江苏省海安高级中学2024-2025学年高一上学期期中学业质量监测数学试题

2024~2025学年度第一学期期中学业质量监测试卷 高一数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1.答题前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2.已知，则（ ） A. B.1 C. D. 3.已知函数，则（ ） A.0 B.1 C.2 D.4 4.命题“，”的否定为（ ） A.， B.， C.， D.， 5.已知，则“”是“”的（ ）条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要 6.已知，则（ ） A. B. C. D. 7.已知，，，则（ ） A. B. C. D. 8.定义：表示，中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.甲､乙､丙､丁四位同学均完成了1道选项为A，B，C，D的单选题，他们的对话如下： 甲：我选的A； 乙：我选的B； 丙：我选的C； 丁：我选的不是C. 已知这四位同学选的选项各不相同，且只有一位同学说了谎，则说谎的同学可能是（ ） A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 10.已知函数，的定义域均为，下列结论正确的是（ ） A.若，均为增函数，则也为增函数 B.若，均为减函数，则也为减函数 C.若，均存在零点，则也存在零点 D.若，均存在零点，则也存在零点 注：函数的零点是当函数值取零时自变量的值 11.设，为正数，且且，则（ ） A.的最小值是2 B.的最大值是 C.的最大值是 D.的最大值是 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.函数的定义域为__________. 13.已知，，则__________.（用，表示） 14.已知，关于的不等式的解集中有且仅有3个整数，，，则__________，的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求的取值范围. 16.（15分） 已知，命题，，命题，. （1）若为真命题，求的最小值； （2）若和恰好一真一假，求的取值范围. 17.（15分） 已知为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是，之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行. （1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间； （2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值. 18.（17分） 已知函数，. （1）是否存在，使得？请说明理由； （2）设函数，判断并证明在区间上的单调性； （3）设函数证明：，，且，. 注：函数在上单调递增. 19.（17分） 我们知道，任何一个正实数都可以表示成.当时，记的整数部分的位数为，例如；当时，记的非有效数字的个数为，例如. （1）求，，并写出的表达式（不必写出过程）； （2）若，且取，求以及； （3）已知，猜想：与的大小关系，并证明你的结论. 高一数学期中参考答案与评分建议 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1ABDA BCBB 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9.AB 10.AC 11.ACD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 13. 14.3， 四､解答题：本题共5小题，共77分. 15.（13分） 解：集合. （1）当时，， 则或， 所以. （2）因为，所以. 即，所以 解得，所以的取值范围为 16.解：（1）因为，有， 所以（当且仅当，即时，取“=”）， 因为为真命题，所以，即，故的最小值为. （2）若为真命题，则，使得， 又函数的值域为，所以. 因为和恰好一真一假， 所以当真假时，；当假真时，. 综上，或. 17.解：（1）在中，，所以. 所以此人从海岛到达地的时间为. 又从地到达地的时间为， 故此人从海岛到达地的时间为. 答：此人从海岛到达地需. （2）依题意，. 所以. 因为（当且仅当时，取“”），所以. 答：快递员速度的最大值为. 注：利用方程有解，判别式法亦参照给分. 18.证明：（1）若，则， 解得. 所以存在，使得. （2）函数在上单调递减. 证明：设对任意的，且， 则 . 依题意，， 故， 所以，即. 所以函数在上单调递减. （3）依题意，函数 ，不妨设，则“” 等价于“” 等价于“，且” 等价于“在上单调递减，在上单调递增”. 下证之： 令 由（2）知，在上单调递减，且. 又在上单调递减，，故在上单调递减. 令 易知在上单调递增，且； 可证在上单调递增，. 所以在上单调递增. 综上，原命题得证， 19.解：（1）依题意，. （2）由知，. 两边取以10为底的对数，得. 取，得. 所以，所以. 于是，所以. （3）猜想：. 证明：设，则. 因为对于，显然不存在整数，使，所以. 又，其中， 所以. 所以. 学科网（北京）股份有限公司 $$