精品解析：江苏南京市第一中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026—2027 南京一中第一学期期中试卷 高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】选项：符号是集合与集合之间的包含关系符号，是集合的元素， 二者应为的从属关系，错误； 选项：符号是元素与集合之间的从属关系符号，是集合， 二者应为的包含关系，错误； 选项：为自然数集，元素均为非负整数，集合中的元素，错误； 选项：解方程得，因此，正确. 2. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用函数的定义，逐项判断即可. 【详解】对于A，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，A不是； 对于B，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，B不是； 对于C，集合中的每个元素按对应关系，在集合中都有唯一元素与之对应，C是； 对于D，集合中的元素按对应关系，在集合中没有元素与之对应，D不是. 故选：C 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】“”的否定为“”，“”的否定为“”，“”的否定为“”，利用这些知识点求解. 【详解】“”的否定为“”，“”的否定为“”，“”的否定为“”， 则命题“”的否定为“”. 故选：C. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法求得正确答案. 【详解】由，解得且， 所以函数的定义域是. 故选：A 5. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据分段函数的性质，结合图象即可求解. 【详解】解：令，解得或， 则， 当或时，， 当时，函数没有最小值， 综上：函数的最小值为1， 故选：B． 6. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先转化为存在量词命题的否定，求参数的取值范围，再求其真子集，即可判断选项. 【详解】若命题“，”为假命题， 则命题的否定“，”为真命题， 即，恒成立， ，，当，取得最大值， 所以，选项中只有是的真子集， 所以命题“，”为假命题的一个充分不必要条件为. 故选：D 7. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据条件分析出的单调性，然后将不等式变形为，结合单调性求解出解集. 【详解】因为任意的，都有，即任意的，都有， 令，所以任意的，都有， 所以为上的减函数； 又因为， 所以，解得，所以不等式解集为， 故选：B. 8. 已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（ ） A. 取遍任意大于的实数 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由集合的表示可知，计算和的区间长度差得到区间长度较长，最后由解得最终结果. 【详解】由题意知，，则的最小值为，最大值为， 所以，又因为， 所以，又集合表示的区间为一个闭区间， 则，化简可得，又， 解得. 故选：C. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有选错的得 0 分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质、结合基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，则，，C正确； 对于D，由，得，则，D错误. 故选：AC 10. 下列命题中，正确的有（　　） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则， D. 函数 的值域为 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于选项A，函数的定义域为，函数的定义域为，两函数定义域不同，所以它们不是同一函数.故A错误； 对于选项B，由，由得.故B正确； 对于选项C，令，则，，所以，. 所以，.故C正确； 对于选项D，因为，所以，所以.故D正确. 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对两边同时取自然对数，结合对数运算法则即可判断选项A；由选项A，结合对数的运算法则可得即可判断选项B；对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得.由完全平方公式结合选项A可得，即可判断选项C；由可得，根据对数运算法则可得即可判断选项D. 【详解】对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，故选项A正确； 由选项A中，结合对数的运算法则可得，所以，故选项B正确； 对两边同时取自然对数可得，根据对数运算法则可得，即. 所以，所以，故选项C错误； 由可得，即，根据对数运算法则可得，即，故选项D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的定义域和值域，分别求解两个集合，再求并集. 【详解】， ，解得：， 即，， 所以. 故答案为： 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】当，符合题意，当，列不等式组，解不等式即可得出答案. 【详解】当时，在区间上单调递减，故成立， 当时，要使函数在区间上单调递减， 所以，解得：. 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 14. 设，为正实数，，，则 _______． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法对二次式配方后，利用平方非负性和的约束进行双重放缩，得到表达式的上限为1；结合原式恰好等于1的条件，反推两处放缩同时取等，从而唯一确定的值，最终代入对数运算求解． 【详解】令，则， 故， ， 故， 因为，故，解得，即， 故． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）用，表示. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）逆用指数运算法则计算即可. （2）化指数式为对数式，再利用换底公式及对数运算法则求解. 【小问1详解】 由，，得. 【小问2详解】 由，，得， 所以. 16. 解决下列问题： （1）若，比较与的大小； （2）若，证明：． 【答案】（1）； （2）证明：令，则，． 因为，所以，即． 因为，所以，即． 又因为，所以，即． 故当时，． 【解析】 【小问1详解】 因为， 所以； 【小问2详解】 略 17. 已知函数，． （1）若的解集是，求函数的零点； （2）求不等式的解集． 【答案】（1）1和3； （2） 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 【解析】 【分析】（1）根据题意确定是的一个根，从而求出，进而求解即可； （2）先讨论当时求解不等式，在时求得方程的两根为，再比较两根大小，分类讨论求解不等式即可. 【小问1详解】 因为的解集是，所以是的一个根， 所以，解得，所以. 令，解得， 所以的零点为1和3. 【小问2详解】 因为，即，所以， 当时，，解得； 当时，方程的两根为， 当时，开口向下，且，解得； 当时，开口向上，且，解得或； 当时，开口向上，且，解得； 当时，开口向上，且，解得或； 综上所述，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 18. 设为实数，已知函数. （1）若是上的单调函数，求的取值范围； （2）已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）①；②14. 【解析】 【分析】（1）由题意结合二次函数的性质可得在上只能单调递减，从而可求出的取值范围； （2）①先分别求出函数在每一段上的最小值，从而可求出函数的最小值；②先由题意可得，从而由与的范围结合题意得，进而得，再结合基本不等式可求解. 【小问1详解】 因为是上的单调函数， 所以在上是单调函数， 所以在上是单调递减函数， 所以在上单调递减，所以，解得. 所以满足题意的的取值范围为. 【小问2详解】 当时，， ①时，；时，， 因为， 所以的最小值为； ②由题，且，所以， 又时，，， 所以对任意，不存在，使得，不符合题意， 所以， 所以， 因为对任意，都存在，使得成立， 所以，故， 所以，当且仅当 即时取等号， 所以的最小值为14. 【点睛】关键点点睛：第（2）问解题的关键是将问题转化为两集合的包含关系，从而得. 19. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 【答案】（1） （2） 由题设，且， 所以， 所以，得证. （3），理由如下： 由（2）知：， 同（2）证明得且，故，又， 所以在上恒成立， 当，取，则，故， 当，则，即. 综上，集合中元素个数的最大值为. 【解析】 【分析】（1）由性质定义列不等式组求参数范围，结合即可得最小值； （2）根据定义，进而有，应用累加法即可证结论； （3）首先应用放缩有求得，同理可得恒成立，假设得出矛盾，再讨论并应用基本不等式证恒成立，即可确定元素个数最大值. 【小问1详解】 由性质定义知：，且， 所以的最小值为6. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题可从以下方面入手： 第一问，根据性质定义列不等式组求参数范围； 第二问，根据定义得为关键，并用累加法计算即可； 第三问，应用放缩法确定，同理得到恒成立为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 南京一中第一学期期中试卷 高一数学 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 托马斯说：“函数是近代数学思想之花”根据函数的概念判断：下列对应关系是集合到集合的函数的是（    ） A. B. C. D. 3. 命题“”的否定为（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，．用表示，中的较大者，记为，则的最小值是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 6. 命题“，”为假命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域为，对任意的，都有，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知集合，集合，其中．若集合表示的区间为一个闭区间，则的取值范围为（ ） A. 取遍任意大于的实数 B. C. D. 二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得 6 分，部分选对得部分分，不选或有选错的得 0 分． 9. 若，则（ ） A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的有（　　） A. 函数与函数表示同一函数 B. 已知函数，若，则 C. 若函数，则， D. 函数 的值域为 11. 设正数，满足，，则（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知集合，，则__________. 13. 若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是______. 14. 设，为正实数，，，则 _______． 四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知，. （1）求的值； （2）用，表示. 16. 解决下列问题： （1）若，比较与的大小； （2）若，证明：． 17. 已知函数，． （1）若的解集是，求函数的零点； （2）求不等式的解集． 18. 设为实数，已知函数. （1）若是上的单调函数，求的取值范围； （2）已知. ①求的最小值； ②设函数.若区间，且对任意，都存在，使得成立，求的最小值. 19. 已知集合中的元素均为正整数，其中且.若对任意，，都有，则称集合具有性质. （1）集合具有性质，求的最小值； （2）若集合具有性质，且中最小元素和最大元素分别为，求证：； （3）已知集合具有性质，求中元素个数的最大值，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $