精品解析：江苏徐州市七校2026-2027学年第一学期期中检测九年级数学试题

徐州市七校2026—2027 学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，则轴与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 5. 若一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图， 是 的直径， ，则 的度数为( ) A. B. C. D. 7. 反比例函数 （）的图象如图所示，则 的值可能是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一平面直角坐标系中，若函数与（其中）的图象没有交点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 或 D. 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9. 若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是______． 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为 ，则的值为______． 11. 若一个扇形的弧长等于它的半径，则这个扇形的圆心角度数为　______（结果保留）． 12. 已知反比例函数 ，其图象所在的每一个象限内， 随 的增大而增大，则 的取值范围是　______． 13. 设 、 是方程 的两个根，则 ______． 14. 已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 ___． 15. 已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 16. 《增删算法统宗》中记载了“圆中方”问题：如图，有一块圆形田地，内部有正方形水池，且从水池边到圆周每边相距3步，圆内耕地的面积为72平方步．设正方形的边长是步，则可列方程为______． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象经过的顶点，点在轴上．若点，的面积为，则的值为　______． 18. 如图，矩形内接于，弧的度数为．若矩形的面积为，则的内接正八边形的面积为______． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 21. 一张长、宽的矩形纸板按如图方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成一个底面积为的有盖长方体纸盒，求剪去的小正方形的边长． 22. 如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； （2）在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 23. 如图，为直径，点在上，，垂足为，交于点，直线与的延长线交于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集为______； （3）点在轴上，连接、．若的面积为，求点的坐标． 25. 在中，，点是的中点，点是外一点，连接、、，且． （1）如图1，，点、在直线的两侧，则_____； （2）如图2，，点、在直线的同侧，连接．试探究：线段与、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，是的外接圆，点为上一点，连接、，若，，点在劣弧上，则面积的最大值为　______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 徐州市七校2026—2027 学年度第一学期期中检测 九年级数学试题 一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 3 分，共 24 分） 1. 一元二次方程的解是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用因式分解法直接解方程即可． 【详解】解：， 可得或， 解得：． 故选：C． 【点睛】此题考查了解一元二次方程，正确掌握解一元二次方程的方法及根据每个方程的特点选择恰当的解法是解题的关键． 2. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再在等式两边加上一次项系数一半的平方，将左边整理为完全平方形式即可得到结果． 【详解】解：∵ ， 移项得 ， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方，得， 整理得 ． 3. 在平面直角坐标系中，的圆心坐标为，半径为，则轴与的位置关系是（ ） A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 相交或相切 【答案】A 【解析】 【详解】解：圆心到轴（即直线）的距离为， 因为，即圆心到直线的距离大于半径， 所以轴与相离． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数a的值为（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个相等的实数根，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故选C． 5. 若一个扇形的半径为 ，圆心角为 ，则这个扇形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由扇形面积公式，得． 6. 如图， 是 的直径， ，则 的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先用圆周角定理求出，再用邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 7. 反比例函数 （）的图象如图所示，则 的值可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：图象的两支分别位于第二、四象限，所以． 过点 作坐标轴的垂线，则时图象上的点在点的下方， 即当时，，于是； 同理，时图象上的点在的下方，即，于是． 所以，选项中只有符合． 8. 在同一平面直角坐标系中，若函数与（其中）的图象没有交点，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】可根据两图象没有交点得到无解，则，可知、异号，于是等于与之差的绝对值，且，进而利用绝对值的性质逐项判断即可． 【详解】解：两图象没有交点，即方程没有实数解，也就是无解， 所以，即，A选项正确，不符合题意； 由可知、异号，于是等于与之差的绝对值， 而等于与之和，即． ①若，则小于、中较大的一个，C选项正确； 若，则，C选项仍正确，故C选项不符合题意； ②因为大于与之差的绝对值（时严格大于）， 所以，D选项正确，不符合题意； ③取，，此时，两图象没有交点，但， 说明“”不一定成立，B选项错误，符合题意． 二、填空题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分） 9. 若 是关于 的一元二次方程，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】解：一元二次方程要求二次项系数不为，即，所以． 10. 已知关于的一元二次方程的一个根为 ，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程得到关于m的方程，然后求解即可． 【详解】把代入方程，得， 解得． 11. 若一个扇形的弧长等于它的半径，则这个扇形的圆心角度数为　______（结果保留）． 【答案】 【解析】 【分析】设半径为、圆心角为，由弧长公式及进行求解即可． 【详解】解：设半径为、圆心角为，由弧长公式及得 ， ∴，即圆心角度数为． 12. 已知反比例函数 ，其图象所在的每一个象限内， 随 的增大而增大，则 的取值范围是　______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵在每一个象限内 随 的增大而增大， ∴图象的两支分别在第二、四象限， ∴， ∴． 13. 设 、 是方程 的两个根，则 ______． 【答案】 【解析】 【详解】解：由一元二次方程的根与系数的关系，，， 所以． 14. 已知等边三角形的边长为，则它的内切圆的半径为 ___． 【答案】1 【解析】 【分析】过点O作OD⊥AB，根据三角形内心的定义得∠OAD=∠OBD =30°，结合等腰三角形的性质，得AD =，进而即可得到答案． 【详解】解：如图所示，△ABC是等边三角形，O是△ABC的内心，过点O作OD⊥AB， ∵点O是等边三角形的内心， ∴∠OAD=∠OBD =30°， ∴OA=OB， ∵等边三角形的边长为， ∴AD=AB=， ∴ ，即它的内切圆的半径为：1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查三角形的内心的定义以及等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握三角形内心的定义和等腰三角形“三线合一”是解题的关键． 15. 已知P是内的一点，过点P的最长的弦长为，最短的弦为，则的长为_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题综合考查了垂径定理和勾股定理．解此类题目要注意将圆的问题转化成三角形的问题再进行计算． 根据圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦，由勾股定理和垂径定理求解即可． 【详解】解：如图， ∵圆内最长的弦为直径，最短的弦是过点且与这条直径垂直的弦， ∴，，， ∴，， 由勾股定理得：， 故答案为：． 16. 《增删算法统宗》中记载了“圆中方”问题：如图，有一块圆形田地，内部有正方形水池，且从水池边到圆周每边相距3步，圆内耕地的面积为72平方步．设正方形的边长是步，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】正方形水池的边长为步，由题意可得圆形田地的半径步，由耕地面积圆面积正方形面积列方程即可． 【详解】解：正方形水池的边长为步，从水池边到圆周每边相距步， 所以圆形田地的半径步． 由耕地面积圆面积正方形面积，得． 17. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数()的图象经过的顶点，点在轴上．若点，的面积为，则的值为　______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据的面积求出，可知点B向左移动个单位长度得到点A，从而求出点A的坐标，再将点A的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值． 【详解】解：由题意可知：， ∵， ∴点到x轴的距离， ∴， 解得：， ∴点A的坐标为，即， 把代入，得． 18. 如图，矩形内接于，弧的度数为．若矩形的面积为，则的内接正八边形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】方法一：设的半径为．因为弧的度数为，所以．作于，则是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质求得，进而可得，连接，，根据圆周角定理和矩形的性质矩形的对角线、都经过圆心，，则有，可求得，由正八边形的性质可得正八边形是由8个与全等的等腰三角形拼成，进而可求解． 方法二：由矩形的性质可得，又正八边形的每一条边所对的圆心角都是，它由8个与全等的三角形拼成，所以，不必求出半径． 【详解】方法一： 解：设的半径为．因为弧的度数为，所以． 作于，则是等腰直角三角形， 所以， 所以， 连接，，则矩形的对角线、都经过圆心，， 与等底等高，4 个三角形面积都等于， 所以，则 因为正八边形的中心角为， 所以正八边形由8个与全等的等腰三角形拼成， 所以． 方法二： 由矩形的对角线互相平分，，与等底等高， 所以矩形被两条对角线分成的4个三角形面积都等于，即． 正八边形的每一条边所对的圆心角都是，它由8个与全等的三角形拼成， 所以． 三、解答题（本大题共 7 小题，共 86 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：两边同除以，得:， 开平方得：或， 解得：，． 【小问2详解】 解：移项得：， 因式分解得：， 所以或， 解得，． 20. 已知与成反比例，且当时，． （1）求与之间的函数解析式； （2）当时，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，已知函数值求自变量的值． （1）根据题意设，把x，y的一组值代入求解k的值即可解答； （2）把代入（1）求得的解析式即可解答． 【小问1详解】 解：∵与成反比例， ∴设， ∵当时，， ∴， 解得， ∴与之间的函数解析式为． 【小问2详解】 解：当时，， 解得， 经检验，是该方程的解． 21. 一张长、宽的矩形纸板按如图方式裁去若干小正方形和小矩形，剩余部分(阴影部分)恰好做成一个底面积为的有盖长方体纸盒，求剪去的小正方形的边长． 【答案】 【解析】 【分析】设剪去的小正方形的边长为，先求出底面两边长，再根据底面积为列出方程求解即可． 【详解】解：设剪去的小正方形的边长为． 由图可知，纸盒的高为， 则底面的一边长为，另一边长为． 则， 解得：，． 当时，，不符合题意，舍去． 答：剪去的小正方形的边长为． 22. 如图，为边上一点．用直尺和圆规分别作出满足下列条件的．（保留作图痕迹，写出必要的文字说明） （1）在图①中，与的边相切于点，且与边也相切； （2）在图②中，与的边相切于点，与边相交于点，且． 【答案】（1） 如图，即为所作． 由切线的性质可知的圆心C与点O的连线平分， ∴作的角平分线，再过点P作的垂线，与的角平分线的交点即为点C，最后以点C为圆心，长为半径画圆即可； （2） 如图，即为所作． 根据切线的性质可过点P作的垂线，则圆心C在这条垂线上． 过点P作的垂线，交于点M， ∴． ∵， ∴． 再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C， 最后以点C为圆心，长为半径作圆，与交于点N． 【解析】 【分析】（1）结合切线的性质，即可得出圆心C与点O的连线平分，即作的角平分线，过点P作的垂线，两直线交点即可确定圆心C，即可解答； （2）结合切线的性质可过点P作的垂线，即确定圆心C所在直线．过点P作的垂线，交于点M，结合同角的余角相等，可证．再作线段的垂直平分线，与过点P作的垂线相交于点C，则点C即为圆心C，即可解答； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查作图—角平分线，作图—线段垂直平分线，作图—作圆，切线的性质，角平分线的判定定理，同角的余角相等，垂径定理等知识．根据切线的性质，结尺规作图的基本方法是解题关键． 23. 如图，为直径，点在上，，垂足为，交于点，直线与的延长线交于点，且平分． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 【答案】（1）证明：连接． ∵， ∴； ∵平分， ∴； ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 又∵是的半径， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，从而得到，继而得证； （2）证明得出，则，再用扇形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接． ∵，， ∴是等边三角形， 故． 由得， ∴． 又∵， ∴是等边三角形，． 而， ∴， ∴． ∴与同底且等高，． ∴． 由得，故． 24. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）观察图象，直接写出关于的不等式的解集为______； （3）点在轴上，连接、．若的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数解析式，求出，再将代入反比例函数解析式求出n，从而用待定系数法求一次函数解析式； （2）利用图象直接给出解集； （3）设直线交轴于点， ，先求出点D的坐标，再根据的面积为列出方程求出t，从而得解． 【小问1详解】 解：将代入，得， 所以反比例函数为． 将代入，得，即． 将、代入，得， 解得， 所以一次函数为． 【小问2详解】 解：由图象知，直线在双曲线下方(不含交点)的部分对应的的范围，即不等式的解集是或． 【小问3详解】 解：连接、． 设直线交轴于点，则， 设，则． ∵， ∴， 解得：或． ∴点的坐标为或． 25. 在中，，点是的中点，点是外一点，连接、、，且． （1）如图1，，点、在直线的两侧，则_____； （2）如图2，，点、在直线的同侧，连接．试探究：线段与、之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，，是的外接圆，点为上一点，连接、，若，，点在劣弧上，则面积的最大值为　______． 【答案】（1） （2）解：．理由如下： 由（1）得：、、、都在以为圆心的圆上，是直径， ∴． ∵， ∴． 又∵，， ∴，即平分． 作于，于，则， ∵，，，且， ∴四边形是正方形，． 在与中， ， ∴， ∴． 由图可知，， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得、、、都在以为圆心、为半径的圆上，根据得出，再求出，利用圆内接四边形对角互补求出即可； （2）利用同弧所对的圆周角相等得出，即平分，再作于，于，则，四边形是正方形，从而计算出．利用证明得到，结合，，得到，从而得解． （3）根据，算出半径和，利用勾股定理计算，过作平行线，过作的平行线的垂线，垂足为F，与交于点N，运用等面积法求出，由作图可知当垂直，即点D与点F重合时，点到的距离取最大值，最大距离为，再用三角形面积公式计算即可． 【小问1详解】 解：如图，连， ∵，是的中点， ∴； 又∵， ∴，即、、、都在以为圆心、为半径的圆上． 由得， ∴，． ∵点、在直线的两侧，与是圆内接四边形中相对的两个角， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，是外接圆， ∴是直径，，半径． ∵，是的中点， ∴， ∴，， ． 过作平行线，过作的平行线的垂线，垂足为F，与交于点N， 则垂直，，得． ∵为定值， ∴的面积取最大值时，点到的距离取最大值，即取最大值； ∴当垂直，即点D与点F重合时，点到的距离取最大值， 此时最大距离为． ∴的最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $