精品解析：陕西省西安高新第一中学2026～2027学年高一上学期期中考试数学试卷

2026—2027 学年第一学期期中考试 2029 届高一数学试题 考试时长：120 分钟　　满分：120 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共计 32 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合 ，，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知，则“是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若，，且，则的最小值是（    ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 4. 在 上定义运算 ．若不等式 对任意实数 成立，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 5. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④方程有且只有一个实根． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（ ） A. 3min B. 4min C. 5min D. 6min 8. 已知 ，其中 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 10. 下列说法中正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 函数满足，若，则实数 C. 与是同一个函数 D. 若函数 的定义域为，则函数 的定义域为 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 若，且，则 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则_____. 13. 已知，，化简：__________. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，，则满足不等式的的取值范围为_________ 四、解答题：本题共 5 小题，共 58 分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 18. 知函数的定义域是R，对任意实数x，y，均有，且时，． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）证明：在R上是增函数； （3）若，求不等式的解集． 19. 已知函数 （1）当时， 求不等式的解集； （2）若对任意，不等式 恒成立，求t的最大值； （3）对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数 是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026—2027 学年第一学期期中考试 2029 届高一数学试题 考试时长：120 分钟　　满分：120 分 一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 4 分，共计 32 分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上． 1. 已知集合 ，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义进行判断． 【详解】由，可得． 2. 已知，则“是“”的（    ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】取，满足，但，即“”不能推出“”； 所以“”不是“”的充分条件， 由，得，可得， 所以“”是“”的必要条件. 故“”是“”的必要不充分条件. 3. 若，，且，则的最小值是（    ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为，，且，即， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 4. 在 上定义运算 ．若不等式 对任意实数 成立，则实数 的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义可得不等式对任意实数恒成立，再根据根的判别式即可得出答案. 【详解】由题可得对任意实数恒成立， 即对任意实数恒成立， 所以，即，解得， 所以实数的取值范围为. 5. 已知函数，有如下四个结论： ①函数在其定义域内单调递减； ②函数的值域为； ③函数的图象是中心对称图形； ④方程有且只有一个实根． 其中所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的单调性、值域、对称性以及方程的根等知识确定正确答案. 【详解】的定义域为，， 所以在上递增，①错误. 由于， ， 所以的值域为. 由于， 所以是奇函数，图象关于原点对称，③正确. 由得 构造函数，在上单调递增， ， 所以在上存在唯一零点，也即方程有且只有一个实根，④正确. 所以正确结论的序号是③④. 故选：D 6. 已知函数满足对定义域内任意实数，都有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断函数为上的严格减函数，再分别保证两段函数在对应区间单调递减，且分段点处左段函数值不小于右段函数值，联立不等式求解即可. 【详解】由对任意恒成立，可知是上的严格单调递减函数，需满足三个条件： 当时，一次函数单调递减，故斜率，解得； 当时，二次函数开口向上，对称轴为， 要使其在上单调递减，需对称轴位于区间的右侧，即，解得； 在分段点处，左段函数在处的取值不小于右段函数在处的取值， 即，化简得，解得. 联立上述三个不等式取交集，得，即. 7. 把物体放在冷空气中冷却，如果物体原来的温度是℃，空气的温度是℃，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.现有85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃.若将64℃的物体放在20℃的空气中冷却，则物体温度降为31℃所需要的冷却时间为（ ） A. 3min B. 4min C. 5min D. 6min 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的函数模型，求出即得确定的公式，再代入目标数据求解. 【详解】由85℃的物体，放在15℃的空气中冷却，以后物体的温度降为50℃， 得，解得， 当，，时，需要的冷却时间为， 则，解得，因此，解得， 所以物体温度降为31℃所需要的冷却时间为6min. 故选：D 8. 已知 ，其中 ，则不等式 的解集为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据函数的定义，先确定的分段表达式，再逐段求解不等式，最终合并各段解集得到结果. 【详解】当时，，，则. 所以等价于，解得，又，所以； 当时，，故，所以， 所以等价于，解得； 当时，，故，所以. 所以等价于，解得，又，故； 综上，的解集为. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】通过不等式的性质判断A、C选项的正误；通过取特殊值的方法验证B、D选项的正误. 【详解】对于A选项，已知且，则不等式两边同除可得：，即得：，故A选项正确； 对于B选项，取，，，，满足条件，，但，，不满足条件，故B选项错误； 对于C选项，已知，则，又，则有，故C选项正确； 对于D选项，已知，则取，，，得：，，由于不满足条件，故D选项错误. 10. 下列说法中正确的是（　　） A. 的最小值为 B. 函数满足，若，则实数 C. 与是同一个函数 D. 若函数 的定义域为，则函数 的定义域为 【答案】BD 【解析】 【分析】结合基本不等式，即可判断选项A；根据函数的对应法则，以及函数值的运算法则，即可判断选项B；根据同一函数的判定方法，即可判断选项C；根据抽象函数定义的计算方法，即可判断选项D． 【详解】对于A，当时，可得，当且仅当，即时取等号； 当时，可得，当且仅当，即时取等号， 所以函数的值域为，即没有最小值，故A错误； 对于B，由函数满足， 令，解得，则，即， 若，可得，故B正确； 对于C，要使函数有意义，则需满足，解得或， 要使函数有意义，则需满足，解得， 所以函数和的定义域不同，即它们不是同一个函数，故C错误； 对于D，由函数的定义域为，即，可得，故函数的定义域为， 又，得，所以函数的定义域为，故D正确． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 是偶函数 B. 在上单调递增 C. 的值域为 D. 若，且，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由奇偶性定义进行分析即可求解判断A；通过换元法转换函数并结合复合函数的单调性即可求解判断B；结合选项B由对勾函数单调性即可求解判断C；利用函数的偶函数性质结合基本不等式即可求解判断D. 【详解】由题函数，定义域为R关于原点对称， 又， 所以是偶函数，故A正确； 当时，函数为增函数，且， 又函数为上的增函数， 所以函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，故B正确； 因为，当且仅当即时等号成立， 所以，即的值域为，故C错误； 因为函数是偶函数，且函数在上单调递增， 所以若，且， 则且， 所以，当且仅当即时等号成立.故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 4 分，共计 12 分． 12. 已知幂函数的图象关于轴对称，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】因为函数是幂函数得出参数值或，再结合偶函数得出，最后代入得出函数值. 【详解】函数是幂函数， 所以，所以或， 又因为图象关于轴对称， 当时，的定义域是不是偶函数，不合题意舍； 当时，的是偶函数，符合题意； 所以 则. 故答案为：. 13. 已知，，化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据根式与分数指数幂的互化、指数运算的性质直接求解即可. 【详解】， . 故答案为：. 14. 已知函数是定义在上的偶函数，若，且，，则满足不等式的的取值范围为_________ 【答案】 【解析】 【分析】构造新的函数，利用新函数的单调性进行求解. 【详解】令，定义域为，且，所以是奇函数， 由题可得，所以在单调递减，结合奇函数的性质可知在上单调递减. 当时，，即：， 又因为在上单调递减，所以，解得：； 当时，，即：， 又因为在上单调递减，所以，解得：； 综上所述，的取值范围为. 四、解答题：本题共 5 小题，共 58 分．解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合，集合． （1）求 （2）若命题“，都有”是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件得，再利用集合间的关系，分和两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由，即，解得， 则，所以或，又， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，又，都有”是真命题， 则，又， 当，即时，，满足题意， 当，即时，则，解得，所以， 综上，实数的取值范围为. 16. 已知关于的不等式的解集为． （1）求实数，的值； （2）若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 【解析】 【分析】（1）由题意知，和3是方程的两根，且，再利用韦达定理即可得解； （2）转化问题为对任意的恒成立，进而求解即可； （3）先因式分解，再讨论的范围，结合一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 由题意知，和是方程的两根，且， 所以解得. 【小问2详解】 因为，所以不等式对任意的恒成立， 可化为，即对任意的恒成立， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问3详解】 因为，所以不等式可化为， 即． 当时，不等式可化为，解得， 则不等式的解集为. 当时，不等式可化为， 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为； 若，即时，则不等式的解集为． 当时，不等式可化为， 而，则不等式的解集为或. 综上所述，当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，所求不等式的解集为； 当时，不等式的解集为或. 17. 济南市地铁项目正在如火如荼的进行中，通车后将给市民出行带来便利，已知某条线路通车后，列车的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为500人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人，记列车载客量为. （1）求的表达式，并求当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量； （2）若该线路每分钟的净收益为（元），问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值. 【答案】（1）； （2）发车时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 【解析】 【分析】（1）由题设，有且，求k值，进而写出其分段函数的形式即可. （2）由（1）写出解析式，讨论、求最大值即可. 【小问1详解】 由题设，当时，令， 又发车时间间隔为2分钟时的载客量为372人， ∴，解得. ∴， 故时，， 所以当发车时间间隔为5分钟时，列车的载客量为人. 【小问2详解】 由（1）知：， ∵时，当且仅当等号成立， ∴上， 而上，单调递减，则， 综上，时间间隔为4分钟时，每分钟的净收益最大为132元. 18. 知函数的定义域是R，对任意实数x，y，均有，且时，． （1）判断的奇偶性，并证明； （2）证明：在R上是增函数； （3）若，求不等式的解集． 【答案】（1）是奇函数，证明见解析；（2）证明见解析；（3）. 【解析】 【分析】（1）令先计算出的值，再令即可得到的关系，从而奇偶性可证明； （2）任取且，将改写成，再利用条件进行变形分析则单调性可证明； （3）先根据条件将转化为的形式（为常数），然后根据单调性得到满足的不等式，从而不等式解集可求. 【详解】（1）是奇函数，证明如下： 令，所以，所以， 令，所以， 所以且定义域为关于原点对称， 所以是奇函数； （2）任取且，则有，所以， 又因为时，，所以，所以， 所以在R上是增函数； （3）因为，所以，所以， 又因为，所以， 又因为且是R上的增函数， 所以，所以解得， 所以解集为. 【点睛】本题考查抽象函数的综合应用，其中涉及到抽象函数的奇偶性、单调性证明以及根据奇偶性和单调性求解参数范围，难度较难.（1）抽象函数奇偶性的证明主要是通过“令值”的方式去证明的；（2）通过函数的单调性可以将函数值的关系转变为自变量之间的关系. 19. 已知函数 （1）当时， 求不等式的解集； （2）若对任意，不等式 恒成立，求t的最大值； （3）对于函数，若为某一三角形的三边长，则称为“可构造三角形函数”，已知函数 是“可构造三角形函数”，求实数t的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将代入，利用指数函数的性质即可求解. （2）分离参数可得，求出的最小值即可求解. （3），利用指数函数的性质求出函数的值域即可求解. 【小问1详解】 当时，. 因为，等价于，所以. 所以原不等式的解集为. 【小问2详解】 由题意，， 化简可得，， 因为，所以， 设，， 令， 所以在时恒成立. ， 在上是减函数，， 所以，即的最大值为. 【小问3详解】 . 因为为某一三角形的三边长，所以函数的值域必须包含于， 即值域的下确界大于0， 当时，函数的值域为，可得； 当时，函数的值域下确界为1，恒大于0，因此必须有 ①当时，在上是增函数，值域为， 因为任取三个值可做三角形的边长， 所以，，又因为，所以. ②当时，，显然是可构造三角形函数. ③当时，在上是减函数，值域为， 因为任取三个值可做三角形的边长，所以，即. 综上可知，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $