精品解析：辽宁沈阳市某校2026-2027学年高一上学期期中数学试卷

数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】使用交集运算与补集运算求解. 【详解】由题可得，又因， 则. 2. “成立”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：由|x-1|＜2得-1＜x＜3，由x（x-3）＜0得0＜x＜3，所以“|x-1|＜2成立”是“x（x-3）＜0成立”的必要不充分条件 考点：1．解不等式；2．充分条件与必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以排除BD； 因为当时，，单调递增，所以排除C，故A正确. 4. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用方程组法求解出的解析式. 【详解】因为，所以， 两式联立可得， 故选：D. 5. 已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】写出命题p，q的否定命题，由题意得否定命题为真命题，解不等式，即可得答案. 【详解】因为命题p为假命题，则命题p的否定为真命题，即：为真命题， 解得， 同理命题q为假命题，则命题q的否定为真命题，即为真命题， 所以，解得或， 综上：， 故选：B 【点睛】本题考查命题的否定，存在量词命题与全程量词命题的否定关系，考查分析理解，推理判断的能力，属基础题. 6. 已知函数满足对任意的，，恒成立，求的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先得到分段函数单调递增，需满足每一段上函数均单调递增，且分段处左端点值小于等于右端点值，可得不等式组，求出答案 【详解】，故在R上单调递增， 需满足，解得， 故的取值范围为. 7. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 【答案】B 【解析】 【分析】由函数图像过定点得，则有，由，利用基本不等式可得最小值. 【详解】函数的图像恒过定点， 点A在直线上，有，又， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为16. 故选：B. 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】构造辅助函数，分析其奇偶性与单调性，分和两种情况转化不等式求解。 【详解】令， 由题设对任意，有，故在上为增函数. 因为是定义域为的奇函数，即， 故，即为偶函数， 因此在上为减函数， 由得，故， 由偶函数性质得. 原不等式等价于： ①当即时，得，即. 因为，在递增，故，解得； ②当即时，得，即， 由偶函数得在递减，故，解得，即. 综上所述，解集为. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据题意，利用特值法，可判断A、C均错误，利用作差法，可判断B正确，根据不等式性质，可判断D正确． 【详解】对于A，取，满足，但，所以A错误； 对于B，若且，则，所以，所以B正确； 对于C，取，此时满足，但，所以C错误； 对于D，若，，可得，由不等式性质，可得，所以D正确． 故选：BD. 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，为增函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】由奇函数得到判断A；由函数的奇偶性结合时的解析式求解判断B；分类讨论解不等式判断C；利用基本函数的单调性和单调性的性质判断D. 【详解】对于A，因为是定义在上的奇函数， 根据奇函数性质可知，，正确； 对于B，当时，，则， 所以，错误； C选项，当时，，解得或，又，所以； 当时，，显然满足题意； 当时，，解得，又，所以； 综上，时，，错误； D选项，当时，， 因为和都在上单调递减，所以函数在上单调递减，D错误． 故选：BCD 11. 已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 在 上单调递增 C. D. 满足不等式 的 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法可判断A和C；结合函数单调性的定义可判断B；利用单调性解不等式可判断D. 【详解】对于选项A，在中令得； 令得，即， 所以，则，故A错误； 对于选项B，把条件写成， 任取，则，所以 故在上单调递增，故B正确； 对于选项C，由，可得每两项和为，所以该和式为，故C正确； 对于选项D，， 由单调性得，结合解得，故D正确． 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则__________． 【答案】10 【解析】 【分析】将已知条件两边同时平方可得，将平方可求﹒ 【详解】， ，即， 所以， ，即 所以， ∴﹒ 13. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，利用根与系数间的关系，得，再结合，即可求解. 【详解】由题知，整理得到，且， 又，所以， 整理得到，解得或，又，所以， 故答案为：. 14. 已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】对进行分类讨论，利用一元二次不等式恒成立的条件即可求解. 【详解】由题意可得不等式对于任意实数成立， 当时，不等式即为，符合题意； 当时，则有，解得， 综上所述，的取值范围是. 故答案为： 四．大题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件转化为，即可根据包含关系求解， （2）根据集合的包含关系结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由得， 由是的充分不必要条件，所以， 即且等号不同时成立，得，∴实数的取值范围为. 【小问2详解】 由题意知， 当，，得； 当，，得. 综上所述：实数的取值范围为. 16. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，转化为方程有两个不相等的正数解，结合根与系数的关系，列出不等式组，即可求解； （2）根据题意，利用二次函数的性质，分和，两种情况讨论，即可求解. 【小问1详解】 由有两个不相等的正数解，即有两个不相等的正数解， 即方程有两个不相等的正数解， 设方程有两个不相等的正数解分别为和， 则满足 ，解得，所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 因为的图象开口向上，且对称轴为， 又因为在上的最大值为， ①当时，即时，，解得，符合题意； ②当时，即时，，解得，符合题意， 综上可得，或，即实数的值为或. 17. 2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合二次函数和基本不等式求解即可； （2）由题意可得恒成立，进而结合二次函数的性质讨论求解即可. 【小问1详解】 若， 当时，的对称轴为，开口向下， 则在上为增函数，当时，； 当时，， 当且仅当，即时，等号成立， 因为，故. 因为，所以在上的最小值为. 【小问2详解】 若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，即恒成立， 当时，恒成立，即，则， 即，所以； 当时，恒成立，即，则， 因为对称轴为，开口向下，在上为增函数， 所以当时，取最大值，最大值为， 故，解得. 综上所述，，故训练水平系数的最小值为. 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用换元法令，，再结合二次函数的性质即可求解； （2）由（1）知利用换元法可得，，方程有实根即等价于即有实数根且大于零，从而可得，即可求解； （3）若对任意的，总存在，使得，可得,由复合函数知识可得函数在时单调递减，时单调递增，从而求出，则只需令在上恒成立即可，分离参数可求解. 【小问1详解】 当时，， 令，因为，所以， 所以可得一个二次函数，所以当，函数单调递增， 当时，有最小值， 当时，有最大值，所以. 所以时，在区间上的值域为. 【小问2详解】 由（1）知当令，，， 则，即有实数根，此时实数根大于零， 所以可得，解得：. 所以方程有实根，实数m的取值范围为. 【小问3详解】 由题意得， 若对任意的，总存在，使得，可得, 由函数可得当时单调递减，当时单调递增，函数为增函数， 所以由复合函数定义可得函数在时单调递减，时单调递增， 所以当时，有最小值， 由（2）知当令，，， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在时均单调递增， 所以函数在时单调递增，所以， 所以，即， 则实数m的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：（1）主要利用换元后转化为一般的二次函数在具体区间求最值问题；（2）中转化为二次函数根的分布问题来求出相应的不等式组，即可求解；（3）中由题可得,再结合指数型复合函数求出，从而可转化为含参二次函数在定区间求解最值问题. 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 【答案】（1）不动点和稳定点均为2和4. （2） （ⅰ）当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）根据不动点、稳定点的定义列方程，解方程求得不动点和稳定点. （2）（ⅰ）根据稳定点的定义列方程，因式分解后对进行分类讨论，由此求得稳定点个数.（ⅱ）结合（ⅰ）的结论先确定的大致范围，以及两个稳定点，结合恒成立、函数的单调性、值域等知识确定的取值范围. 【小问1详解】 令，则，解得或， 令，则，整理得，解得或， 经检验知均满足条件，故函数的不动点和稳定点均为2和4. 【小问2详解】 （ⅰ），令，得， 即，得， 所以. ①当，即时，方程为， 解得，此时有一个稳定点； ②当时，的判别式. 若，即时，此时有两个稳定点； 若，即或； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 当时，方程为，此时有两个稳定点； 若，即或， 且， 此时有四个稳定点； 综上所述，当时，有一个稳定点； 当时，有两个稳定点； 当时，有四个稳定点. （ⅱ）由（ⅰ）知，当时，有两个稳定点为和1. 因为，，故取，得， 解得，所以，，因为，解得， 由（ⅰ）知，故，此时，. 当时，，令，当时， 因，，故. 而，故在单调递减，在单调递增， 注意到，故， 所以当时，的值域为， 即的值域为.由题意得，解得. 所以实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一．单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. “成立”是“成立”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知命题，；命题，．若，都是假命题，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. 或 D. 6. 已知函数满足对任意的，，恒成立，求的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图像恒过定点A，若点A在直线上，且，则的最小值为（ ） A. 13 B. 16 C. D. 28 8. 设奇函数的定义域为，对任意的，且，都有不等式，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列命题中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则下列说法错误的是（ ） A. B. 当时， C. 当且仅当 D. 时，为增函数 11. 已知函数 的定义域是 ，对任意的 ，，都有 ，当 时，，且 ，下列说法正确的是（　　） A. B. 函数 在 上单调递增 C. D. 满足不等式 的 的取值范围为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 已知，则__________． 13. 设是关于的一元二次方程的两个实数根，若，则的值为______． 14. 已知，函数的定义域为，则k的取值范围是________． 四．大题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 15. 设集合， （1）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知函数. （1）若有两个不相等的正数解，求实数的取值范围； （2）若在上的最大值为4，求实数的值. 17. 2025年9月3日是世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，我国在北京举行了隆重的纪念大会和阅兵仪式.阅兵过程中，需要对某军方阵进行综合评分，受阅过程分为“准备阶段”和“正式通过阶段”两个阶段，“综合评分”（分）与时间（分钟，）的关系为分段函数，其中为训练水平系数，． （1）若，求在上的最小值； （2）若要求整个受阅过程中最低评分不低于70，求训练水平系数的最小值． 18. 已知函数． （1）若，求在区间上的值域； （2）若方程有实根，求实数的取值范围； （3）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 19. 给定函数，若存在实数使得，则称为函数的不动点，若存在实数使得，则称为函数的稳定点. （1）求函数的不动点和稳定点； （2）已知函数. （ⅰ）讨论函数的稳定点个数情况； （ⅱ）若函数恰有两个稳定点和，且，，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $