江苏南京市第二十七高级中学2026-2027学年高一上学期期中考试数学试题

20261030手动选题通用卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2,N={xx2-x-6>0},则MnN=() A.{-2,-1,0,1 B.{0,1,2 C.{-2} D.{2} 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查交集运算，解不含参的一元二次不等式，属于基础题， 先把集合N表示出来，再根据交集的定义计算即可. 【解答】 解：x2-x-6≥0， (x-3)(x+2)≥0，.x≥3或x≤-2， N=(-∞，-2]U[3,+∞) 则MnN={-2. 故选：C. 2.命题“3x>0,x2+2x-2>0”的否定是() A.x>0,x2+2x-2<0 B.x≤0，x2+2x-2<0 C.x≤0，x2+2x-2<0 D.x>0,x2+2x-2<0 【答案】D 【解析】解：命题“3x>0,x2+2x-2≥0”的否定为“Vx>0,x2+2x-2<0” 故选：D 3画数f)=哥的定义域) A.[1,2)U(2,+∞) B.(1,+∞) C.[1,2) D.[1,+o) 【答案】A 【解析】【分析】 本题是基础题，考查函数定义域的求法，注意分母不为零，偶次方根非负，是解题的关键， 利用分式分母不为零，偶次方根非负，得到不等式组，求解即可. 【解答】 解：山题-28解符xeL,2)u么+) 故选：A. 第1页，共14页 4.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-o,2]上是减函数，则实数a的取值范围是() A.-,+c) B.(-,引 C+∞) D.(-0,-引 【答案】D 【解析】【分析】 本题考查二次函数的单调性，属于基础题， 根据二次函数的对称轴得到不等式，求出答案. 【解答】 解：函数y=2+(2a-1)x+1图象的对称轴为x-12图象开口向上 要想函数=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞，2]上是减函数，则220>2. 解得a<-多 即实数a的取值范围是：(-c, 故选：D. 5.若正数x,y满足xy=2,则3x,9y的最小值为() A.27 B.81 C.6 D.9 【答案】B 【解析】【分析】 本题考查利用基本不等式求最值，属于基础题 利用基本不等式即可求解. 【解答】 解：由题意，得3x.9y=3x+2y≥32√x2y=34=81, 当且仅当x=2y=2时，取等号， 则3x.9y的最小值为81 6.若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数，则f(分=() A B c D.2 【答案】D 【解析】【分析】 第2页，共14页 本题考查函数奇偶性以及应用，属于基础题. 由偶函数的定义可得b大2b-2=0,求得a、b的值即可， (a=0 【解答】 解：因为函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数， 所(。62功-2=0 6=8 所以f(x)=x2+1, 则f=f(1)=12+1=2. 故选：D 7.设函数f(x)=x+2,g(x)=x2-x-1.用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为M(x)=max{f(x),g(x)}, 则M(x)的最小值是() A.1 B.3 C.0 D.- 【答案】A 【解析】【分析】 本题考查了分段函数图象的应用，属于中档题. 作出M(x)的函数图象，根据函数图象求解出M(x)的最小值. 【解答】 解：令x+2=x2-x-1, 解得x=-1或x=3, 作出M(x)的图象如下图所示： 第3页，共14页 由图象可知：当x=-1时，M(x)有最小值， 此时M(x)min=-1+2=1, 故选：A. 8.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)=x-1+x-2-3),若x∈R,fx-a)≤ f(x),则a的取值范围是() A.a≥3 B.-3≤a≤3 C.a≥6 D.-6≤a≤6 【答案】C 【解析】【分析】 本题考查函数奇偶性的性质以及应用，涉及分段函数的性质，关键是依据题意，作出函数的图象 (-x,0≤x<1 根据题意，由函数在x≥0时的解析式，将其用分段函数表示为f(x)={-1,1≤x≤2，又由函数为奇函数， x-3,x>2 利用奇函数关于原点对称的性质可得f(x)的图象，进而分析可得α的取值范围，即可得答案。 【解答】 -X,0≤X<1 解：根据题意，当x≥0时，f()=x-1+x-2引-3)= -1,1≤x≤2， X-3,X>2 又由函数为奇函数，则其图象如图： 第4页，共14页 .3 若Vx∈R,f(x-a)≤f(x): 即点(x-a,f(x-a)在点(x,f(x)的下方或同一条水平线上， 结合图象可知必有a≥6， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结果为1的是() A.eeie B.1g2+1g5 C.85-9克 D.log23×log34×log42 【答案】BCD 【解析】【分析】 本题考查了指数运算及对数运算的应用，属于基础题， 由对数运算及指数运算的性质化简即可. 【解答】 解：对于选项A,e0=e好=e≠1， 对于选项B,lg2+lg5=lg10=1, 对于选项C,8品-92=4-3=1， 对于选项D,log23×log34×log42=log24×log42=1, 故选：BCD 10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x-3≤x≤4，则下列说法正确的是() 第5页，共14页 A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为x-}<x<} C.a+b+c<0 D.04+的最小值为-4 【答案】AB 【解析】【分析】 本题考查一元二次不等式的解法和根与系数的关系，基本不等式求最值，属于一般题. 由已知得a<0,利用韦达定理得化二12a再对选项逐个判断即可。 【解答】 解：关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为{x-3≤x≤4}， 由不等式的解集为两根之间，则a<0,故A正确； 由题意可知-3和4是方程ax2+bx+c=0的两根， (-=-3+4 可得-3×4 解得快-2a a 对于B,cx2-bx+a<0→-12ax2+ax+a<0 合12x2-x-1<0合4<x< 1 所以不等式的解集为d-<x<动，故B正确： 对于C,a+b+c=a-a-12a=-12a>0,故C不正确. 对于D,因为a<0,b=-a,c=-12a,所以-3a+4>4+5=24-60=3品4+2(-3a+0 8≥2 2√-3a+42(-3a+4)-8=-4, 2 当且仅当忌=2(-30+4，即a=1时，等号成立，与a<0矛盾，所以，动+数不到最小值-4. 故选AB. 11.己知集合M={aa=x2-y2,x∈Z,y∈Z),下面结论正确的是() A.如果a∈Z且a∈M,则-a∈M B.如果P={blb=2n+1,n∈Z,那么P∈M 第6页，共14页 C.如果c=4n+2,n∈Z,那么c∈M D.如果a1∈M,a2∈M,那么a1a2∈M 【答案】ABD 【解析】【分析】 本题考查了元素与集合、集合与集合之间关系的判断，考查运算求解能力和转化与化归思想. 【解答】 解：对于选项A,易知-a=y2-x2,·-a∈M,故选项A正确； 对于选项B,b=2n+1,n∈Z,则恒有2n+1=(n+1)2-n2,∴2n+1∈M,P∈M,故选项B正确 对于选项C,c=4n+2,n∈Z,若4n+2∈M,则存在x,y∈Z,使得x2-y2=4n+2, ·4n+2=(x+y)(x-y),又x+y和x-y同奇或同偶， 若x+y和x-y都是奇数，则(x+y)(x-y)为奇数，而4n+2是偶数， 若x+y和x-y都是偶数，则(x+y)(x-y)能被4整除，而4n+2不能被4整除， ∴4n+2M,即c庄M,故选项C错误； 对于选项D,a1∈M,a2∈M,令a1=x好-y好，a2=x3-y经，，y∈Z,i=1,2, a1a2=(x好-y)x3-y2)=(x1x2)2+(y1y2)2-(x1y2)2-(x2y)2=(x12+y1y2)2-(x1y2+x2y1)2, ·a1a2∈M,故选项D正确. 故选ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 I2设集合A={∈Ny=号∈M则集合A的子集个数为 【答案】16 【解析】【分析】 本题考查集合的求法，考查集合的子集个数的求法， 化简集合A,进而能求出集合A的子集的个数. 【解答】 解：集合A={x∈Ny=号∈W=013,9, 列举法表示集合A=0,1,3,9}, 集合A的子集有24=16个. 故答案为16： 第7页，共14页 13.若命题“3x∈R,|x-1+|x+a<3”是真命题，则实数a的取值范围是 【答案】-4<a<2 【解析】【分析】 本题考查已知存在量词命题的真假求参数范围. 根据绝对值的定义，进而可得结果。 【解答】 解：由绝对值的定义可知：x轴上的两点A(-a,0),B(1,0)之间存在点P(x,0),则AB1=1+ad<3,即-4< a<2, 故答案-4<a<2. 14.若不等式(ax+2)(x2-b)≤0对任意的x>0恒成立，则a-√b的最大值为一， 【答案】-2√2 【解析】【分析】 本题考查了对参数的讨论问题和利用数形结合的思想解决实际问题，是综合性题目. 对b分类讨论，当b≤0时，由(ax+2)(x2-b)≤0得到ax+2≤0，由一次函数的图象知不存在： 当b>0时，由(ax+2)x2-b)≤0，利用数学结合的思想得出a,b的关系，利用基本不等式求最大值即可. 【解答】 解：当b≤0时，由(ax+2)(x2-b)≤0 得到ax+2≤0在x∈(-∞，0)上恒成立， 则a不存在： 当b>0时，由(ax+2)(x2-b)≤0， 可设f(x)=ax+2,g(x)=x2-b, f(x),g(x)的大致图象如下， 第8页，共14页 =g(x) 0 X Y=fx) a<0 那么由题意可知： {- 因此，a-V而=品历=（品+vD<-2房×历=22， 当且仅当品=V万，即b=2时，等号成立，a-√可取得最大值为-2√2。 故答案为-22. 四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题12分) (1)求值： (分)3--+1g5-1g:20: (2)若4x=9y=6, 求+的值 【答案】解：(a)分-(-台2+1og25-1og220=[【3)]-白2+1og2员 1 =3-2+1g2-2=3-号2=是 (2)因为4x=9y=6, 第9页，共14页 所以x=l0g46,y=1og96, 所以tg系6+oa6=bga4+log.9=b8s36=2. 1 【解析】本题主要考查了指数与对数的计算，属于基础题， (1)根据指数与对数的运算，求出（分-(-2+10g25-1og220的值： (2)根据指数与对数之间的关系，得x=1og46,y=1og36,代入即可求出2+的值. 16.(本小题12分) 已知集合A=xx+1=5,B={x(a-1)x2+ax+a-1=0. (1)若B中恰有一个元素，用列举法表示α的值构成的集合； (2)若BcA,求a的取值范围， 【答案】解：(1)若a-1=0,即a=1,则B=0,符合题意. 若a-1≠0，即a+1,则由8中恰有一个元素，得a2-4a-1)2=0,解得a=2或a=子 综上所述，a的值构成的集合为1,2，. (2)由x+=5,得x=1或x=4,则A=1,4. 若B=O,符合B二A, 则g1”r<0解得a<戴a>2 当B≠0， 若1∈B,则3a-2=0,解得a=子则B={1,符合BcA, 若4eB,则21a-17=0,解得a=7则B=4,,不符合BcA. 综上所述a的取值范围为(-∞，U(2,+∞) 【解析】本题考查了集合和元素的关系，以及集合与集合的关系，属于基础题. (1)若a-1=0,则B={0},符合题意，若a-1≠0，则由B中恰有一个元素，得a2-4(a-1)2=0,即 可求解 (2)先化简A,再分类讨论，当当B=@时，和当B≠②时，即可求出a的范围。 17.(本小题12分) 求下列函数的最值 （1)求函数=2x+c>1)的最小值。 第10页，共14页 (2)求西数测=号x>1)的最小值。 (3)设a>0,b>1,若a+b=2,求号+的最小值. (4)若正数x,y满足x+3y=5xy,求3x+4y的最小值 【答案】解：(1)y=2x-1)++2≥2W2+2,故函数y的最小值为2+2W2,当且仅当2(x-1)2=1, 即x=1+号时，等号成立： (2②y==2-8=-1)+3,+2≥23+2，故函数y的最小值为2+2√3，当且仅当(x-1= x-1 3,即x=√3+1时，等号成立： 3)油愿得a=2-b,代入原式，得号+点=是+六=0-2b 2 3+2W2 32-2W2+3=3-2123+217= 3+2√2，故原始最小值为3+2√2，当且仅当b2=2,即b=√2时，等号成立： 闭白理得号+品1，则x+初+总等+哭+号号+2需5当且仅当鉴封，等号 成立，故最小值为5 【解析】本题考查基本不等式的应用，正确利用公式是关键，属于较难题， ()原式可化为y=2x-1)+片+2≥2√2+2，进而求出最小值： (2)原式可化为x-1)+x+2≥2W3+2,求出最小值： 3 )利用换元思想，原式可化为号+=名5+六=4心再利用基本不等式即可： b (④本题涉及基本不等式中“1”的妙用，将x+3)=5y化为号+是=1，然后根据3x+4y=(3x+ 4)吃十急-等+受+号再利用基木不等式求最小值即可， 18.(本小题12分) 已知f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x)+2g(x)=x3+2x2+2x-6. (1)分别求f(x),g(x)的解析式： (2)设函数h(x)=ax+b,若f(x)与h(x)在[1,2]上的值域相同，求a,b的值. 【答案】解：(1)因为f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数， 所以f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x). 由f(x)+2gx)=x3+2x2+2x-6①， 得f(-x)+2g(-x)=(-x)3+2(-x)2+2(-x)-6=-x3+2x2-2x-6, 则-f(x)+2g(x)=-x3+2x2-2x-6②. 第11页，共14页 ①-②得2f(x)=2x3+4x,则f(x)=x3+2x, 从而g(x)=x2-3. (2)因为y=x3与y=2x均是增函数，所以f(x)也是增函数. 又f(1)=3,f(2)=12,所以f(x)在[1,2]上的值域为[3,12] 若a>0,则h(x)在[1,2]上单调递增. 因为f(x)与h(x)在[1,2]上的值域相同， 所份a中312解得8-号。 若a=0,则h(x)=b为常数函数，显然不符合题意. 若a<0,则h(x)在[1,2]上单调递减. 因为f(x)与h(x)在[1,2]上的值域相同， 所以82中。1解得8=7是 券上所述，8-96或6=22 【解析】本题考查函数奇偶性应用以及函数值域的求法，属于中档题. (1)利用函数奇偶性构造方程组求出函数解析式： (2)结合函数单调性分析求解即可 19.(本小题12分) 设函数y=f(x)的定义域为M,且区间ISM若函数y=f(x)+x在区间I上单调递增，则称函数f(x)在区间 I上具有性质A;若函数y=f(x)-x在区间I上单调递增，则称函数f(x)在区间1上具有性质B (1)试证明：“函数f(x)在区间I上具有性质B”是“函数f(x)在区间I上单调递增”的充分不必要条件： (2)若函数f(x)=在区间[2，+∞)上具有性质A,求实数k的取值范围： (3)若函数)=2x+在区间[a,Q+1]上同时具有性质A和性质B,求实数a的取值范国。 【答案】解：(1)证明：若函数f(x)在区间I上具有性质B, 即y=f(x)-x在区间1I上单调递增， 设任意x1,X2E1且x1<x2 则有f(x2)-x2>f(x1)-x1, 变形可得f(x2)-f(x1)>x2-x1>0, 即f(x2)-f(x1)>0, 所以f(x)在区间1上单调递增，即充分性成立： 第12页，共14页 反之，若函数f(x)位区间I上单调递增， 如f(x)=x在任意区间I上单调递增， 但f(x)-x=0, 故不符合性质B, 即必要性不成立； 所以“f(x)在区间I上具有性质B”是“f(x)在区间I上单调递增”的充分不必要条件. (2)根据题意，函数f(x)=在区间[2，+o)上具有性质A, 即函数g)=f)+x=套+x在区间[2，+o)上单调递增. 设2≤x1<X2, 则g)-9)-+x-片+x)-,>0, X1X2 因为2≤x1<x2, 则x1-x2<0,x1x2>4>0, 可得k<x1x2恒成立， 则k≤4， 所以实数k的取值范围是kk≤4. (3)由条件可知，f(x)具有性质A, 即y=f()+x=3(x+在区间[a,Q+1]上单调递增； 由条件可知，f(x)具有性质B, 即y=f()-x=x+3在区间[a,a+1]上单调递增： 由对勾函数可知：y=3(x+为)的增区间为(-∞，-1]，[1，+∞)， y=x+3的增区间为(-0，-V3],[W3,+0), 要使得条件成立，需要a+1≤-V3或a≥V3 所以实数a的取值范围是{aa≤-V3-1或a≥V3). 【解析】本题考查函数的新定义问题，属较难题， (1)根据题意结合单调性的定义以及充分、必要条件分析判断： (2)分析可知g)=fx)+x=兰+x在区间2，+∞)上单调递增，结合单调性的定义分析求解， 第13页，共14页 (3)分析可知y=3(x+在区间[a,a+1]上单调递增，y=x+3在区间[a,a+1]上单调递增，结合对勾函 数单调性分析求解. 第14页，共14页南京市第二十七高级中学高一年级第一学期期中考试 数学卷2026.11 本试卷共4页，150分，用时150分钟。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.已知集合M={-2,-1,0,1,2,N={xx2-x-6>0},则MnN=() A.{-2,-1,0,1 B.{0,1,23 C.{-2} D.23 2.命题“x>0,x2+2x-2>0”的否定是() A.x>0,x2+2x-2<0 B.x≤0，x2+2x-2<0 C.3x≤0，x2+2x-2<0 D.x>0,x2+2x-2<0 3.函数f()=写的定义域为() A.[1,2)U(2,+o) B.(1,+∞) C.[1,2) D.[1,+o) 4.若函数y=x2+(2a-1)x+1在区间(-∞，2]上是减函数，则实数a的取值范围是() A[-3+0) B.(-∞，] C.[2+o) D.(-∞，-] 5.若正数x,y满足xy=2,则3.9的最小值为() A.27 B.81 C.6 D.9 6.若函数f(x)=x2+ax+1是定义在(-b,2b-2)上的偶函数， 则f()=() A B c D.2 7.设函数f(x)=x+2,g(x)=x2-x-1.用M(x)表示f(x),g(x)中的较大者，记为Mx)= max{f(x),g(x)},则M(x)的最小值是() A.1 B.3 C.0 D-9 8.已知函数f()是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f)-0x-1+lx-2-3),若xER,fx a)≤f(x),则a的取值范围是() A.a≥3 B.-3≤a≤3 C.a26 D.-6≤a≤6 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 9.下列结果为1的是() 第1页，共4页 A.ezete B.1g2+1g5 c.3-9克 D.1og23×log34×log42 10.已知关于x的不等式ax2+bx+c≥0的解集为x-3≤x≤4}，则下列说法正确的是() A.a<0 B.不等式cx2-bx+a<0的解集为-是<x< C.a+b+c<0 D4+的最小值为-4 11.已知集合M={ala=x2-y2,x∈Z,y∈Z,下面结论正确的是() A.如果a∈Z且a∈M,则-a∈MB.如果P={blb=2n+1,n∈Z),那么P∈M C.如果c=4n+2,n∈Z,那么c∈MD.如果a1∈M,a2∈M,那么a1a2∈M 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12设集合A={x∈MD=号∈N,则集合A的子集个数为 13.若命题“3x∈R,x-1+|x+ad<3”是真命题，则实数a的取值范围是 14.若不等式(ax+2)(x2-b)≤0对任意的x>0恒成立，则a-√b的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题13分) (1)求值： (⑤份)--哥}+1bg5-b8:20: (2)若4=9y=6,求+的值. 16.(本小题15分) 已知集合A=dx+生=5，B={x(a-1)x2+ax+a-1=0}. (1)若B中恰有一个元素，用列举法表示a的值构成的集合； (2)若B二A,求a的取值范围. 第2页，共4页 17.(本小题15分) 求下列函数的最值 (四求函数y=2x+x>1)的最小值. (2)求函数=子c>1)的最小值。 (3)设a>0,b>1,若a+b=2,求号+的最小值， 18.(本小题17分) 己知f(x)与g(x)分别是定义在R上的奇函数、偶函数，且f(x)+2g(x)=x3+2x2+2x-6. (1)分别求f(x),g(x)的解析式： (2)用定义证明函数f(x)的单调性； (3)设函数h(x)=ax+b,若f(x)与h(x)在[1,2]上的值域相同，求a,b的值. 第3页，共4页 19.(本小题17分) 设函数y=f(x)的定义域为M,且区间I∈M.若函数y=f(x)+x在区间I上单调递增，则称函数f(x)在区间 I上具有性质A:若函数y=f(x)-x在区间1上单调递增，则称函数f(x)在区间1上具有性质B. (1试证明：“函数f(x)在区间I上具有性质B”是“函数f(x)在区间I上单调递增”的充分不必要条件： (2)若函数f)-在区间[2，+∞)上具有性质A,求实数k的取值范围： (3)若函数f(x)=2x+三在区间[a,Q+1]上同时具有性质A和性质B,求实数a的取值范围. 第4页，共4页