精品解析：山西省太原市2026-2027学年第一学期高一年级期中学业诊断数学试卷

2026~2027学年第一学期高一年级阶段学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午2：30—4：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 得． 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】含量词的命题否定，改变量词，否定结论；. 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】首先，二次根式有意义的条件为被开方数非负，故成立的前提是， 对不等式两边同时平方（两边均为非负实数，平方后不等号方向不变），可得， 因此等价于. ①充分性验证：若成立，则，显然满足，故充分性成立； ②必要性验证：若成立，取反例，满足，但此时无意义，无法满足，故必要性不成立。 因此“”是“”的充分不必要条件. 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意得，解得且， 故函数的定义域为. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：当时，，错误. 选项B：当，，满足，但是，错误. 选项C：，因为即， 所以，成立，正确. 选项D：当，，满足，但是，，，错误. 6. 已知定义在上的函数，对任意实数，都满足：，且函数不恒为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】令 ，得 ，所以 ，A 正确. 取 ，它满足题干条件且 ，所以 B 错误. 令 ，得 ，所以 ，即 为奇函数. 所以 ，C 正确. 反复使用 得 ，取 得 ，D 正确. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的单调递减区间为 C. 当时， D. 不等式的解集为 【答案】D 【解析】 【详解】当时，，是开口向下的抛物线， 对称轴为，在上单调递增，在上单调递减，； 当时，，， 又函数是定义在上的奇函数，故，是开口向上的抛物线， 对称轴为，在上单调递减，在上单调递增，， 故， 对于A，最大值为，A错误； 对于B，的单调递减区间为和，B错误； 对于C，当时，，C错误； 对于D，当时，，解得， 当时，，解得， 故不等式的解集为，D正确. 8. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，得； ，，，得. ，则. ，当且仅当，即时等号成立. 的最小值为. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知指数函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【详解】设，(且)， 由的图象经过点，得，所以，即. 对于A，，故A正确； 对于B，，且，所以为非奇非偶函数，故B错误； 对于C，由，所以指数函数在上是增函数，故C正确； 对于D，由，即，解得，故D正确. 10. 已知函数的最小值为，则实数可能的取值是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先保证时最小值为，再求时的函数最小值，最后保证整体的最小值为即可求解. 【详解】当时，，当且仅当时，等号成立， 即当时，函数的最小值为， 当时， ，若要使得函数的最小值为， 则满足，解得，由选项可得，实数可能的取值是，. 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是增函数 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】将已知条件，代入和，通过分母有理化化简，再逐一验证选项即可． 【详解】， ， A项：代入，得，A对； B项：由，可得，B对； C项：因为，即，故不是增函数，C错； D项：，D对． 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则________. 【答案】 【解析】 【详解】设，代入点，即，解得， 所以，故． 13. 已知关于的不等式的解集是，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集与对应方程根的关系，可知是方程的两个实数根，利用韦达定理列方程组求解的值，再代入计算即可． 【详解】由题知，是方程的两个实数根， 由韦达定理得，解得， 所以． 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上信息，若函数，则________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意计算函数的图象关于点中心对称，利用函数对称性计算即可求解. 【详解】由题意可得，且定义域为， 则有 ， 且 ， 因为的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数， 所以， 即 即， 可得，解得， 所以函数的图象关于点中心对称，所以， 所以，， 所以. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）化简集合，然后利用交集的定义求解即可； （2）先利用并集的定义求，再利用子集的定义建立不等式，求得实数的取值范围为. 【小问1详解】 由题可知，，， ． 【小问2详解】 由（1）可得，， ，， ， ， ，即实数的取值范围为 16. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）逐项化简再相加：把写成后用幂的乘方求值，依据处理零指数幂，依据处理负整数指数幂. （2）系数与字母分别运算：系数相乘除，同底数幂的指数相加减，指数为时该字母的幂为. （3）把所求式化为与的幂的组合，即，再代入已知值计算. 【小问1详解】 由，得； 由，得； 由负整数指数幂的意义，得； 所以原式. 【小问2详解】 把除法化为乘以除式的倒数，得原式； 系数：； 的指数：； 的指数：，即； 所以原式. 【小问3详解】 由，得； 由，得； 所以. 17. 已知函数. （1）求证：为奇函数； （2）用定义证明：函数在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）函数的定义域为. 对任意,都有,且. 所以为奇函数. （2）函数. 任取,且, 则 . 由,且在上单调递增,得,所以,且. 于是,即. 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）要证为奇函数,只需按定义验证其定义域关于原点对称,且对任意都有. 计算时利用负指数幂把、化为以为底的幂,再与比较. （2）用定义法证明单调性:设,作差并写成的形式. 提取公因式后,由指数函数的单调性判断各因式的符号,从而确定差的符号. （3）先用奇函数的性质把化为,把原不等式化为. 再由在上单调递增去掉函数符号,转化为关于的一次不等式求解. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 略. 【小问3详解】 由,得. 因为是奇函数,所以,从而. 又在上单调递增,所以,解得. 所以实数的取值范围是. 18. 某厂家生产一款商品，成本价为元/件，上年度销售价为元/件，销售量为件，本年度厂家为扩大该商品的市场占有率，计划将销售价下调至元/件至元/件之间（含元/件和元/件）.经市场调查，降价后本年度该商品的新增销量（单位：件）与销售价满足：. （1）将本年度厂家的利润表示为销售价的函数； （2）当销售价最低定为多少时，仍可保证厂家的利润比上年至少增长？ （3）当销售价定为多少时，本年度厂家的利润最大？ 【答案】（1）， （2）元 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意表示出年度总销售量，再根据年度利润=总销售量×单件利润，求出函数解析式； （2）根据，列出一元二次不等式，解出范围与题干条件取交集即可； （3）利用函数P的单调性求出最值即可. 【小问1详解】 由题意得，本年度总销售量为：， 则本年度利润为：， 又因为， 所以利润关于的函数关系式为：， 【小问2详解】 设上年度利润为元，可得， 由题可知，需满足，即， 化简可得， 解得或，由于， 所以， 即当销售价最低定为元时，仍可保证厂家的利润比上年至少增长． 【小问3详解】 由（1）可得，， 设，，则， 对于，且，有 ， 由，且，得，， 于是，即，函数在上单调递增， 所以，当时，取得最大值，此时， 即销售价时，本年度利润取得最大值． 19. 已知定义在上的函数满足下列条件：①对任意实数，都有：；在区间上单调递减；. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的判断； （3）当时，解不等式：. 【答案】（1）， （2）函数是偶函数． 证明：由题可知，函数的定义域为，且，都有． ∵对于任意的，，函数满足：， ∴令，可得， 又，，即． 所以，函数是偶函数． （3） 【解析】 【分析】（1）令，求出，再令，即可求解； （2）结合奇偶性定义证明即可； （3）令，，结合单调性求出，由单调性转化为不等式，再求出解集. 【小问1详解】 由题可知，对于任意的，，函数满足：， 令，，则，可得． 令，，则，可得． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 令，，则， ，， 或， ∵函数在区间上单调递减，且，． ∴不等式可转化为． 由，可知：， 又∵函数为偶函数且在区间上单调递减，，解得． 所以不等式的解集为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期高一年级阶段学业诊断 数学试卷 （考试时间：下午2：30—4：30） 说明：本试卷为闭卷笔答，答题时间120分钟，满分150分. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知定义在上的函数，对任意实数，都满足：，且函数不恒为，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的单调递减区间为 C. 当时， D. 不等式的解集为 8. 已知，，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二.多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知指数函数的图象经过点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 是奇函数 C. 是上的增函数 D. 不等式的解集是 10. 已知函数的最小值为，则实数可能的取值是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，，，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是增函数 D. 三.填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知幂函数的图象过点，则________. 13. 已知关于的不等式的解集是，则________. 14. 我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数.根据以上信息，若函数，则________. 四.解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，，，. （1）求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 计算下列各式： （1）； （2）； （3）已知，，求的值. 17. 已知函数. （1）求证：为奇函数； （2）用定义证明：函数在上单调递增； （3）若，求实数的取值范围. 18. 某厂家生产一款商品，成本价为元/件，上年度销售价为元/件，销售量为件，本年度厂家为扩大该商品的市场占有率，计划将销售价下调至元/件至元/件之间（含元/件和元/件）.经市场调查，降价后本年度该商品的新增销量（单位：件）与销售价满足：. （1）将本年度厂家的利润表示为销售价的函数； （2）当销售价最低定为多少时，仍可保证厂家的利润比上年至少增长？ （3）当销售价定为多少时，本年度厂家的利润最大？ 19. 已知定义在上的函数满足下列条件：①对任意实数，都有：；在区间上单调递减；. （1）求，的值； （2）判断函数的奇偶性，并证明你的判断； （3）当时，解不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $