精品解析：江苏省南通市海安市实验中学2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

实验中学高一年级期中考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 6. 计算：（ ） A. B. 2 C. 4 D. 7. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 10. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在幂函数的图象上，则_________. 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 14. 计算结果为_________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：，，当命题为真命题时，实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设集合，且，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 16. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 18. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）解不等式． 19. 对于函数，若，则称实数x为的“不动点”.若，则称实数为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即，. （1）已知函数，分别求出对应的集合A和B； （2）已知函数（m为实数），，求实数m的值及对应的集合B； （3）已知函数（n为实数），若，求实数n的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 实验中学高一年级期中考试 数学 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列关系中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据自然数集、整数集、有理数集、空集的定义判断各选项中元素与集合的关系. 【详解】对于A，因为不是正整数，所以，故A错误； 对于B，因为不是有理数，所以，故B正确； 对于C.，因为0是自然数，所以，故C错误； 对于D，因为不是整数，所以，故D错误. 故选：B. 2. 若命题：，，则命题的否定为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定是，. 3. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】对A，B，C举反例说明，对D，作差法求解判断. 【详解】若，取，，则，故A错误； 若，当时，则，故B错误； 若，取，，则，故C错误； 若，则，故D正确. 故选：D. 4. 已知不等式的解集为或，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 的解集为 【答案】D 【解析】 【分析】由一元二次不等式的解集得到，，再依次判断A、B、C，再由一元二次不等式的解法求解集判断D. 【详解】由题设是的两个根，且，A错， 所以，故，B、C错， 由，D对. 故选：D 5. 函数的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用排除法可得结论. 【详解】由，可得，解得， 所以当时，，排除BD； 由，解得或， 所以时，，排除C. 故选：A. 6. 计算：（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根式的运算性质求解即可 【详解】. 故选：C 7. 数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质得，且，即可得答案. 【详解】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 8. 已知函数，若值域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式、的值域、的图象来求得的取值范围. 【详解】当时，， 值域为当时，由，得， 由，得，解得或， 作出的图象如下图所示， 由图象可得：，即实数的取值范围是. 故选：C. 二､选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知集合，，则（ ） A. 集合有8个子集 B. 集合中有6个元素 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】求出集合的子集判断A，求出集合判断B，并集运算判断C，根据集合关系判断D. 【详解】集合的子集为：共8个，所以选项A正确； 由集合，所以， 所以集合中有5个元素，所以选项B错误； 由及知，所以选项C正确； 因为，但是，所以不成立，所以选项D错误. 故选：AC. 10. 若正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A. 有最小值9 B. 的最小值是 C. ab有最大值 D. 的最小值是 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据基本不等式求最值后判断． 【详解】，当且仅当时等号成立，A对； ，当且仅当即时等号成立，B对； ，则，当且仅当即时等号成立，C对； 由，则，而， 所以，当且仅当时等号成立，D错. 故选：ABC 11. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 函数有2个零点 B. 当时， C. 不等式的解集是 D. ，都有 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性定义和零点定义对选项一一判断即可． 【详解】对A，当时，由得， 又因为是定义在上的奇函数，所以，故函数有3个零点，故A错误； 对B，设，则，则，故B正确； 对C，当时，由，得； 当时，由，得无解；故C正确； 对D，，都有 ，故D正确； 故选：BCD． 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点在幂函数的图象上，则_________. 【答案】 【解析】 【详解】因为点在幂函数的图象上，所以，解得：,所以 13. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据复合函数的定义域的性质求解即可. 【详解】因为的定义域为， 所以满足， 又函数有意义， 所以， 所以函数的定义域为， 故答案为： 14. 计算结果为_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算性质、指数幂运算性质对原式各项逐一化简，再合并计算即得. 【详解】 . 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知命题：，，当命题为真命题时，实数的取值范围为集合． （1）求集合； （2）设集合，且，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由命题是存在性命题且为真，得对应的一元二次方程有实数根，利用列不等式，求解即可得到集合. （2）由是的必要不充分条件，得是的真子集，再结合B≠∅，列出关于m的不等式组，求解不等式组即可求得实数m的取值范围. 【小问1详解】 由命题为真命题，得方程有解． ，解得，即. 【小问2详解】 由是的必要不充分条件，得是的真子集. ，且； 或，解得. 实数的取值范围是. 16. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 【答案】（1）；， （2） （3），，，,． 【解析】 【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与； （2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）找出所求集合的所有子集即可． 【小问1详解】 根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； 【小问2详解】 全集，， ； 【小问3详解】 的所有子集为，，，． 17. 在园林博览会上，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入90元，设该公司一年内生产该设备万台且全部售完，每一万台的销售收入（万元）与年产量（万台）满足如下关系式： （1）写出年利润（万元）关于年产量（万台）的函数解析式（利润销售收入－成本） （2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大，并求出最大利润. 【答案】（1） （2）当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元 【解析】 【分析】（1）利用利润销售收入－成本公式计算即可得； （2）结合二次函数性质与基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 故； 【小问2详解】 当时，是对称轴为的二次函数， 则在上单调递增， 故当时，万元； 当时， 万元， 当且仅当时等号成立， 故当时，万元； 故当年产量为万台时，该公司获得的年利润最大，且最大利润为万元. 18. 已知函数，且其定义域为． （1）判定函数的奇偶性； （2）利用单调性的定义证明：在上单调递减； （3）解不等式． 【答案】（1）奇函数 （2）证明：任取， 所以，， 则， 所以， 故在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）检验与的关系即可判断; （2）任取，然后利用作差法比较与的大小即可判断; （3）结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式. 【小问1详解】 为奇函数，理由如下： 因为，且函数定义域为，关于原点对称， 所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 可转化为， 则，所以，解得， 故的范围为. 19. 对于函数，若，则称实数x为的“不动点”.若，则称实数为的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”组成的集合分别记为A和B，即，. （1）已知函数，分别求出对应的集合A和B； （2）已知函数（m为实数），，求实数m的值及对应的集合B； （3）已知函数（n为实数），若，求实数n的取值范围. 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】运用函数的“不动点”和“稳定点”的定义，结合一元二次方程的解法逐个计算即可. 【小问1详解】 令，则，所以； 令，则，所以； 【小问2详解】 因为，所以方程有两个不等实数根为-1或2， 即方程有两个不等实数根为-1或2，所以. 令整理得 即 所以解得或2或或， 所以集合. 【小问3详解】 由题意得 （1），（2） （2）-（1）得 即 所以 因为， 所以方程无实数根或有和方程一样的实数根 方程的为 ①若则方程无实数根，可得 所以符合题意 ②若可得，则有根， 且方程也有解，它们的解集相等，不失一般性， 设其中一个根为. 所以，，解得，此时. 综上：实数的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $