江西省区域名校联考2026-2027学年高二上学期期中阶段性素养训练数学（B1）试题

高二区域名校期中阶段性素养训练 数 学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.椭圆后+号-1的上顶点的坐标为 中 A.(0,11) B.(0,-11) C.(0,√7) D.(0,-√7) 的 2.若抛物线C:y2=6x上的点P(m,n)到其焦点的距离为4，则m= 弥 A.3 b.2 C.2 0.2 3.已知曲线C:m 3y2 2-m =1是双曲线，则m的取值范围为 A.(0,1) B.(0,2) C.(-o∞，0)U(1,+∞) D.(-∞，0)U(2,+∞) 4某青花瓷盘如图所示，它的外轮廓是一个离心率为2的椭圆，且该青 花瓷盘的短径（椭圆的短轴长）为12dm,则该青花瓷盘的长径（椭圆 封 的长轴长)约为 A.13 dm B.14 dm C.15 dm D.16 dm 5.若双曲线x2一3y2+12=0上一点P到它的一个焦点的距离为5，则P到另一个焦点的距 离为 A.9 B.9或1 C.10 D.10或3 6.一条光线从点P(一3,1)射出，经过x轴反射之后，射到圆M:(x一1)2+(y一2)2=1上的点 线 Q,则该光线从点P到点Q所经过的路程的最小值为 A.6 B.5 C.4 D.3 y2 剂 7.已知E1,F,分别是双曲线C:,23 =1(a>0,b>0)的左、右焦点，B1(0,一b),第一象限内 的点P在C上，且PF2⊥F1F2,PF1∥B1F2,则C的离心率为 A.√3 B.2 C.5 D.√6 8.x2十1十√x十(x-1)2的最小值为 A.17+3 B7+1 C.17+3 D17+1 4 4 2 2 【高二数学第1页（共4页）】 ·B1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知圆C:x2+y2+2√3x-4y+1=0,则 A.圆C的半径为√6 B.圆C的半径为6 C.圆C的圆心坐标为（一√3,2） D.圆C的圆心坐标为（√3，一2） 10.已知双曲线0：x2一义=1的左、右顶点分别为A,B,且D为0的虚轴的一个端点，则 7n2 A.2的虚轴长为2√m B2的渐近线方程为y=士√m m C.AD·BD-m为定值 D.当2的离心率大于3时，AD·BD>7 11.已知FF2分别为椭圆M:三十火 62 =1(a>b>0)的左、右焦点，若M上的点P不在x轴 ，时则M的离心率可能为 上，且 A.5-2 B.√6-2 C.√7-2 D.22-2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.抛物线C:y=一7x2的准线方程为 ▲ 3.已知P为椭圆C:乙+1(a>b>0)上一点，F,F2分别为C的左、右焦点，A14A,分别 为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若|PF,|=3PF2|,A1A2·A1B=18,则|PF|一 |PF2的值为▲ 14.已知P,Q为圆C:x2+y2=4上的两点，点A(2,0),且|AP|2+2AQ2=8,则|PQ|的最 大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)》 已知△ABC的三个顶点分别是A(1,0),B(2,一√3)，C(4,3√3)，且直线1/∥AB. (1)求直线AB的倾斜角； (2)求过点C的直线L的斜截式方程； (3)求BC边上的中线所在直线的一般式方程 【高二数学第2页（共4页）】 ·B1 16.(15分) 已知两个定点A(0,√5)，B(0,一√5)，动点P满足直线PA和直线PB的斜率的乘积为 5 4 (1)求点P的轨迹方程，并指出该轨迹是什么曲线； (2)记P的轨迹为曲线C,若直线y=x十1与C交于E,F两点，求EF. 17.(15分) 如图，正方形ABCD与OEFG的边长分别为a,b,点A,B,E均在x轴上，点G在y轴上 坐标原点O为AB的中点，抛物线2：y2=2x(p>0)经过点C,F. (1)证明：a十b=3p. (2)在2上是否存在两点P,Q关于直线CF:y=2x一8对称？若存在，求出直线PQ的方 程；若不存在，请说明理由。 G 【高二数学第3页（共4页）】 ·B1 18.(17分) 已知圆M的圆心M在直线y=号上，且圆M经过C(2,2),D(2,-)两点 (1)求圆M的标准方程 (2)已知直线l:tx十(t十1)y-4t=0. ①证明：l与圆M相交 ②若I与圆M交于A,B两点，点P(6,0),直线PA,PB分别与直线x=一2交于不重 合的点E,F,且点E,F的纵坐标分别为y3,y4,求y3十y4的取值范围. 弥 19.(17分) y2 包知等轴双曲线Ca>0,6>0)的焦距为2② 封 (1)求C的方程 (2)已知O为坐标原点，A是C上的一个动点，过A作互相垂直的两条直线l1,L2 ①若11垂直于C的一条渐近线，垂足为P,l2与C的另一条渐近线的交点为Q,求四边 形OPAQ周长的最小值； ②若A位于第一象限，l1,l2分别与C交于与A均不重合的M,N两点，且直线OA, MN的倾斜角分别为a与B,求a与B的关系式. 线 ▣阁▣ 【高二数学第4页（共4页）】 ·B1·高二区域名校期中阶段性素养训练 数学参考答案 1.c 稀圆号后+号-1的上顶点的坐标为0,7)。 2.B由题意得C的准线方程为x=一号所以a十2-4，得m=》 2 3.D由题意得m(2-m)<0,得m<0或m>2. 4.B设该椭圆的长轴长为2a,短轴长为2b,焦距为2c,则2b=12, 得2a=8√3≈14，所以 b2+c2=a2, 该青花瓷盘的长径约为14dm. x2 :A由之一3y+12=0,得21.设F1,F,分别是该双曲线的上、下焦点，根据双曲线 的对称性，不妨设|PF2=5,由|PF1|一|PF21I=2XW4,得|PF1|=9或1.因为PF1|≥ 2,所以|PF1=9. 6.C如图，设该光线与x轴交于点A.由题意得P关于x轴对称的点为P1(一3，一1)，易得 PA|=|P1A,|PM=5,所以该光线所经过的路程为|PA|+|AQ=|P1A|+|AQ|= P1Q≥P:M一1=4.故该光线所经过的路程的最小值为4. 7.C如图，设|F1F2|=2c.由PF1∥B1F2,得∠PF1F2= B0,则am∠PEEP=aB,FO-B,O OF2 62 易得1PF,-则-得 b2. a 故C的离心率为，1+（名）°-5。 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 ·B1· 8.A设y=x2,则x2+1+√x十(x-1)7=y+1+ √(x-1)2+y2,该式可以看作抛物线x2=y上一点P(x,y)到 直线y=一1的距离与到点(1,0)的距离之和.如图，x2=y的焦 - 点为F(0,}),A(1,0).设P到准线y=一号的距离为d,则 V-- 1+1+V+z-I=d++PA1=PF+|PA1+ 当P,FA三点关钱时，PF+PA取得最小值，且最小值为AF=,所以2十 十√+(x-1)严的最小值为17+3 4 9.AC由x2+y2+2√3x-4y+1=0,得(x+√5)2+(y-2)2=6,所以圆C的半径为√6， 圆心的坐标为（一√3,2）. 10.ACD因为a2=1,b2=m>0,c2=a2+b2,所以a=1,b=√m,c=√m+1,所以2的虚轴 长为2√m,渐近线方程为y=±x,即y=士Vmx,A正确，B错误. 依题意可得A(-1,0),B(1,0),不妨设D在y轴的正半轴上，则D(0,√m),所以AD= (1,√m),BD=(-1,√m),则AD·BD=m-1,所以AD.BD-m=-1,C正确. 当0的离心率大于3时，=√+m>3,解得m>8,所以A方·BD>7,D正确。 11.BCD设M的焦距为2c,离心率为e,|PF1|=m,|PF2|=n.在△PF1F2中，由正弦定理 得i<PEE-IPp,IPFl sin/PF,RPFF,,得m2=2m.由m十n=2a,得m2=2x(2a-m）,得m 十2cm-4ac=0,得m=√c2+4ac-c(负根舍去).因为a-c<m=√c2+4ac-c<a十c, 所以 [a<+4ac, 1c2-a2+4ac>0, 得 得e2+4e-1>0,解得e>√5-2（负根 W√c2+4ac<a+2c, a2+3c20, 舍去) 12.y=28 因为C的标准方程为x2=-7y,所以C的准线方程为y=28 13.3因为A店在A1A:上的投影向量为2A1A,所以A1A。·A1古=2a·a=18,解得a= &义PF,I=31PF:,PF,+PF,=2a=6,所以1PF,=号，PF=2故1PF,- |PF2=3. 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 ·B1· 14.√10设P(x1,y1),Q(x2,y2).由x+y=4,得|AP|2=(x1-2)2+y1=x+y-4x1+ 4=8-4x1,同理可得|AQ12=8-4x2,则|AP|2+2|AQ12=8-4x1十2(8-4x2)=8,得x1 +2x2=4.因为(x1十2x2)2+(y1+2y2)2=x+y7+4(x号十y)十4(x1x2十y1y2)=20十 4(x1x2十y1y2)≥16，所以x1x2十y1y2≥-1，所以|PQ|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=x+ y1+x2+y2-2(x1x2十y1y2)=8-2(x1x2+y1y2)≤10，当且仅当y1+2y2=0时，等号成 7 立，此时 1二4二2”得（4-2，)十4=4，解得=子山=均满足题意放PQ y1=-2y2, 的最大值为√10. 15.解：(1)因为kAB= -3-0=-3, 2-1 …2分 所以直线AB的倾斜角为3： 2π …4分 (2)由(1)知，过点C的直线1的点斜式方程为y一3√3=一√3(x一4)，…6分 整理得所求的斜截式方程为y=一√x+7√. 8分 (3)因为线段C的中点为N(2生，5士3） 2 ,即N(3,W3),…10分 所以BC边上的中线所在直线的方程为y一0=S-0( 3-1(x-1), 即√3x一2y一√3=0，故所求的一般式方程为√3x一2y一√3=0.…13分 16.解：1)设P(x,),由题意得pMp=y-5.y十5-5 4 x≠0)，…2分 化简得5x2+4y2=20(x≠0)，所以点P的轨迹方程为+1(x≠0).…4分 该轨迹是长轴长为2√5，短轴长为4，焦点在y轴上，除去A,B两点的椭圆.…6分 y2,x2 =1, (2)设E(x1,y1),F(x2,y2).由 5T4 得9x2+8x-16=0,…9分 y=x+1, △=64-4×9×(-16)=640>0， 则1十x2= 8 9 …11分 122=-16 9 所以1EF=vFv,1-区X√+4X5-16g5 -9 …15分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 ·B1· 17.(1)证明：易知C(2a,-a）,F(b,b).… …2分 因为n经过点C,F,所以由(-a)2=2pX2a,b2=2b, …4分 得a=力，b=2p.故a十b=3p.…6分 (2)解：由(1)得C(2p,一p),则一力=2X2力一8，得p=4,所以2的方程为y2=8x.… …8分 假设在2上存在P(x1,y1),Q(x2,y2)关于直线CF对称，则y=8x1,y=8x2,阳 y1一y2_-1_1 x1一x2kcp2 …10分 设PQ的中点为M(xoyo),两式相减得y-y=(y1一y2)(y1十y2)=8(x1一x2),… …11分 得二(y1十y)=-号 C1-x2 X2y0=8,得y0=-8.…12 因为M在直线CF上，所以2x0一8=一8，得xo=0.…13分 因为不存在以M(0,一8)为中点的弦PQ,所以假设不成立，在2上不存在两点关于直线 CF对称。…15分 18.(1)解：由题意得线段CD的中点为(2，一1)，则线段CD的中垂线方程为y=一1.·1分 1 y= 由 得x=2,则圆M的圆心坐标为(2，-1)，半径为2-（一1)=3，.2分 y=-1, 所以圆M的标准方程为(x一2)2十(y十1)2=9.…3分 x十y一4=0， (2)①证明：由tx+(t+1)y-4t=0,得(x+y-4)t+y=0,令 得x=4,… y=0, 5分 所以L经过定点(4,0).… 6分 因为(4一2)2十(0十1)2<9，所以点(4,0)在圆M内，所以1与圆M相交.…8分 t ②解：当1的斜率存在时，t≠一1，由x+(+Dy-4,=0,得y=,7x十， =1十，1，所以L的斜率不为1… 当l的斜率为0时，点E与点F重合，不符合题意.…10分 当l的斜率不为0时，设点A(x1,y1),B(x2,y2),l:x=my+4,m≠一1. |x=my+4, 由 得(m2+1)y2+(4m+2)y-4=0,…11分 (x-2)2+(y+1)2=9, 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 ·B1· 4 得y1十y2=一 4m+2 m2+1,y1y2= m2+1 …12分 由swB(-2得-公26产6得为 8y1 8y1 8y1 x1-6 my1+4-6=my1-2 …13分 同理可得y4= 8y2 ny2-2' 8y1+ 则+国y2,822=84y2》十2y-2》 (my1-2)(my2-2) 4 4m+2 m2+1 ·2m+2· =8 2my1y2-2(y1+y2) =8 m2+1 8 m2y1y2-2m(y1+y2)+4 4m2 m2+1+2m 4m十2十4 2m2+m+ m2+1 15分 8 2+'+ 因为2(m+)》+名8，所以0< 8 64 ++ ≤7，…16分 647 又m≠-1，且m可取2，所以y十y的取值范围为0,7]： …17分 【注】 【1】第(1)问还可以这样证明： 1 b=- 2a, 设M:(x-a)2+(y-b)2=R2.由题意得 (2-a)2+(2-b)2=R2, …1分 (2-a)2+(-4-b)2=R2, a=2, 得b=-1, ………2分 R2=9, 所以圆M的标准方程为(x一2)2+(y+1)2=9. 3分 【2】第(2)①问还可以这样证明： 圆心M到1的距离d=12t一(+1)-4=3影+1 ，…4分 W2+(t+1)2 √2t2+2t+1 d-3=13+1-3V20+2五因为(3+1)-9(22+22+1D=-9p2-12-8=-9(2 W√2t2+2t+1 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 ·B1· 十号2-4长0，… 6分 所以(3t+1)2<9(2t2+2t+1),得|3t+1<3√2t2+2t+1,…7分 所以d-3=13+1-3V2+2市<0，得d<3.枚L与圆M相交.…8分 W2t2+2t+1 a2+b2=c2, 19.解：(1)设C的焦距为2c,由题意得a=b, …1分 2c=22, a=b=1, 得 2分 c=√2. 故C的方程为x2一y2=1.… …3分 (2)①由(1)得C的渐近线方程为y=士x,所以OP⊥OQ,四边形OPAQ为矩形.·4分 不妨假设L1垂直于直线y=x,则l2垂直于直线y=一x,设A(xo,yo),则|AP|= AQyo …5分 √2 √2 因为x号-8=1，所以1AP11AQ1=z6,8_ 2 2 …6分 所以四边形OPAQ的周长为2(|AP|+|AQ)≥2X2√IAPIART=2√2，…7分 当组仅当AP1=AQ-号时，等号成立，故四边形0PAQ周长的最小值为2反.“8分 ②由题意得A(xoy),x>1,y>0,x日-y6=1,tana= i设Mx1n),N(z),直线MN:x=my+.由z-y=1, |x=my十t, (m2-1)y2+2mty+t2 -1=0,… 9分 m2-1≠0， △=4(m2+t2-1)>0, 得y1+y2= -2mt 10分 m2-1' t2-1 yy2-m2-了 1x=m2yy2+mtGy十y2)+=二m2- m2-1y 由x1=my1十t,x2=my2十t,得 …11分 21十x,=m0y1+y2)+2=22 m2-1 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 ·B1- 因为AM⊥AN,所以AM·AN=(x1-xo)(x2-x)十(y1-y)(y2-yo)=0,·12分 得x(x十十+2十)十明=-动之号+ 号十-0 得m2(x6十y-1)+2t(x0十my0)-x6-y-1=0.…13分 由x6-y=1,得x8=y+1,-y=-x6+1,得m2(x6+y-1)十2t(x0十my)-x6-y -1=2m2y6+2t(xo十myo)-2x6=0, 得m2y-x6十t(x0十myo)=(myo十xo)(my0-x0十t)=0.…14分 若myo一xo十t=0,则xo=myo十t,A在直线MN上，不符合题意，所以my0十xo=0,得 tan B=1=-yo …15分 m xo aa+)-"m2号0，由e∈03c00得a9c0,2.得a+9元 ……16分 由>1>0对-i-1,得m-1--1->0,d=40m2+-》 y8y 4(十）>0.故a十月=元…17分 只只 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】 ·B1