，，，， 所以，，. 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 所以， 故二面角的正弦值为， 所以正切值为. 故二面角的正切值为. 17. 已知圆经过点和，且圆心直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 【答案】（1） （2）（i）或；（ii）. 【解析】 【分析】（1）先求线段的垂直平分线方程，与联立，可求圆心坐标，再利用求圆的半径，即可得圆的标准方程. （2）（i）利用圆心到直线的距离等于圆的半径列式可求的值； （ii）先判断，利用四边形面积的求法确定四边形面积最大时，直线的位置，可求的值. 【小问1详解】 线段的垂直平分线方程为： ，即. 由，即圆心. 又, 所以圆的标准方程为：. 小问2详解】 （i）直线：. 因为直线与圆相切，所以：. 所以或. （ii）如图： 因为，直线的斜率为3，由，所以直线与线段所在的直线垂直. 所以四边形的面积为：，其中为定值. 所以当最大时，四边形的面积最大. 即当直线：经过圆心时，四边形的面积最大. 由. 18. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线BC的斜率，从而设过点且与BC垂直的直线方程，将代入，求出答案； （2）求出直线AB的斜率和倾斜角，从而得到所求直线的倾斜角和斜率，利用点斜式求出直线方程. 【小问1详解】 ，故与垂直的直线的斜率为1，故设过点且与BC垂直的直线方程为， 将代入可得，解得， 所以过点且与BC垂直的直线方程为； 【小问2详解】 ，故直线AB的倾斜角为， 故所求直线的倾斜角为，所求直线的斜率为， 故过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程为，即. 19. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）设点、，根据中点坐标公式化简得出，代入等式化简可得出点的轨迹方程； （2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，再对直线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式可求得答案. 【小问1详解】 设点、， 因为点是线段的中点，则，所以， 因为点在圆上，则，即， 化简得， 故点的轨迹方程为. 【小问2详解】 由（1）可知，曲线是以点为圆心，半径为的圆， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为. 若轴，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，符合题意； 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，直线的方程为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高二上学期数学期中考试 一、单项选择题（本题8小题，每题5分，共40分） 1. 已知双曲线C：（）的两个焦点分别是，，焦距为10，A是双曲线C上的一点，且，则的值为（ ） A 14 B. 13 C. 13或1 D. 14或1 2. 已知方程表示椭圆，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 经过两点，的直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 4. 方程 表示焦点在 y 轴上的椭圆，则 k 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 一束光线从点出发，经直线:上一点反射后，恰好穿过点，则反射光线所在的直线在轴上的截距为（ ） A B. C. D. 6. 已知集合，，则（    ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若共面，则实数的值为（ ） A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 二、多项选择题（本题3小题，每题6分，共18分） 9. 已知是椭圆的左､右焦点，是上一点，若是直角三角形，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知是复数的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则纯虚数 B. 若，则为实数 C. 对任意的复数均有 D. 对任意的复数均有 11. 如图，多面体是各棱长均为1的平行六面体截去三棱锥后剩下的几何体，若点是三角形的重心，，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线所成角余弦值为 C D. 若四点共面，则点是线段的中点 三、填空题（本题3小题，每题5分，共15分） 12. 已知，分别是椭圆的左、右焦点，点是上一点，若，则的离心率的取值范围是__________. 13. 已知直线与直线平行，则直线与直线间的距离为__________. 14. 已知实数满足，则的最大值为__________. 四、解答题（本题5小题，共77分） 15. 如图，已知正方体的棱长为2，、分别是，的中点． （1）求证：平面； （2）求到平面的距离. 16. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，分别为上的点，且. （1）证明：平面； （2）若平面为的中点，，求二面角的正切值. 17. 已知圆经过点和，且圆心在直线上． （1）求圆的标准方程； （2）已知直线的方程为． （i）若直线l与圆C相切，求实数m的值； （ii）若直线l与圆C相交于M、N两点，当四边形AMBN的面积最大时，求实数m的值． 18. 已知.求： （1）过点且与BC垂直的直线方程； （2）过点且倾斜角为直线AB倾斜角的的直线方程. 19. 已知线段的端点的坐标是，端点在圆上运动，是线段的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中所求轨迹为曲线，过定点的直线与曲线交于、两点，并且，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $