精品解析：浙江金华市永康市2026-2027学年第一学期期中考试八年级数学学科试卷

2026学年第一学期八年级期中考试数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（　　） A. B. C. D. 4. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列条件中，能判定是等腰三角形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. 6. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 7. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 8. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 9. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 10. 《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 同角的补角相等是_________命题（填写“真”或“假”）. 12. 根据语句“的倍与的差小于列不等式”：______． 13. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 14. 如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为______． 15. 由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称如图，物体平行镜面，点处恰好能从镜面点处看到点，，，点是点的像，则与之间的距离为__________ ． 16. 如图，小林在数学学习小组组徽设计活动中，将两张全等的直角三角形纸片按如图方式放入框中，其中，点，分别落在边，上，点恰好为中点，若，，则的长为____________． 三．解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17. 解不等式 （1） （2） 18. 如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ．求证：． 19. 如图，中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动．经过多少秒，为直角三角形． 20. 如图，在中，AD是它的角平分线，且，过点D作，，垂足分别为，，试判断的形状． 21. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． （1）请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形，并求出的面积． （2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）． 22. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°． （1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ （3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示 ，用含的代数式表示 ； ②据此直接写出的最小值为 ； （类比应用） （2）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式 的最小值． 24. 综合与实践 （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：； （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：； （3）问题拓展：如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026学年第一学期八年级期中考试数学试题卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. “说好中国话，写好中国字”，在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，符合题意； B、不是轴对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，不符合题意； D、不是轴对称图形，不符合题意． 2. 把不等式的解集表示在数轴上，下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：解，得， 解集表示在数轴上为． 3. 若一个三角形的两边长分别为、，则它的第三边的长可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系．熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质是解题的关键． 根据三角形的三边关系，第三边的长应大于已知的两边的差，而小于两边的和． 【详解】设第三边的长为， 由三角形的三边关系可得，即， ∴它的第三边的长可能是． 故选：C． 4. 若，则下列不等式不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质：①把不等式的两边都加(或减去)同一个整式，不等号的方向不变；②不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；③不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 根据不等式的性质逐项分析，可得答案． 【详解】解：A、两边都加2，不等式成立，正确，故A不符合题意； B、两边都减2，不等式成立，正确，故B不符合题意； C、两边都乘以，不等号的方向改变，不等式成立，正确，故C不符合题意； D、两边都除以，不等号的方向改变，选项的不等式不成立，故D符合题意； 故选：D． 5. 下列条件中，能判定是等腰三角形的是（ ） A. B. ，， C. ， D. 【答案】C 【解析】 【分析】边类选项判断是否有等边，角类选项结合三角形内角和判断是否有等角，以此判定等腰三角形． 【详解】解：A选项，B选项，，，两组三边长度均不相等，不是等腰三角形，不符合题意； C.∵，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形，符合题意； D.∵， ∴三个角均不相等，根据等角对等边，可知中不可能有两条边相等，故其不是等腰三角形，不符合题意； 故答案为C． 6. 对于命题“若a2＞b2，则a＞b”，下面四组关于a，b的值中，能说明这个命题是假命题的是（　　） A. a=3，b=2 B. a=－3，b=2 C. a=3，b=－1 D. a=－1，b=3 【答案】B 【解析】 【详解】试题解析：在A中，a2=9，b2=4，且3＞2，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故A选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在B中，a2=9，b2=4，且－3＜2，此时虽然满足a2＞b2，但a＞b不成立，故B选项中a、b的值可以说明命题为假命题； 在C中，a2=9，b2=1，且3＞－1，满足“若a2＞b2，则a＞b”，故C选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 在D中，a2=1，b2=9，且－1＜3，此时满足a2＜b2，得出a＜b，即意味着命题“若a2＞b2，则a＞b”成立，故D选项中a、b的值不能说明命题为假命题； 故选B． 考点：命题与定理． 7. 如图，已知点，，，在同一条直线上，，，要使，需添加一个条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边．根据全等三角形的判定逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴， A．添加，则，结合，，可根据证明，故符合题意； B．添加，则，结合，，根据无法证明，故不符合题意； C．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； D．添加，结合，，根据无法证明，故不符合题意； 故选：A． 8. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 等腰三角形的两个底角相等 B. 对顶角相等 C. 两直线平行，内错角相等 D. 直角三角形的两个锐角互余 【答案】B 【解析】 【分析】根据逆定理的定义，通过判断各定理逆命题的真假确定答案． 【详解】解：A. 逆命题为“有两个角相等的三角形是等腰三角形”，成立，有逆定理，不符合题意； B. 逆命题为“相等的角是对顶角”，不成立，没有逆定理，符合题意； C. 逆命题为“内错角相等，两直线平行”，成立，有逆定理，不符合题意； D. 逆命题为“有两个锐角互余的三角形是直角三角形”，成立，有逆定理，不符合题意； 故答案为B． 9. 如图，在中，边，的垂直平分线交于点P，连结，，若，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用垂直平分线的性质得到线段相等，进而得到角相等，再通过三角形内角和与外角的关系求解． 【详解】解：连接 ∵ 边，的垂直平分线交于点 ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ 故选：B． 10. 《几何原本》卷2中的几何代数法是将代数定理通过图形实现证明．如图是勾股定理的推广．已知在锐角中，以其三边向外作正方形，若正方形的面积为定值，H是边上靠近点A的三等分点，，记正方形的面积为x，正方形的面积为y，当的度数发生变化时，下列代数式不变的为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，关键是由勾股定理得到． 由正方形的面积公式得到，，由勾股定理得到，于是得到，因此，而，得到，即可得到是定值． 【详解】解：∵正方形的面积为x，正方形的面积为y， ∴，， ∵， ∴， ∵H是边上靠近点A的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵正方形的面积为定值， ∴是定值． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11. 同角的补角相等是_________命题（填写“真”或“假”）. 【答案】真； 【解析】 【分析】根据补角的定义进行判断即可 【详解】同角的补角相等，正确； 故答案为真 【点睛】此题考查命题与定理，难度不大 12. 根据语句“的倍与的差小于列不等式”：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据题意得出不等式即可，读懂题意，列出不等式是解题的关键． 【详解】解：∵的倍与的差小于， ∴列不等式为：， 故答案为：． 13. 等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为_________． 【答案】10 【解析】 【分析】分腰长为2和腰长为4两种情况，根据三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长． 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，不满足三角形任意两边之和大于第三边， ∴2，2，4不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为时，底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴2，4，4能构成三角形； 此时等腰三角形的周长为； 综上，等腰三角形的周长为． 14. 如图，在中，，，以B为圆心，适当的长为半径画弧，交，于D，E两点，再分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点F，射线交于点G，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用直尺和圆规作角平分线，角平分线的性质定理，添加辅助线，利用角平分线的性质定理求解是关键．过点G作于点M，于点N，根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：过点G作于点M，于点N， 由作图步骤可知，平分， ， ． 故答案为：． 15. 由平面镜成像可知物与像关于镜面成轴对称如图，物体平行镜面，点处恰好能从镜面点处看到点，，，点是点的像，则与之间的距离为__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于点B，过点G作于点A，，再由等腰三角形的性质以及勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点B，过点G作于点A， 根据题意得：，， ∴， ∵物体平行镜面， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即与之间的距离为． 16. 如图，小林在数学学习小组组徽设计活动中，将两张全等的直角三角形纸片按如图方式放入框中，其中，点，分别落在边，上，点恰好为中点，若，，则的长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得垂直平分，从而得到，，再由全等三角形的性质可得，，从而得到，然后根据勾股定理可得，即可求解． 【详解】解：∵，点恰好为中点， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 三．解答题（17-21每题8分，22、23每题10分，24题12分，共72分） 17. 解不等式 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ． 18. 如图，点 ， ， ， 在同一直线上， ， ， ．求证：． 【答案】证明： ， ， ， 在和中， ， ， ， 即． 【解析】 【分析】用“边边边”证明，即可得出． 【详解】略 19. 如图，中是边长为的等边三角形，有一动点M自A向B以的速度运动，动点N自B向C以的速度运动，若M，N同时分别从A，B出发，当M到达B点时，M，N两点停止运动．经过多少秒，为直角三角形． 【答案】秒和秒 【解析】 【分析】设时间为，表示出，，分①时，即可知，依据列方程求解可得；②时，知，依据列方程求解可得． 【详解】解：设经过秒，为直角三角形， 则， ， ①当时， ， ， ∴，即， 解得：； ②当时， ， ， ，即， 解得：， 答：经过秒或秒，是直角三角形． 20. 如图，在中，AD是它的角平分线，且，过点D作，，垂足分别为，，试判断的形状． 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】根据角平分线的性质，全等三角形的判定，进行推理判定即可． 【详解】解：是等腰三角形，理由是： 由已知，，且，， ∴， 由则 ∴， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定，能够掌握全等三角形的判定方法是解决本题的关键． 21. 在边长为1的小正方形组成的方格纸中，若三角形的各顶点都在方格的格点（横竖格子线的交错点）上，这样的三角形称为格点三角形． （1）请在图甲中画一个格点三角形，使是一个等腰直角三角形，并求出的面积． （2）请在图乙中仅用无刻度的直尺，画出的平分线（保留作图痕迹）． 【答案】（1） 如图，即为所求； （2） 如图，射线即为所求． 【解析】 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质，结合勾股定理及其逆定理，即可求解； （2）连接，取的中点P，根据等腰三角形的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； 【小问2详解】 解：理由：连接，取的中点P， 根据题意得：， ∴， ∴平分． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理，熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理及其逆定理是解题的关键． 22. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，OA与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在距地面1.2 m高的B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她．若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD、CE分别为1.8 m和2.4 m，∠BOC＝90°． （1）△CEO与△ODB全等吗？请说明理由． （2）爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ （3）秋千的起始位置A处与距地面的高是 m． 【答案】（1） △CEO与△ODB全等． 理由如下： 由题意可知∠CEO＝∠BDO＝90°，OB＝OC， ∵∠BOC＝90°， ∴∠COE＋∠BOD＝∠BOD＋∠OBD＝90°． ∴∠COE＝∠OBD， 在△CEO和△ODB中， ， ∴△CEO≌△ODB（AAS）； （2）爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的． （3）0.6 【解析】 【分析】（1）由直角三角形的性质得出∠COE＝∠OBD，根据AAS可证明△CEO≌△ODB； （2）由全等三角形的性质得出CE＝OD，OE＝BD，求出DE的长则可得出答案； （3）由（2）可得点D距地面的高度是1.2m，用勾股定理求出OA的长，再求出AD的长，即可求得秋千的起始位置A处与距地面的高． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵△CEO≌△ODB， ∴CE＝OD，OE＝BD， ∵BD、CE分别为1.8m和2.4m， ∴DE＝OD−OE＝CE−BD＝2.4−1.8＝0.6（m）， 由题意，点B距地面的高度是1.2m， 所以，点D距地面的高度是1.2m， 点E距地面的高度是1.2+0.6=1.8（m） 所以，点C距地面的高度是1.8m． 答：爸爸是在距离地面1.8m的地方接住小丽的． 【小问3详解】 在Rt△BOD中，（m）， ∴OA=3（m）， ∴AD=OA-OD=3-2.4=0.6（m） 由（2）得，点D距地面的高度是1.2m， ∴秋千的起始位置A处与距地面的高是1.2-0.6=0.6（m）， 答：秋千的起始位置A处与距地面的高是0.6m． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，证明△CEO≌△ODB是解题的关键． 23. 数与形是数学中的两个最古老，也是最基本的研究对象，它们在一定条件下可以互相转化．数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）已知均为正实数，且，求的最小值．通过分析，爱思考的小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含的代数式表示 ，用含的代数式表示 ； ②据此直接写出的最小值为 ； （类比应用） （2）已知为正实数，根据上述的方法，求代数式 的最小值． 【答案】（1）①、；② （2） 【解析】 【分析】直接由勾股定理解答即可；如图，由得 ，，求的最小值，就是求最小值，只要根据两点之间，线段最短解答即可． 构造如小问（1）的图形，使，根据小问（1）的解法解答即可． 【小问1详解】 解：如图，在直角三角形中，由勾股定理得， 在直角三角形中，由勾股定理得， 如图，过点作交的延长线于点， 由已知条件可知：四边形是长方形， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 由，， ， ， ， 的最小值为 【小问2详解】 解：构造如图所示的图形： ， 过点作交的延长线于点， 由已知条件可知：四边形是长方形， ， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 设，则， 在直角三角形中，由勾股定理得：， 在直角三角形中，由勾股定理得：， ， ， ． 代数式 的最小值为． 24. 综合与实践 （1）问题提出：如图1，点E为等腰内一点，，若另有一个以、为腰的等腰且，求证：； （2）尝试应用：如图2，点D为等腰外一点，，，过点A的直线分别交的延长线和的延长线于点N、M，与交于K，若，．求证：； （3）问题拓展：如图3，P是内一点，，D在边上，连接，，过P作，垂足为E，若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵是以、为腰的等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴； （2）证明：延长至G，使，连接， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）由证即可； （2）延长至G，使，连接，证，求得即可解答； （3）延长交于点F，连接，先证，再证即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，延长交于点F，连接， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $