精品解析：江西吉安市吉安十校联考2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026-2027学年第一学期九年级数学学科练习 九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 2. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两条对角线互相垂直 C. 两组对角分别相等 D. 两条对角线相等 3. 某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 4 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 5. 如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为，则五边形的周长为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，平行四边形中，E，F分别为，边上两点，，，连接，交于点P，若平行四边形的面积为S，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是一元二次方程，则的值为______． 8. 已知是方程的一个根，则方程另一个根是________. 9. 如图，菱形的对角线和相交于点，，垂足为，若菱形的周长为，，则的长为________． 10. 舞台长20米，主持人站在黄金分割点处效果最好（），主持人离点距离为___________． 11. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 12. 如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，在和中，，，求证：． 14. 已知，，求的值． 15. 如图，菱形的对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）求证：． 16. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形． （1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 17. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 19. 如图，在中，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动． （1）的面积能否等于？请说明理由． （2）几秒时，四边形的面积等于？请写出过程． 20. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒． （1）在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为 元，预计销售量为 盒． （2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值． 22. 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学学科练习 九年级数学练习 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. ， B. C. D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】先移项，然后利用开平方的方法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键． 2. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 两组对边分别平行 B. 两条对角线互相垂直 C. 两组对角分别相等 D. 两条对角线相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握矩形和菱形的性质． 根据矩形和菱形的性质，分析判断各选项即可． 【详解】解：∵“两组对边分别平行”是菱形和矩形都具有的， ∴选项不符合题意， ∵菱形的两条对角线互相垂直，矩形的对角线不一定互相垂直， ∴选项符合题意， ∵“两组对角分别相等”是菱形和矩形都具有的， ∴选项不符合题意， “两条对角线相等”是菱形和矩形都具有的， ∴选项不符合题意， 故选：． 3. 某纪念品原价160元，连续两次降价后售价为128元，下列所列方程中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据增长率公式求解即可． 【详解】解：160元降价后的价格为元， 再降价后为元， 根据题意可列方程． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用--增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为，其中n为共增长了几年，a为第一年的原始数据，b是增长后的数据，x是增长率． 4. 《九章算术》中记载了一种测量古井水面以上部分深度的方法，如图所示，在井口A处立一根垂直于井口的木杆，从木杆的顶端B观察井水水岸D，视线与井口的直径交于点E，如果测得米，米，米，那么为（ ） A. 4 B. 3 C. 3.2 D. 3.4 【答案】B 【解析】 【分析】由题意知：，得出对应边成比例即可得出. 【详解】解：由题意知：， 则，， ， ， ， . 故选：B. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，根据题意得出是解决问题的关键. 5. 如图，五边形，是以坐标原点为位似中心的位似图形，已知点，的坐标分别为，．若五边形的周长为，则五边形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点、坐标得出，，根据位似图形的性质得出，进而得出，根据相似三角形的性质得出，五边形，的周长比为，即可求出五边形的周长． 【详解】解：∵点，的坐标分别为，， ∴，， ∵五边形，是以坐标原点O为位似中心的位似图形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴五边形，的相似比为， ∴五边形，的周长比为， ∵五边形的周长为， ∴五边形的周长为． 6. 如图，平行四边形中，E，F分别为，边上两点，，，连接，交于点P，若平行四边形的面积为S，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过E作交AC于G，由，得，故，．结合得，证，推出．再由同高三角形面积比等于底之比，逐步计算得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 过点E作，交AC于点G，如图： 四边形是平行四边形， ， ∴． ， ∴， ∴，． ， ，， 又，， ． 在和中， ， ， ， ∴， ∴，， ∵平行四边形对角线平分面积， ∴， ∵与同高， ∴面积比等于底的比， ∴， ∵与同高， ∴面积比等于底的比， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是一元二次方程，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，需同时满足未知数最高次数为，二次项系数不为，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， 满足两个条件： ①未知数最高次数为，即， ②二次项系数不为，即， 解得，即或， 由得， ． 8. 已知是方程的一个根，则方程另一个根是________. 【答案】6 【解析】 【分析】设方程另一个根为x1，根据根与系数的关系得到-1•x1=-6，然后解一次方程即可． 【详解】设方程另一个根为x1，根据题意得-1•x1=-6， 所以x1=6． 故答案为6． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-，x1x2=． 9. 如图，菱形的对角线和相交于点，，垂足为，若菱形的周长为，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据菱形的周长求出边长，利用菱形对角线互相垂直平分及勾股定理求出另一条对角线的长，最后利用等面积法求出的长． 【详解】解：四边形是菱形，且周长为， ，，，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 10. 舞台长20米，主持人站在黄金分割点处效果最好（），主持人离点距离为___________． 【答案】米 【解析】 【分析】结合黄金分割点的定义，根据的条件确定较长线段，代入线段总长计算对应短线段的长度即可． 【详解】解：∵ 点是线段的黄金分割点，且， ∴ 较长线段与全线段的比值为， ∵ 米， ∴ 米， ∵ ， ∴ 米， ∴主持人离A点的距离为米． 11. 如图，四边形，四边形，四边形都是相同的正方形，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】设正方形的边长为a，由勾股定理求出，由相似三角形的判定和性质得出，由三角形外角的定义和性质求出． 【详解】解：设正方形的边长为a， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ 12. 如图，，⊥，，，，一动点从点沿直线向点运动．当为___________时，与是相似三角形． 【答案】或或 【解析】 【分析】设，则，与是相似三角形时，分，两种情况，根据对应边成比例列式计算即可． 【详解】解：设，则， 分两种情况： 当时，， 即， 解得； 当时，， 即， 解得或； 综上可知，当为或或时，与是相似三角形． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求完成下列各题： （1）解方程：； （2）如图，在和中，，，求证：． 【答案】（1） ， （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴ 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由得，由得，用两边成比例且夹角相等即可证相似． 【小问1详解】 解：， ， ∴或， 解得，； 【小问2详解】 略 14. 已知，，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，设．则根据比例的性质，得，，，代入到求出即可． 【详解】解：设． 则根据比例的性质，得，，， ∵， ∴， 解得， ∴． 15. 如图，菱形的对角线交于点，，，与交于点． （1）求证：四边形是矩形． （2）求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明出四边形为平行四边形，由菱形的性质可证明，从而可证明四边形是矩形； （2）依据矩形的性质可得到，然后根据菱形的性质可得到，得即可． 【小问1详解】 解：，， 四边形是平行四边形， 又菱形对角线交于点， ， 即， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：四边形是矩形， ， 四边形是菱形， ． ． 【点睛】本题主要考查的是菱形的性质、矩形的性质和判定、平行四边形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握矩形的判定与性质． 16. 请仅用无刻度的直尺在下列图1和图2中按要求画菱形． （1）图1是矩形ABCD，E，F分别是AB和AD的中点，以EF为边画一个菱形； （2）图2是正方形ABCD，E是对角线BD上任意一点（BE＞DE），以AE为边画一个菱形． 【答案】（1）如图所示：四边形EFGH即为所求的菱形； （2）如图所示：四边形AECF即为所求的菱形． 【解析】 【详解】略 17. 如图，四边形为菱形，点E在的延长线上，． （1）求证：． （2）当时，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，再由，可得，即可求证； （2）根据，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知关于的方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程的两个实数根，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为，求的值． 【答案】（1）证明：在方程中， ，，. ∴ ． ∵无论取何实数，，即. ∴方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程根的判别式进行证明即可； 利用一元二次方程根与系数的关系和勾股定理解答即可． 【小问1详解】 详解见答案． 【小问2详解】 解：该方程的两个实数根为，， 则， ，是一个矩形两邻边的长，且矩形的对角线长为 ， ， 解得或， 当时，，不合题意，舍去， ， 答：的值为． 19. 如图，在中，，．点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，同时点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止运动． （1）的面积能否等于？请说明理由． （2）几秒时，四边形的面积等于？请写出过程． 【答案】（1） 的面积不能等于， 理由如下：设运动时间为t， 根据题意可得， ， 由，整理，得． ， ∴方程没有实数根， 的面积不能等于； （2）后，四边形的面积等于 根据题意，可得， 整理得， 解得（点与点重合，不合题意，舍去）， ，四边形的面积等于． 答：后，四边形的面积等于． 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出一元二次方程是解题的关键． （1）设运动时间为t，根据的面积能否等于得到关于关于t的一元二次方程，根据方程根的判别式进行判断即可； （2）根据四边形的面积等于列出关于t的一元二次方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 拜寺口双塔，分为东西两塔，位于宁夏回族自治区银川市贺兰县拜寺口内，是保存最为完整的西夏佛塔，已有近1000年历史，是中国佛塔建筑史上不可多得的艺术珍品．某数学兴趣小组决定采用我国古代数学家赵爽利用影子对物体进行测量的原理，来测量东塔的高度．东塔的高度为，选取与塔底B在同一水平地面上的E、G两点，分别垂直地面竖立两根高为的标杆和，两标杆间隔为，并且东塔、标杆和在同一竖直平面内．从标杆后退到处（即），从处观察点，、、在一直线上；从标杆后退到处（即），从处观察A点，A、、三点也在一直线上，且、、、、在同一直线上，请你根据以上测量数据，帮助兴趣小组求出东塔的高度． 【答案】该古建筑的高度为 【解析】 【分析】设，则，通过证明，得到，即，同理得到，则可建立方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵，， ∴， ∴， ∴，即， 同理可证， ∴，即， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴该古建筑的高度为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. “中秋节”前，某超市第一次以80元/盒的进价购进一款月饼礼盒500盒，以120元/盒的售价全部销售完．销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在120元基础上每降价5元，销量就会相应增加100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超过650盒． （1）在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了a元时，则该超市这款月饼每盒利润为 元，预计销售量为 盒． （2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加5%，求a的值． 【答案】：(1) (40-a)， 500+20a； (2) 【解析】 【分析】（1）现利润= 原售价-降价-成本，预计销售量=原销售量+促销量，根据等量关系代入数值即可求解； （2）首先计算第一次的利润，然后根据利润×销售量=总利润，代入数值求解出a的值，然后根据第二次购入总量解出a的取值范围，即可判定符合条件的a的值． 【详解】（1）现利润=120-80-a= (40-a)元； 预计销售量=； （2）第一次利润为： 依题意可得： 整理得： 解得：， ∵ 500+20a≤650 ∴a≤7.5 ∴a=5 答：a的值为5． 【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用中的利润问题，重点是根据题意找到等量关系，列出方程． 22. 如图①，点为正方形内一点，，将绕点按顺时针方向旋转，得到（点的对应点为点）．延长交于点，连接． （1）求证：四边形是正方形； （2）如图②，若，请猜想线段与的数量关系并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，由正方形的判定可证四边形是正方形； （2）过点作于，由等腰三角形的性质可得，，由“”可得，可得，由旋转的性质可得，可得结论； 【详解】（1）证明：将绕点按顺时针方向旋转 ，， ， 四边形是矩形 又， 四边形是正方形 （2）解：．证明过程如下： 如图②，过点作于 ，， ， 四边形是正方形， ， ， ， ， 将绕点按顺时针方向旋转， 四边形是正方形， ， ． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”． 例：如图1，点在的内部，，，则，故点为的“相似点”．请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： （1）如图2，在中，，，平分．求证：点为的“相似点”； （2）如图3，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接．若，求的值； （3）如图4，在菱形中，是上一点，是内一点，，连接交于点，连接，．若点是的“相似点”，且点与点对应．若，探究与的数量关系，并证明． 【答案】（1）证明：如图2，∵， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴点P为的“相似点”； （2） （3）解：，证明如下： ∵点G是的“相似点”，点与点对应，且， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 延长交于点，如图所示： 在菱形中，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∵， ∴， ∴或（舍去）． 【解析】 【分析】（1）由等腰三角形的性质和角平分线的定义可推出，证明即可； （2）由题意得，可推出，再证明即可； （3）由题意得，可推出，延长交于点，可证明四边形是平行四边形得到，进而推导出，进而证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由题意得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $