重庆凤鸣山中学教共体2026-2027学年八年级上学期半期考试数学

重庆市凤鸣山中学教共体2026—2027学年度上期 初2025级数学学科半期考试试题 考试说明: 1.考试时间: 120 分钟；2.试题总分 150 分；3.试卷页数：共6页 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A． B． C． D． 2．若的立方根是3，则的值是（     ） A．27 B．27 C．9 D． 3．如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是（     ） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．，， D．5，11，12 4．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 5．若，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 6．下列各式中能用平方差公式计算的是（     ） A． B． C． D． 7.如图，是的角平分线，于点E，，，，则的长是（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 第7题图 8．已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 9．如图，等腰三角形的底边的长为4，面积为12，腰的垂直平分线分别交于点E，F，若D为底边的中点，M为线段上一动点，则的周长的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 第9题图 10．已知正整数a，b，c，d满足，且，关于这个四元方程下列说法正确的个数是（      ） ①，，，是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若，则该四元方程有21组解； ④若，则该四元方程有505组解． A．1 B．2 C．3 D．4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解：______． 12.的平方根是___________． 13．如图，数轴上点A所表示的数是_________________． 第13题图 ( 第 1 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 14．如果关于字母x的多项式的值与x的值无关，则mn=______． 15.如图，在直角中，，的角平分线、相交于点，过点作交的延长线于点，交于点，HP=5，FP=12,BD=7,则AB=______． 第15题图 16．对于一个四位数（各数位数字互不相等且均不为0），若其百位数字与个位数字之和为7，即，且千位数字与十位数字之和为11，即，则称为“星光数”．将的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数．定义．例如：四位数，∵，，且各数位数字互异非零，∴是“星光数”，，． 则________；若为整数，则的最大值和最小值之和为________． 三、解答题（本题共8小题，第17、18题每小题8分，第19-25每小题10分，共86分） 17．计算：(1)； (2)（简便运算）． 18． 计算：（1）． （2）． 19．先化简，再求值：，其中x，y的值满足 。 20．我们已经知道了等腰三角形具有“三线合一”的重要性质，其中，等腰三角形顶角的角平分线与底边上的中线是重合的．右右对这个问题进行了拓展性研究，他发现这个性质反过来也成立，请根据他的思路，完善以下作图和填空： (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作的角平分线交于点，在的延l长线 ( 第 3 页 共 9 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 上截取，连接．（不要求写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）中所作图形中，若点为的中点，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：∵点为的中点 ∴ ∴在与中 ∴（SAS） ∴②__________， ∵平分 ∴③_______， ∴④________， ∴ ∴ 21.项目学习 项目背景：为响应重庆市“全民健身”号召，解决居民“健身去哪儿”的难题，某街道对使用多年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板．篮球场平面图为四边形，已知运动型塑胶地板每平方米160元．四班综合实践小组的同学围绕“场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 活动过程 方案说明 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地面积，计算地板费用 数据测量 如图， 请根据小组同学测量数据解决问题：本次老旧篮球场进行升级改造，场地面积及费用是多少？ 22． 凤中为丰富课后服务劳动课程，计划在文具店采购劳动收纳筐和园艺小铲子。已知2 个劳动收纳筐和3把园艺小铲子共需190元，3个劳动收纳筐和6把园艺小铲子共需330元。(1)求每个劳动收纳筐和每把园艺小铲子的费用各是多少元？ (2)为吸引顾客，该文具店推出了如下优惠方案：一律按9折结算。学校计划购买劳动收纳筐和园艺小铲子共30件，其中劳动收纳筐不少于10件，总费用不超过1026元，请通过计算帮学校策划最省钱的购买方案。 23．如图，在四边形中，平分，过作于点，交延长线于点，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 24．阅读材料并回答下列问题： 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．换元法：是指引入一个或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟悉的问题，其理论依据是等量代换．对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整体，用新的字母代替(即整体换元)，可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足，求的值． 解：设，，则， ∴ ，  ∴ 问题：(1)若x满足， 求的值； (2) 如图，在长方形中 ，，， 点 E，F 分别是边，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和正方形，若长方形的面积为60，求图中两个正方形的面积之和． 25．综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在中，，． （1）如图1，为斜边上的一点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接．猜想，，之间的数量关系，并说明理由． （2）如图2，和是大小不同的等腰直角三角形，且．将绕着点逆时针旋转一定的角度，当，且点，点和的中点三点共线时，探究线段，和的数量关系． （3）如图3，在四边形中，，是对角线，若，，，，，直接写出的长． $重庆市凤鸣山中学教共体2026一2027学年度上期 初2025级数学学科半期考试参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10 答案DB B D B DA BC 11.x+5(x-5列 12.213.5-114.315.2016.297 1188 17.(1)解：原式-3-4×1+4..3分 =3.…4分 (2)解：原式=20252-(2025-1)×(2025+1)…2分 =20252-20252+13分 =， …4分 18.(1)解：原式=x8-4x3+x83分 =-2x8.…4分 (2)解：原式=6x2-10x-(8x2-10x-3)…2分 =6x2-10X-8X2+10X+334分 =-2X2+3…4分 19.解：(x-2y-4(0y+10-1）-0-4x) =x2-4xy+4y2-4(y2-1-y+4xy =x2-4xy+4y2-4y2+4-y+4xy =x2-y+4 5分 .(x+22+y-1=0 由平方及二次根式的非负性得 x+2=0y-1=0 解得x=-2,y=1。 …7分 答案第1页（共2页） 将x=-2,y=1代入行原式-(2-1+4=7.…10分 20.(1)如图所示： ①BD=DF②AF=BC③∠CBD=∠ABD④∠ABD=∠AFB (2) 21.解：如图，连接AC. D B :∠B=90°，AB=9m,BC=12m :AC=VAB2+BC2=V92+122=15m 3分 CD=8m.AD =17m .CD2+AC2=82+152=289=17=AD2 AACD是直角三角形，且∠ACD=90°，… .6分 AB-BC=)x9x12=54m2,Sm= 4C.CD=x15x8=60m2 2 2 2 六四边形ABCD 的面积 SMBc+S4cp=54+60=114m2 8分 .购买运动型塑胶地板的费用为114×160=18240元.…10分 22.(1)解：设每个劳动收纳筐x元，每把园艺小铲子y元.…1分 根据问题中的相等关系，列得方程组 2x+3y=190 3x+6y=330' 3分 x=50 解得 y=30 4分 答：每个劳动收纳筐50元，每把园艺小铲子30元；5分 答案第2页（共2页） (3)解：设购买劳动收纳筐a件，则购买园艺小铲子(30-a)件， 10≤a<30,a为整数， 依题意，总费用为50a+30(30-Q×0.9≤1026，…7分 解得a≤12， .10≤a<30且a为整数， ∴.10≤a≤12， …8分 ∴.a=10或11或12. 有3种购买方案： 方案1：劳动收纳筐10件，园艺小铲子20件， 总费用为0.9×(50×10+30×20)=990（元） 方案21：劳动收纳筐11件，园艺小铲子19件， 总费用为0.9×(50×11+30×19)=1008（元） 方案1：劳动收纳筐12件，园艺小铲子18件， 总费用为0.9×(50×12+30×18)=1026（元） .最省钱的方案是：劳动收纳筐10件，园艺小铲子20件.…10分 23.(I)证明：AC平分∠BAD,CE⊥AD,CF⊥AB, .CE=CF,∠CED=∠CFB=90°.1分 :∠CBF+∠ABC=180°，且已知∠D+∠ABC=180° ∠CBF=∠D.2分 ∠CED=∠CFB ∠CBF=∠D 在 和 中， △CDE'△CBF CE=CF △CDE≌ACBF(AAS) BC=CD.… 5分 (2)解：AC平分∠BAD,CE⊥AD,CF⊥AB」 ∴.CE=CF,∠CAE=∠CAF [∠AEC=∠AFC=90° ∠CAE=∠CAF 在。和。中， △ACE'△ACF CE=CF 答案第3页（共2页） ,△ACE≌AACF(AAS) …7分 ∴.AE=AF 由(I)知，aCDE≌aCBF, ∴.DE=BF. .AE=AD-DE,AF=AB+BF, ∴.AD-BF=AB+BF,即AB=AD-2BF, ,AD=12,BF=2, .AB=12-2×2=8 …10分 24.(1)解：设2024-x=a,x-2023=b, .a+b=1,a2+b2=2025, .(2024-x(x-2023)=ab -i[(a+bY-(+)] -30-202s) =-1012… .5分 (2)解：由题意可得：DE=BF=x,AB=14,BC=10, AF=14-x,AE=10-x, .AF-AE=4, :长方形AFGE的面积为60， .AF.AE=(14-x)(10-x)=60 AF2+AE2=(AF-AE)+2AE.AF =42+2×60 =136:… ..10分 25.解(1)△ABD2△ACE,∠DAE=90°推出AD=AE,BD=CE,AD2+AE2=DE2=2AD2,得 BD2+CD2=2AD2. …4分 (2)如图1，过点C作CM∥BD, 答案第4页（共2页） M B D 图1 则∠DBO=∠MCO, O为BC的中点， ..OB=OC. 在△BDO和△CMO中， ∠DBO=∠MCO. OB=OC, ∠BOD=∠COM, △BDO≌ACMO(ASA) ∴.CM=BD,OM=OD AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90」 .∠BAD=∠CAE ∴.△ABD≌△ACE, ∴.∠AEC=∠ADB=90° ·∠DAE=∠ADB=90°， BD∥AE. .∴CM∥AE, ∴.∠ECM=90° ,∠CEM=∠AED=45°， .∠CME=45°， ∴.CE=CM, ME=2CM 由勾股定理 OE=OM+ME=OD+CM=OD+2BD 8分 (3)如图2.将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接DE. 答案第5页（共2页） B 图2 .∠BAC=60°，AB=AC, .△ABC是等边三角形. 由旋转的性质 DC=EC∠DCE=∠ACB=60°BD=AE=5 则△DCE为等边三角形， .CD=DE=CE」 ∠ADC=30°， .∠ADE=90°， .AD2+DE2=AE2, .42+DE2=52, .DE=3, .CD=3 .10分 答案第6页（共2页）重庆市凤鸣山中学教共体2026一2027学年度上期 初2025级数学学科半期考试参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 0 B A B 0 A B 11.（x+5)(x-5) 12.±√2 13.V5-114.-315.2016.297 1188 17.(1)解：原式=3-4×1+4.3分 =3. 4分 (2)解：原式=20252-(2025-1)×(2025+1).2分 =20252-20252+1...........3分 =1.4分 18.(1)解：原式=x8-4x8+x8..3分 =-2x8. ..4分 (2)解：原式=6x2-10x-(8x2-10x-3).2分 =6x2-10x-8x2+10x+3.… .3分 =-2x2+3... ...4分 19.解：(x-2y)2-4(y+10(y-)y1-4x) =x2-4xy+4y2-4y2-1）-y+4xy =x2-4y+4y2-4y2+4-y+4xy =x2-y+4;5分 .(x+2)2+√y-1=0 由平方及二次根式的非负性得 x+2=0,y-1=0 解得x=-2,y=1.. ….7分 将x=-2,y=1代入得原式=(-2)-1+4=7..10分 20.(1)如图所示： 答案第1页（共6页） (2)①BD=DF;②AF=BC:③∠CBD=∠ABD;④∠ABD=∠AFB 21.解：如图，连接AC. D :∠B=90°，AB=9m,BC=12m, B :.AC=VAB2+BC2=V92+122=15m. 3分 CD=8m,AD=17m, .CD2+AC2=82+152=289=17=AD2, .:△ACD是直角三角形，且∠ACD=90°， … .6分 8e-号4Bac-9g12=54nm,5m号4cn-×15x8=60m2, 一.四边形ABCD的面积为Sc+S。ACD=54+60=114m2, .8分 ∴.购买运动型塑胶地板的费用为114×160=18240元.. ..10分 22.（1)解：设每个劳动收纳筐x元，每把园艺小铲子y元。.1分 根据问题中的相等关系，列得方程组 2x+3y=190 3x+6y=330' 。。。。。。。。。。 3分 解狗(0 ..4分 答：每个劳动收纳筐50元，每把园艺小铲子30元： ..5分 (3)解：设购买劳动收纳筐α件，则购买园艺小铲子(30-a)件， 10≤a<30,a为整数， 依题意，总费用为[50a+30(30-Q]×0.9≤1026，....7分 解得a≤12， ,10≤a<30且a为整数， .10≤a≤12， 8分 ∴.a=10或11或12. 答案第2页（共6页） 有3种购买方案： 方案1：劳动收纳筐10件，园艺小铲子20件， 总费用为0.9×(50×10+30×20)=990（元） 方案21：劳动收纳筐11件，园艺小铲子19件， 总费用为0.9×(50×11+30×19)=1008（元） 方案1：劳动收纳筐12件，园艺小铲子18件， 总费用为0.9×(50×12+30×18)=1026（元） ∴.最省钱的方案是：劳动收纳筐10件，园艺小铲子20件. 10分 23.(I)证明：AC平分∠BAD,CE⊥AD,CF⊥AB, CE=CF,∠CED=∠CFB=90°... .1分 ,∠CBF+∠ABC=180°，且已知∠D+∠ABC=180°， .∠CBF=∠D.. 2分 「∠CED=∠CFB 在△CDE和△CBF中， ∠CBF=∠D, CE=CF .△CDE≌aCBF(AAS), .BC=CD.… ..5分 (2)解：，AC平分∠BAD,CE⊥AD,CF⊥AB, ∴.CE=CF,∠CAE=∠CAF. [∠AEC=∠AFC=90° 在△ACE和△ACF中， ∠CAE=∠CAF CE=CF ∴.△ACE≌△ACF(AAS), .7分 .AE AF. 由(1)知，ACDE2ACBF, ∴.DE=BF. .AE=AD-DE,AF=4B+BF, ∴.AD-BF=AB+BF,即AB=AD-2BF, AD=12,BF=2, ∴.AB=12-2×2=8. .10分 24.（1)解：设2024-x=a,x-2023=b, ∴.a+b=1,a2+b2=2025, 答案第3页（共6页） ∴.(2024-x)(x-2023)=ab =[a+-(a+b】 -70-225) =-1012: …5分 (2)解：由题意可得：DE=BF=x,AB=14,BC=10, ∴.AF=14-x,AE=10-x, .AF-AE=4, 长方形AFGE的面积为60， .AF·AE=(14-x)10-x)=60, .AF2+AE2=(AF-AE)+2AE.AF =42+2×60 =136;.… .10分 25.解：(1)△ABD≌△ACE,∠DAE=90°推出AD=AE,BD=CE,AD2+AE2=DE2=2AD2,得BD2+CD2= 2AD2,.… .4分 (2)如图1，过点C作CM∥BD, M 0 图1 则∠DBO=∠MCO. ,O为BC的中点， ∴.OB=OC. 在△BDO和△CMO中， I∠DBO=∠MCO, OB=OC, ∠BOD=∠COM, ∴.△BDO≌aCMO(ASA), ∴.CM=BD,OM=OD. AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°， 答案第4页（共6页） .∠BAD=∠CAE, ∴.△ABD≌AACE, ∴.∠AEC=∠ADB=90°， ∠DAE=∠ADB=90°， ∴.BD∥AE, ∴.CM∥AE, ∴.∠ECM=90°. .∠CEM=∠AED=45°， ∴.∠CME=45°， ∴.CE=CM. 由勾股定理得ME=√2CM, .OE =OM+ME=OD+2CM=OD+2BD .8分 (3)如图2.将△BCD绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接DE. B E 图2 ,∠BAC=60°，AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形. 由旋转的性质知DC=EC,∠DCE=∠ACB=60°，BD=AE=5, 则△DCE为等边三角形， ∴.CD=DE=CE ,∠ADC=30°， ∴.∠ADE=90°， .AD2+DE2=AE2, .42+DE2=52, .DE=3, .CD=3. 10分 答案第5页（共6页） 答案第6页（共6页）重庆市凤鸣山中学教共体2026一2027学年度上期 初2025级数学学科半期考试试题 考试说明：1.考试时间：120分钟：2.试题总分150分：3.试卷页数：共6页 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置。 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮 擦擦干净后，再选涂其它答案标号。 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1.下列各数中，是无理数的是() A.27 B. 22 C.√16 D. 4 2.若a的立方根是-3，则a的值是() A.27 B.-27 C.9 D.-9 3.如果下列各组数作为三角形的三边长，那么能组成直角三角形的一组数是() A.0.3,0.4,0.5 B3子 C.32,42,52 D.5,11,12 4.下列运算正确的是() A.a-a2=a B.a2.a=a C.(a2)"=a D.a5÷a2=a 5.若a=22,b=4,c=85,则a,b,c的大小关系为（） A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.a>c>b 6.下列各式中能用平方差公式计算的是() A.(3a+2b)(3b-2a B.(m+3n)(3n-m) C.(2x+1)(-2x-1) D.(3x-y)(-3x+y) 7.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E,S,Mc=24/ DE4,AB=5,则AC E 的长是() B 第1页共8页 A.4 B.5 C.6 D.7 第7题图 8.已知v1的整数部分为a,小数部分为b,则代数式a-b的值为(). A.6-V15 B.6+V15 C. v15-6 D.6 9.如图，等腰三角形ABC的底边BC的长为4，面积为12，腰AB的垂直平分线EF分别交 AB,AC于点E,F,若D为底边BC的中点，M为线段EF上一动点，则△BDM的周长的最 小值为() A.6 B.8 C.10 D.12 D 第9题图 10.己知正整数a,b,c,d满足a<b<c<d,且a+b+c+d=d2-c2+b2-a2,关于这个 四元方程下列说法正确的个数是() ①a=1,b=2,c=3,d=4是该四元方程的一组解； ②连续的四个正整数一定是该四元方程的解； ③若a<b<c<d<10,则该四元方程有21组解； ④若a+b+c+d=2022,则该四元方程有505组解. A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11.因式分解：x2-25= 12.√4的平方根是 -3-210M23→ 13.如图，数轴上点A所表示的数是 第13题图 第2页共8页 14.如果关于字母x的多项式3x2-mx-x2-x-3的值与x的值无关，则w=一 15.如图，在直角△ABC中，∠ACB=90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P,过P点 作PF⊥AD交BC的延长线于点F,交AC于点H,HP=5,FP=12,BD=7,则AB= 第15题图 16.对于一个四位数M=abcd(各数位数字互不相等且均不为0)，若其百位数字与个位数 字之和为7，即b+d=7,且千位数字与十位数字之和为11，即a+c=11,则称M为星光 数”.将M的千位数字与十位数字对调，百位数字与个位数字对调，得到新的四位数M',定 M-M' 义G(M)10a+663·例如：四位数6453，：4+3=7,6+5=1山，且各数位数字互异非 零，·6453是星光数，M'=5364,G(6453)=6453-5364-1089 1089 10×6+4-631 则G(7245)= :若G(M)为整数，则G(M)的最大值和最小值之和为 三、解答题（本题共8小题，第17、18题每小题8分，第19-25每小题10分，共86分） 计：a-6*+(2: (2)20252-2024×2026(简便运算). 18.计算：(1)x2x6-(2x）+x2÷x. (2)2x(3x-5)-（2x-3)(4x+1). 19.先化简，再求值：(x-2y-4(y+1)(y-1)-y(1-4x),其中x,y的值满足 (x+2+y-1=0。 20.我们已经知道了等腰三角形具有“三线合一”的重要性质，其中，等腰三角形顶角的角 平分线与底边上的中线是重合的.右右对这个问题进行了拓展性研究，他发现这个性质反过 来也成立，请根据他的思路，完善以下作图和填空： (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：作∠ABC的角平分线交AC于点D,在BD的延1长线 第3页共8页 上截取DF=BD,连接AF.(不要求写作法，保留作图痕迹) (2)在(1)中所作图形中，若点D为AC的中点，求证：AB=BC.(请补全下面的证明过 程) 证明：，点D为AC的中点 .AD=CD B .在AADF与ACDB中 AD-CD ∠ADF=∠CDB @ .△ADF≌△CDB(SAS) ② ∠AFB=∠CBD ,BD平分∠ABC ③ ∴④ .AB=AF ∴.AB=BC 21.项目学习 项目背景：为响应重庆市“全民健身号召，解决居民“健身去哪儿的难题，某街道对使用多 年的老旧篮球场进行升级改造，重新铺设具有耐磨性和防滑性的运动型塑胶地板.篮球场平 面图为四边形ABCD,已知运动型塑胶地板每平方米160元.四班综合实践小组的同学围绕 “场地面积测量与费用计算”开展项目学习活动，形成了如下活动报告 项目主题 场地面积测量与费用计算 驱动问题 如何计算四边形场地的面积并估算改造费用 活动内容 利用勾股定理及其逆定理进行测量与计算 实地测量获取数据，通过几何计算确定场地 活动过程 方案说明 面积，计算地板费用 第4页共8页 如图，∠B=90°，AB=9m,BC=12m,CD=8m,AD=17m 数据测量 A D B 请根据小组同学测量数据解决问题：本次老旧篮球场进行升级改造，场地面积及费用是多 少？ 22.凤中为丰富课后服务劳动课程，计划在文具店采购劳动收纳筐和园艺小铲子。已知2 个劳动收纳筐和3把园艺小铲子共需190元，3个劳动收纳筐和6把园艺小铲子共需330元。 (1)求每个劳动收纳筐和每把园艺小铲子的费用各是多少元？ (2)为吸引顾客，该文具店推出了如下优惠方案：一律按9折结算。学校计划购买劳动收纳 筐和园艺小铲子共30件，其中劳动收纳筐不少于10件，总费用不超过1026元，请通过计 算帮学校策划最省钱的购买方案。 第5页共8页 23.如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD,过C作CE⊥AD于点E,CF⊥AB交AB 延长线于点F,且∠D+∠ABC=180°. O入B E (I)求证：BC=CD: (2)若AD=12,BF=2,求AB的长. 24.阅读材料并回答下列问题： 我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式.换元法：是指引入一个 或者几个新的变量代替原来的某些变量，通过引入新的变量将分散的条件联系起来，变为熟 悉的问题，其理论依据是等量代换，对于结构比较复杂的式子，可以把其中某些部分看作整 体，用新的字母代替（即整体换元），可以化繁为简从而找到解题的捷径，请看以下例子： 若x满足(60-x)(x-40)=30,求(60-x)2+(x-40)的值. 解：设(60-x)=a,(x-40)=b,则(60-x)(x-40)=ab=30, 第6页共8页 .a+b=(60-x)+(x-40)=20, ∴.(60-x)}'+(x-40)2=a2+b2=(a+b)2-2ab=202-2×30=340 问题：(1)若x满足(2024-x2+(x-2023)2=2025,求(2024-x)(x-2023)的值： (2)如图，在长方形ABCD中，AB=14,BC=10,点E,F分别是边AD,AB上的点， 且DE=BF=x,分别以AE,AF为边在长方形ABCD外侧作正方形AEMN和正方形 APOF,若长方形AFGE的面积为60，求图中两个正方形的面积之和. D M E G F B A P Q 25.综合与实践 某数学实践小组用旋转相关知识来探究三角形的有关线段之间的关系，如图，在Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC. (1)如图1，D为斜边BC上的一点，连接AD,将△ABD绕点A逆时针旋转90°，得到△ACE, 连接DE.猜想AD,BD,CD之间的数量关系，并说明理由. (2)如图2，△ABC和△ADE是大小不同的等腰直角三角形，且∠DAE=∠BAC.将AADE 绕着点A逆时针旋转一定的角度，当∠ADB=90°，且点D,点E和BC的中点O三点共线 时，探究线段BD,OD和OE的数量关系， 第7页共8页 (3)如图3，在四边形ABCD中，AC,BD是对角线，若∠BAC=60°，∠ADC=30°， AB=AC,AD=4,BD=5,直接写出CD的长. 0 D 图1 图2 图3 第8页共8页