精品解析：广西壮族自治区来宾市金秀瑶族自治县民族高中2026-2027学年高三上学期11月期中测试数学试题

2027届高三上学期期中测试（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 2. 样本数据7，9，5，6，12的上四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 7. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 10. 已知复数，则以下说法正确的是（　　） A. B. 复数是方程的一个根 C. 的共轭复数 D. 在复平面内与对应的点在第二象限 11. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 为偶函数且和为同一函数 B. ，的值域均为 C. 在上有且仅有1个极值点 D. 为的一个周期且为最小正周期 三、填空题（共15分） 12. 若函数，则________． 13. 函数 的定义域为________. 14. 已知函数（），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_________． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 16. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积. 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 19. 如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等． （1）求，的方程． （2）设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心． （3）设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三上学期期中测试（数学） （满分150分 时间120分钟） 一、单选题（共40分） 1. 不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，原不等式可化为，解得， 即，解得，解集为. 2. 样本数据7，9，5，6，12的上四分位数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】D 【解析】 【详解】将样本数据按从小到大的顺序排列为：5,6,7,9,12. 数据总个数. 上四分位数即第75百分位数，按照百分位数的计算规则， 计算第75百分位数的位置：. 因为不是整数，所以取大于的最小整数. 即第75百分位数为排列后的第个数据，该数据为. 所以该样本数据的上四分位数为. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由，得或或，所以.又，所以. 4. 设全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接由补集的定义即可求解. 【详解】若全集，集合，则. 故选：D. 5. 已知函数，则的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求，求解不等式，结合函数的定义域即可得的单调递减区间. 【详解】由题设得的定义域为，. 令，则，解得. 又因为，所以. 所以的单调递减区间是. 6. 将6盆不同的花卉摆放成一排，其中A､B两盆花卉均摆放在C花卉的同一侧，则不同的摆放种数为（ ） A. 360 B. 480 C. 600 D. 720 【答案】B 【解析】 【分析】对C花卉的位置进行分类讨论即可解决. 【详解】分类讨论的方法解决如图中的6个位置， ① 当C在位置1时，不同的摆法有种； ② 当C在位置2时，不同的摆法有种； ③ 当C在位置3时，不同的摆法有种； 由对称性知C在4､5､6位置时摆放的种数和C在3､2､1时相同， 故摆放种数有. 故选：B. 7. 已知数列中，（且），则数列通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先构造新数列，可知为等比数列，再求等比数列通项公式，进而求出数列通项公式即可. 【详解】由于，两边同时加上，得到. 因为，所以，可知数列是等比数列，首项为3，且公比为. 等比数列的通项. 故选： C. 8. 已知，分别为双曲线的左、右焦点，O为坐标原点，点B是双曲线上位于第二象限的点．直线与双曲线交于另一点A，，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，根据双曲线定义和勾股定理解得，计算出，，再次在中利用勾股定理得，最后整理成关于的齐次方程计算即可. 【详解】设，，， 因为，则，则，解得 又因为，，则为的中点，所以， 则，在直角三角形中，， 即，化简得， 将代入上式得， 则， 化简得，两边同除得， 解得或1（舍去），则. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是充分利用双曲线定义和勾股定理表示出相关线段之间关键，最后转化为齐次方程，解出即可. 二、多选题（共18分）：在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 函数的零点所在区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】先借助导数确定函数的单调性及单调区间，再分别求出的值，根据零点存在性定理判断即可. 【详解】因为时，，，， ，， 所以，. 所以由零点存在性定理可知，函数在，上存在零点， 故选：BD 10. 已知复数，则以下说法正确的是（　　） A. B. 复数是方程的一个根 C. 的共轭复数 D. 在复平面内与对应的点在第二象限 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数，根据复数的模的计算公式即可判断A；求出方程的复数根，即可判断B；根据共轭复数的定义即可判断C；根据复数的几何意义即可判断D. 【详解】由， 所以，故A正确； 由，得，解得， 所以复数不是方程的一个根，故B错误； 的共轭复数，故C正确； 在复平面内与对应的点为，在第二象限，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是：（ ）. A. 为偶函数且和为同一函数 B. ，的值域均为 C. 在上有且仅有1个极值点 D. 为的一个周期且为最小正周期 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，根据奇偶函数定义去求证以及结合平方差公式、求证即可得解；对于B，令得，结合导数求得单调递增，再结合即可得解；对于C，由在上关于单调结合在内关于单调可得上关于单调无极值点得解；对于D，由的最小正周期为结合在内关于单调得解. 【详解】对于A， ， 且，故A正确； 对于B，令，所以，，所以单调递增，， 所以，故B正确； 对于C，在上关于单调， 而在内关于单调， 故在上关于单调，无极值点，故C错误； 对于D，的最小正周期为，而在内关于单调，所以的最小正周期为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点睛：求性质问题，关键是令得，从而利用关于的单调性和周期性等性质结合关于的单调性去解决性质问题. 三、填空题（共15分） 12. 若函数，则________． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数与指数运算结合分段函数的性质计算即可. 【详解】易知，所以. 13. 函数 的定义域为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数形式可得关于的不等式组，求出其解后可得定义域. 【详解】，故，故定义域为， 故答案为：. 14. 已知函数（），若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】求导，利用导数分析可知在内单调递增，结合恒成立问题可得，构建，求导判断其单调性，根据单调性解不等式即可. 【详解】由题意可得：， 因为，则有： 若，则，可得，则； 若，则，可得. 综上所述，，可知在内单调递增， 则， 若对任意的，恒成立，则， 构建，则， 可知在内单调递增， 由可得， 又，则，解得， 所以实数的取值范围是. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆过点，，且圆心在直线上． （1）求圆的方程； （2）若倾斜角为的直线与圆交于两点，且，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据圆心在直线上，设，设圆半径为，根据求解；（2）设直线的方程为，根据△是等腰直角三角形求出，利用求出，再根据求出. 【小问1详解】 ∵圆心在直线上，设，设圆半径为，则， ∴，化简展开得，解得， ∴，半径，∴圆的方程为：． 【小问2详解】 ∵直线的倾斜角为，∴直线的斜率，设直线的方程为， ∴，则△是等腰直角三角形，∴， 由弦长公式得，解得， 圆心到直线的距离：，解得或 ， ∴直线的方程为或． 16. 已知是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用基本量法得到，由，，成等比数列，得到，再结合，得到，，于是； （2）利用分组求和，分别得到等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，最终得到. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，，成等比数列，所以， 即，又因为，所以， 又，所以，结合， 解得，， 所以． 【小问2详解】 由（1）得， 所以，当时，， 故是首项为16，公比为4的等比数列． 设等差数列的前项和为，等比数列的前项和为， 由分组求和得． ， ， 所以 17. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. （1）求角B的大小； （2）若，，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理将条件化为角的关系，化简求得，可求角B的大小； （2）结合（1），利用余弦定理可求得，进而利用三角形面积公式可求的面积. 【小问1详解】 ，由正弦定理得， 在中，， ，. 【小问2详解】 由（1）得，由余弦定理得， 又因为，，所以，解得， 所以的面积为. 18. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）因为是正方形，所以，平面，平面，平面， 同理平面，又，，平面， 所以平面平面，又平面，所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）证明线面平行，进而得面面平行，即可根据性质求证， （2）（3）建立空间直角坐标系，求解平面法向量，即可根据向量的夹角求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为正方形所在平面与梯形所在平面垂直， 平面平面，平面，所以平面，故， 又因为，，所以， 因为，所以，故，故，，两两垂直， 如下图建立空间直角坐标系： 则，，，，，，，，， 设平面的法向量为，则，即， 设，则，，，设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 若在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 设，（），因为，所以， 设平面的一个法向量为，因为，， ，所以，令，则，， 故，， 由（1）得平面，故平面的一个法向量为， 设平面与平面的夹角为， 则， 根据题意得，因为，所以， 即，又，故， 故在线段上存在一点，使得平面与平面的夹角的正切值为， 此时． 19. 如图，椭圆：的长轴长为8，椭圆：的长轴长为4，的长轴为的短轴，且这两个椭圆的离心率相等． （1）求，的方程． （2）设，分别为的上、下顶点，P为上异于，的任意一点，过点P作轴，垂足为Q，线段与交于点H，证明：H为的垂心． （3）设为上一点，过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；过点作y轴的垂线交于点，过点作x轴的垂线交于点；……．依此类推，得到，，，，，，…．已知，均位于第一象限，设，若，证明：． 【答案】（1）的方程为；的方程为 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由长轴长得，​长轴为短轴得，离心率相等求 ，写出方程； （2）设，代入得；联立​与得，计算斜率乘积为即得证； （3）由几何关系导出​，求和得；利用放缩，相加得证. 【小问1详解】 由题意可知， ，解得，， 则的方程为． 因为这两个椭圆的离心率相等，所以，即， 则，所以的方程为． 【小问2详解】 设，由 ，得， 将代入，得． 易知，在轴同侧，所以，则， 则 ， 则．又 ，所以为的垂心． 【小问3详解】 将代入，得，则， 将代入，得， 即，即． 又，所以数列为等比数列，故，即， 所以， 设，则，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增，所以，即． 令，得， 则， 故． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $