精品解析：陕西省延安市志丹县保安教育集团2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025~2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程，求出的值即可． 【详解】解：∵ 是方程 的根， ∴ ，即 ， ∴ ． 故选：D． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，根据中心对称图形的概念进行分析，即可作答． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C、是中心对称图形，故该选项符合题意； D、不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C 3. 已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：因为圆中最长的弦为直径， 所以弦长≤10． ∴的长度不可能是11； 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，在本题中，圆的弦长的取值范围0＜ｌ≤10． 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先确定抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），再根据点平移的规律得到点（0，0）平移后所得对应点的坐标为（-2，-3），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式． 【详解】抛物线y=x2的顶点坐标为（0，0），把点（0，0）向左平移2个单位，再向下平移3个单位长度所得对应点的坐标为（-2，-3）， 所以平移后的抛物线解析式为y=（x+2）2-3． 故选：A． 5. 如图，的三个顶点均在上，且是的直径，点是上一点．连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理． 根据圆周角定理求出，，进而根据三角形内角和计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴． 故选：A． 6. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，设小道的宽为，则20个小矩形可合成长为、宽为的矩形，然后利用矩形的面积公式列出关于x的一元二次方程即可． 【详解】解：设小道的宽为， 根据题意，可列方程为． 故选：C． 7. 如图，将等边绕点顺时针旋转，得到（点、的对应点分别为点、），分别连接、交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质、旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质证得、、，进而得到和的度数为，根据等边三角形的性质证得，进而证得，根据四边形的内角和为，进行计算求解的度数即可． 详解】解：绕点顺时针旋转，得到， 、、 、 是等边三角形 故选：A． 8. 已知点、在抛物线（是常数，且）上．下列选项中错误的是（ ） A. 抛物线一定经过点 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 若，则 D. 若，则抛物线与轴有两个交点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的根的判别式，在中，当时，，即可判断A；求出对称轴为直线，即可判断B，由得出点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，即可判断C；根据一元二次方程根的判别式即可判断D，熟练掌握以上知识点并熟练运用是解此题的关键． 【详解】解：中，当时，， 抛物线一定经过点， 故A正确，不符合题意； 抛物线的对称轴为直线， 故B正确，不符合题意； ， 点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， 当时，，当时，； 故C错误，符合题意； ， 当时，， ∴与轴有两个交点， 故D正确，不符合题意； 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质．对于二次函数（a，b，c为常数，），当时，抛物线开口向上；当时，抛物线开口向下．据二次函数的性质，所写出的函数解析式a是负数，即可． 【详解】解：开口向下，并且与y轴交于点的抛物线的表达式为， 故答案为：（答案不唯一）． 10. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的性质，横坐标和纵坐标分别互为相反数，列出方程求解即可． 【详解】因为点与点关于原点对称， 所以点的横坐标与点的横坐标互为相反数，点的纵坐标与点的纵坐标互为相反数， 即，， 解得，， 所以． 故答案为：． 11. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．则方程的根为_____． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义运算，将方程转化为一元二次方程，然后通过因式分解法求解． 【详解】由新运算定义，． 令其等于0，得． 因式分解，得． 解得，． 故答案为：，． 12. 如图，四边形内接于，是的直径，，点在上，连接、，则的度数为_____． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查圆内接四边形的性质、圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． 根据圆内接四边形的性质得到，得出的度数，直径所对的圆周角,进而得到的度数，根据圆周角定理证得，据此进行计算求解即可． 【详解】解：连接， 四边形内接于， 是的直径 ． 故答案为：． 13. 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移． 通过平移抛物线得到新解析式，再求与x轴的交点坐标，利用距离公式计算线段长度． 详解】解：将抛物线 向下平移5个单位长度，得到新抛物线 ， 令 ，得 ， 解得 ，， 所以点A和点B的坐标分别为  和 ， 则线段的长为 ． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为________ cm． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、四边形内角和以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，结合题意添加合适的辅助线是解题的关键． 根据旋转的性质得，，，，设，则，根据四边形内角和可得，取的中点H，连接、，则，，从而得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点H，连接、，如图： ∵是由绕C点旋转得到， ∴，，， 设，则 在四边形中， 在中，，，， 在中，， ∵是中位线， 而， ∴当F、H、G在一条直线上时，最大，最大值为， 故答案为：9． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解求解一元二次方程，准确的计算是解决本题的关键． 先移项，再提公因式进行解方程即可． 【详解】解： 或， 解得，． 16. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 【答案】 方程有两个不相等实数根，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．计算根的判别式的值得到，根据，则可判断，然后根据根的判别式的意义判断方程根的情况． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根，理由如下： ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴． ∴方程有两个不相等的实数根． 17. 如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理，由题意得，根据勾股定理求出即可； 【详解】解：，且过的圆心； ． 的直径是． ， ， ， 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若和关于原点成中心对称，点、、的对应点分别为点、、，请你在图中画出； （2）在（1）的条件下，请直接写出、的坐标． 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】本题考查作图-旋转变换，熟练掌握中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据中心对称的性质作图即可． （2）由图可得答案． 【小问1详解】 如图，即为所求． 【小问2详解】 点的坐标为，的坐标为． 19. 如图，将正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形（点、、的对应点分别为点、、），交于点，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质． 根据旋转的性质得到，，证明，即可证明． 【详解】证明：正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形， ，， 在和中，，， ， ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． 令，求出点的坐标为，即，令，求出点的坐标为，点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：令，则， 点的坐标为，即， 令，则，解得，， 点的坐标为，点的坐标为， 即， ． 21. 如图，的顶点均在上，且是的直径，点在上，连接、，分别交于点、，．若，，求的半径． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、垂径定理及勾股定理的应用，灵活利用勾股定理及圆的性质解决问题是解决本题的关键． 由是直径得，结合推出；由垂径定理得；设半径为，则，在中用勾股定理列方程，解得，即可解答． 【详解】解：是的直径． ，即， ， ， ， 为的半径， ， 设的半径为， 在中，， 即， 解得， 的半径为． 22. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求的值，并写出抛物线的解析式； （2）已知点在该抛物线上，将点向右平移6个单位长度后得到点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标． 【答案】（1）10， （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质． （1）将代入计算即可； （2）根据轴对称的性质得到，将代入计算即可． 【小问1详解】 解：将代入中得：， ， 的值为10，抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：将点向右平移6个单位长度得到点， 点、之间的距离为6， 点与点关于对称轴直线对称， ∴， ， 将代入中得：． 点的坐标为． 23. 摩天轮作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．某实体店销售一款摩天轮模型．该摩天轮模型的进价为每件元，当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该摩天轮模型每件的售价每降低1元，每天的销量可增加4件，为配合文化节的推广，商家决定进行降价促销，同时尽快减少库存，若要使每天销售这种模型获利元，售价应降低多少元？ 【答案】降低元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设售价应降低x元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件，根据使每天销售后获利元，列出一元二次方程，解之取其符合题意的值即可． 【详解】解：设售价降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 为尽快减少库存，应选择降价更多、销量更大的方案，故舍去， 答：售价应降低元． 24. 如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 【答案】（1） 证明：平分， ； 由题意得：， ， 由圆周角定理得：， ， ． （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，据此即可求解． （1）根据平分，推出；根据，推出；结合即可求证； （2）设，，则，，，推出，即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，， ，，， ， 由圆周角定理得：， 在中，， ，解得． ． 25. 某小区考虑给新建的电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； （2）若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 【答案】（1）； （2）有触电危险；理由见解析． 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数的图象与性质． （1）根据消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上，其到墙面的水平距离为米，可知顶点的坐标为，根据米，可知点的坐标为，设抛物线的解析式为，用待定系数法求抛物线的解析式即可； （2）求出当时消防喷淋头的高度是米，超过了吊灯的高度，所以有触电的危险． 【小问1详解】 解：由题意得：顶点的坐标为，点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入， 可得：， 解得：， 则抛物线的解析式为 整理可得：； 【小问2详解】 解：此吊灯消防喷淋头喷洒时有触电危险； 理由如下： 将代入， 可得：， ， 消防喷淋头喷洒时有触电危险． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点、是边上的点，连接、，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接．当，时，求证：； 【问题解决】 （2）如图2所示，某科技小组设计了一个等边三角形旋转联动装置，用于机械臂的精确控制，初始状态如下：基座为等边的框架，点是边上的一个可动节点（不与端点重合），点在的延长线上，连杆与连杆的长度相等（即）．当系统工作时，绕点顺时针旋转到达的位置（点、的对应点分别是点、），连接，则在旋转后的新构型中，线段，，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，旋转的性质等知识， （1）先根据旋转得，，再求出，即可求出，可以得出结果； （2）根据等边三角形的判定与性质及旋转的性质得出，，，即可证出，得出，，即可得出答案． 【详解】（1）证明：绕点逆时针旋转得到； ，． ，， ， ， 在和中， ，，， ， ． （2）解：（形式不唯一，正确即可），理由如下： 是等边三角形， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， 是等边三角形，， ， ， ，， ， ， ， 在和中，，，， ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期期中调研试题（卷） 九年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，时间120分钟，学生直接在试题上答卷； 2．答卷前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若关于的方程的一个根是，则的值是（　　） A. B. 3 C. D. 6 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（       ） A. B. C. D. 3. 已知是直径为10的圆的一条弦，则的长度不可能是（ ） A. 2 B. 5 C. 9 D. 11 4. 将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为（ ） A B. C. D. 5. 如图，的三个顶点均在上，且是的直径，点是上一点．连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，某校有一块长为，宽为的矩形“劳动实践基地”，为满足各班的种植需求，学校铺设了7条宽度相等的石板小路（图中阴影部分），将“劳动实践基地”分成了20个种植区域（图中空白部分），其中种植区域的总面积为．设石板小路的宽为，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C D. 7. 如图，将等边绕点顺时针旋转，得到（点、的对应点分别为点、），分别连接、交于点，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 已知点、在抛物线（是常数，且）上．下列选项中错误的是（ ） A. 抛物线一定经过点 B. 抛物线的对称轴是直线 C. 若，则 D 若，则抛物线与轴有两个交点 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 若一条抛物线的开口向下，且与y轴交于，则该抛物线的解析式可能是___________（答案不唯一）． 10. 在平面直角坐标系中，若点与点关于原点对称，则的值为_____． 11. 对于任意实数，，我们定义新运算“”：，例如．则方程的根为_____． 12. 如图，四边形内接于，是的直径，，点在上，连接、，则的度数为_____． 13. 将抛物线向下平移5个单位长度，所得抛物线与轴交于点，，则线段的长为_____． 14. 如图，在中，，，．将绕点C按顺时针方向旋转后得，直线、相交于点F．取的中点G，连接，则长的最大值为________ cm． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 解方程：． 16. 已知关于的一元二次方程．请你判断方程根的情况，并说明理由． 17. 如图，是直径为的的一条弦，连接，过点作于点，，求弦的长． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，． （1）若和关于原点成中心对称，点、、的对应点分别为点、、，请你在图中画出； （2）在（1）的条件下，请直接写出、的坐标． 19. 如图，将正方形绕点顺时针旋转一定角度得到正方形（点、、的对应点分别为点、、），交于点，连接．求证：． 20. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点，连接、，求的面积． 21. 如图，的顶点均在上，且是的直径，点在上，连接、，分别交于点、，．若，，求的半径． 22. 已知抛物线的顶点坐标为． （1）求的值，并写出抛物线的解析式； （2）已知点在该抛物线上，将点向右平移6个单位长度后得到点，且点与点关于抛物线的对称轴对称，求点的坐标． 23. 摩天轮作为一种游乐场机动游戏，与云霄飞车、旋转木马合称是“乐园三宝”．某实体店销售一款摩天轮模型．该摩天轮模型的进价为每件元，当售价定为每件元时，每天可售出件．经市场调研发现，该摩天轮模型每件的售价每降低1元，每天的销量可增加4件，为配合文化节的推广，商家决定进行降价促销，同时尽快减少库存，若要使每天销售这种模型获利元，售价应降低多少元？ 24. 如图，点是内部一点，连接，平分，以点为圆心，为半径的圆经过点，交于点，连接并延长交于点，连接并延长交于点． （1）求证：； （2）当时，求的度数． 25. 某小区考虑给新建电动自行车充电车棚安装消防喷淋头（如图1）．如图2，已知车棚建在，两面墙之间，为水平地面，，，消防喷淋头安装在距离地面米高的棚顶上（），其到墙面的水平距离为米，喷淋头喷洒的最外层水柱的横截面可近似看作抛物线，其顶点为，且该水柱喷射到墙面上的点处．米，以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求最外层水柱横截面所在抛物线的解析式； （2）若在处有一吊灯，吊灯遇水会发生触电危险（即点位于图中抛物线下方或恰好在抛物线上时，会有触电危险），则此吊灯在消防喷淋头喷洒时是否有触电危险？请判断并说明理由． 26. 【问题初探】 （1）如图1，在中，，点、是边上点，连接、，将绕点逆时针旋转得到（点、的对应点分别是点、），连接．当，时，求证：； 【问题解决】 （2）如图2所示，某科技小组设计了一个等边三角形旋转联动装置，用于机械臂的精确控制，初始状态如下：基座为等边的框架，点是边上的一个可动节点（不与端点重合），点在的延长线上，连杆与连杆的长度相等（即）．当系统工作时，绕点顺时针旋转到达的位置（点、的对应点分别是点、），连接，则在旋转后的新构型中，线段，，之间有怎样的数量关系？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $