精品解析：浙江省金华市永康市联盟2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年浙江省金华市永康市联盟八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形的识别．如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．根据定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，不合题意； B．是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．不是轴对称图形，不合题意； 故选：B 2. 已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．根据此关系列出不等式，求出的取值范围． 【详解】解：三角形的三边长为、、， 由三边关系得： ． 选项中，只有满足条件． 故选：C． 3. 下列命题是假命题的是（） A. 等腰三角形的两腰相等 B. 全等三角形的周长相等 C. 等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D. 对顶角相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查几何命题的真假判断，等腰三角形的性质，全等三角形的性质，对顶角相等．选项A、B、D均为真命题；选项C中，等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，而非顶角平分线本身（线段或射线），因此该命题错误． 【详解】解：∵等腰三角形的两腰相等（定义），∴A选项是真命题； ∵全等三角形的对应边相等，周长相等，∴B选项是真命题； ∵等腰三角形的对称轴是顶角平分线所在的直线，顶角平分线是线段，两者不同，∴C选项是假命题； ∵对顶角相等（定理），∴D选项是真命题． 综上，假命题是C． 故选：C． 4. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，将不等式的解集表示在数轴上，先解一元一次不等式，再将解集表示在数轴上即可，正确求出一元一次不等式的解集是解此题的关键． 【详解】解：解得， 将在数轴上表示出来如下： 故选：A． 5. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． 根据等腰三角形的性质分为两种情况解答：当边长4为腰或者4为底边时． 【详解】解：分情况考虑：若4是腰时，则底边长是，此时4，4，12不能组成三角形，应舍去； 当4是底边时，腰长是，4，8，8能够组成三角形． 此时腰长是8． 故选：B． 6. 安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 对称性 C. 美观性 D. 稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的稳定性，正确掌握三角形的这一性质是解题的关键． 钉在墙上的方法是构造三角形，因而应用了三角形的稳定性． 【详解】解：这种方法应用的数学知识是：三角形的稳定性． 故选：D． 7. 仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是基本作图，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定．由作法可知，，，再加上公共边，即可利用“”判定三角形全等． 【详解】解：如图，连接， 在和中， ， ， ， 平分 故选：A 8. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据垂直定义可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 本题考查了直角三角形斜边上的中线，三角形内角和定理，熟练掌握直角三角形斜边上的中线性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， E是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 9. 如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，勾股定理，正确作出辅助线，利用勾股定理求出高是解题的关键． 过点作于点，由等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理求解，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵， ∴ ∴， ∴， 故选：C． 10. 如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（ ） A. B. 12 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，正确识别图形是解题关键． 根据余角的性质得到，进而推出，根据全等三角形的性质得到，推出，根据勾股定理得到，又因为，可得到，进而得到，求出，进而求解即可． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ∵， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ∵空白部分的面积为， ∴， ， ， ， ， 阴影部分面积为 ， 故选：D． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在，，，则的度数为_________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握三角形内角和为．根据三角形内角和定理，三角形的内角和为，已知和的度数，可求出的度数． 【详解】解：在中，． ，， ． 故答案为：． 12. 要证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题可以举的反例是________. 【答案】a=-2，b=1（答案不唯一） 【解析】 【分析】据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题． 【详解】∵当a=-2，b=1时，（-2）2＞12，但是-2＜1， ∴a=-2，b=1是假命题的反例． 故答案为a=-2，b=1（答案不唯一）． 【点睛】此题考查的是命题与定理，要说明数学命题的错误，只需举出一个反例即可这是数学中常用的一种方法． 13. 若，则_________(选择用适当的不等号填空) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质．根据不等式的基本性质，由，两边同乘负数时不等号方向改变，再同加一个数不等号方向不变，从而得到与的关系． 【详解】解：， 不等式两边同乘(负数)，不等号方向改变，得， 再不等式两边同加，不等号方向不变，得． 故答案为：． 14. 如图，与相交于点，，添加一个条件_____，使得．（填一个即可） 【答案】或或或（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了添加条件判定三角形全等，首先根据图形，可知，又由已知，可添加或或或，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法及其应用． 【详解】解：∵，， 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴； 添加， ∴，，同理， 故答案为：或或或（答案不唯一）． 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 【答案】##24厘米 【解析】 【分析】本题主要考查等腰直角三角形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得，，即可证明，则有，，结合即可求得答案． 【详解】解：，， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为： 16. 如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1），则______________； （2）若，则的长为______________． 【答案】 ①. ##36度 ②. 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可； （2）根据等边三角形的性质可以证明，即可得到，过点E作于点F，然后利用勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：； （2）解：∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 过点E作于点F， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查等边三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，勾股定理，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 在数轴上表示如图所示： 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组并把解集在数轴上表示出来. 分别解两不等式，得到不等式组的解集，进而在数轴上表示即可. 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 不等式组的解集为 18. 三个顶点都在网格交点的三角形叫格点三角形 （1）在图1中画出一个面积为4的格点直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为4的格点等腰三角形． 【答案】 （1）如图1中，△ABC即为所求． （2）如图2中，△ABC即为所求． 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）． （2）利用数形结合的思想解决问题即可（答案不唯一）． 【详解】略 【点睛】 本题考查作图-应用与设计，等腰三角形的判定，勾股定理，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19. 如图，在中，是的角平分线，，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形内角和及角平分线的性质即可求解． （2）由（1）得，利用直角三角形的特征即可求解． 【小问1详解】 解：，， ， 又是的角平分线， ． 【小问2详解】 由（1）得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形内角和、角平分线的性质及直角三角形的特征，熟练掌握其基础知识是解题的关键． 20. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， ∵，，垂足分别为，， ∴， 在和中， ， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，先根据题意可得，由垂线的定义可得，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键． 【详解】略 21. 某游乐园门票的价格为每人80元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠 （1）一旅游团共18人，你认为他们买18张门票便宜还是多买2张，买20张购团体票便宜？ （2）如果旅游团不足20人，那么人数达到多少人时购团体票比购买普通门票更便宜？ 【答案】（1）购买20张团体票更便宜;（2）17人． 【解析】 【分析】（1）利用总价=单价×数量，分别求出购买18张门票及20张门票所需费用，比较后即可得出结论； （2）设人数达到x人时购买团体票比购买普通票更便宜，根据购买团体票比购买普通票更便宜，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中最小整数值即可得出结论． 【详解】解：（1）购买18张门票，所需费用为80×18＝1440（元）， 购买20张门票，所需费用为80×0.8×20＝1280（元）． ∵1440＞1280， ∴购买20张团体票更便宜． （2）设人数达到x人时购买团体票比购买普通票更便宜， 依题意，得：80×0.8×20＜80x， 解得：x＞16． ∵x为整数， ∴人数达到17人时购买团体票比购买普通票更便宜． 【点睛】本题考查一元一次不等式的应用，根据各数字之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 22. 已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝5厘米，BC＝13厘米，求线段CF，CE的长． 【答案】CF＝1厘米，CE＝厘米． 【解析】 【分析】根据矩形的对边相等可得AD=BC=13，根据翻折变换的性质可得AF=AD=13，EF=DE，然后利用勾股定理列式计算求出BF，求出CF=BC-BF=1；设CE=x，则EF=DE=5-x，再利用勾股定理列方程求解即可得出CE的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是长方形， ∴AD＝BC＝13，AB＝CD＝5，∠B＝∠C＝90°， ∵折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处， ∴AF＝AD＝13，EF＝DE， 在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝＝12， ∴CF＝BC﹣BF＝13﹣12＝1（厘米）， 设CE＝x，则EF＝DE＝5﹣x， 在Rt△CEF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2， 即12+x2＝（5﹣x）2， 解得：x＝， 即CE＝厘米． 【点睛】本题考查翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理等知识；熟练掌握翻折变换的性质，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 23. （1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 【答案】（1）4；（2）2;想一想： 4；算一算：70°或40°或100°． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的判定，两个边相等的三角形是等腰三角形即可得到结论； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点，即可得到结论； 想一想：分四种情况：①当AC=AF，②当BC=BE，③当CB=CG，④当AD＝CD，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 算一算：如图3，当AD=CD，分三种情况：①当CD=BD时，∠B=∠BCD=70°；②当CD=BC时，∠B=∠CDB=40°；③当BD=BC时，∠B=180°-40°-40°=100°；如图4，当AC=AE，CE=BE时，G根据等腰三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：（1）如图1，①当AO＝OP1，②当AO＝AP2；③当AO＝OP3，④当AP4＝OP4，这样的等腰三角形能画4个． 故答案为：4； （2）以O为圆心，OA为半径画弧，交直线l于两点； 故这样的等腰三角形能画2个， 故答案为：2； 想一想：①当AC＝AF，②当BC＝BE，③当CB＝CG，④当AD＝CD时，过顶点C作一条直线，能分割出一个等腰三角形，⑤当BE=EC故过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， ∴过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画5条， 故答案为：5； 算一算：如图3，当AD＝CD， ∴∠ACD＝∠A＝20°， ∴∠CDB＝40°， ∴①当CD＝BD时，∠B＝∠BCD＝70°； ②当CD＝BC时，∠B＝∠CDB＝40°； ③当BD＝BC时，∠B＝180°﹣40°﹣40°＝100°； 如图4，当AC＝AE，CE＝BE时， ∵∠A＝20°， ∴∠ACE＝∠AEC＝80°， ∴∠B＝∠BCE＝40°， 当AC=CE，CE=BE时， ∵∠A=20°， ∴∠AEC=∠A=20°， ∴∠B=10°， 综上所述，存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，∠B的度数为70°或40°或100°． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定与作图；特别注意利用分类讨论的方法，避免漏解． 24. 如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰直角三角形的性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是学会构建方程解决问题． （1）根据直线，平分，得出，结合即可得出的度数； （2）作，则，根据可得的值，分别用表示，即可求得的值，即可解题； （3）当点在点上方时，易得时，，分别用表示，即可求得的值； 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 作，， ∵平分，则， ， ， ，， ， 解得：； 当点在点右侧时，， ，解得． 【小问3详解】 ，， 当时，， 即，或， 解得：或舍弃， 答：，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年浙江省金华市永康市联盟八年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 以下是清华大学、北京大学、浙江大学、上海交通大学校徽的内部图案，其中轴对称图形是（ ） A. B. C. D. 2. 已知三角形三条边的长分别为、、，则的值可能是（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 下列命题是假命题的是（） A. 等腰三角形的两腰相等 B. 全等三角形的周长相等 C. 等腰三角形的对称轴是顶角平分线 D. 对顶角相等 4. 把不等式的解集在数轴上表示出来，正确的是（　　） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形的一边长为4，周长为20，则它的腰长为（ ）． A. 4 B. 8 C. 10 D. 4或8 6. 安装空调外机时一般会采用如图的方法固定，这是利用三角形的（ ） A. 全等性 B. 对称性 C. 美观性 D. 稳定性 7. 仔细观察用直尺和圆规作一个角的平分线示意图，请根据三角形全等有关知识，说明平分的依据是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，于点D，，E是斜边的中点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图是一块等腰三角形形状的铁皮，为底边，尺寸如图所示（单位：），根据所给的条件，可知该铁皮的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是学校举办的数学文化节设计的标志，在中，，以的边为边作三个正方形，点G落在上，若，空白部分的面积为，则阴影部分面积为（ ） A. B. 12 C. 15 D. 17 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 在，，，则的度数为_________． 12. 要证明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题可以举的反例是________. 13. 若，则_________(选择用适当的不等号填空) 14. 如图，与相交于点，，添加一个条件_____，使得．（填一个即可） 15. 如图，书架两侧摆放了若干本相同的书籍，左右两摞书中竖直放入一个等腰直角三角板，其直角顶点在书架底部上，当顶点落在右侧书籍的上方边沿时，顶点恰好落在左侧书籍的上方边沿，已知每本书长，厚度为，则两摞书之间的距离为__________． 16. 如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，． （1），则______________； （2）若，则的长为______________． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解一元一次不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来． 18. 三个顶点都在网格交点的三角形叫格点三角形 （1）在图1中画出一个面积为4的格点直角三角形； （2）在图2中画出一个面积为4的格点等腰三角形． 19. 如图，在中，是的角平分线，，若，． （1）求的度数； （2）求的度数． 20. 如图，，，垂足分别为，，，，求证：． 21. 某游乐园门票的价格为每人80元，20人以上（含20人）的团体票8折优惠 （1）一旅游团共18人，你认为他们买18张门票便宜还是多买2张，买20张购团体票便宜？ （2）如果旅游团不足20人，那么人数达到多少人时购团体票比购买普通门票更便宜？ 22. 已知如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB＝5厘米，BC＝13厘米，求线段CF，CE的长． 23. （1）如图1，线段OA的一个端点O在直线l上，且与直线l所成的锐角为50°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． （2）如图1，如果OA与直线l所成的锐角为60°，以OA为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点P在直线l上，这样的等腰三角形能画　 　个． 想一想：如图2，△ABC中，∠A＝20°，∠B＝50°，过顶点C作一条直线，分割出一个等腰三角形这样的直线最多可以画　 　条． 算一算：如图3，在△ABC中，∠BAC＝20°，若存在过点C的一条直线，能把该三角形分成两个等腰三角形，试求∠B的度数． 24. 如图，直线，平分，过点作交于点；动点、同时从点出发，其中动点以的速度沿射线方向运动，动点以的速度沿射线上运动；已知，设动点，的运动时间为． （1）试求的度数； （2）若，试求动点，的运动时间的值； （3）试问当动点，在运动过程中，是否存在某个时间，使得与全等？若存在，请求出时间的值；若不存在，请说出理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $