精品解析：江苏省徐州市云龙区2025-2026学年九年级上学期期中数学试卷

2025-2026学年江苏省徐州市云龙区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程，判断一元二次方程需同时满足三个条件：整式方程、只含一个未知数、未知数的最高次数为2． 根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程）进行判断． 【详解】解：A．，未知数x的最高次数为1，故不是一元二次方程； B．，只含一个未知数x，且x的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程； C．，含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程； D．，含有两个未知数x和y，故不是一元二次方程； 故选：B． 2. 若的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 点在圆内或圆上 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键．根据点与圆的位置关系，比较点到圆心的距离与圆的半径大小即可判断． 【详解】解：的半径为，点到圆心的距离为， 且， 点在圆内． 故选：C． 3. 若用配方法解一元二次方程时，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程配方法，解题的关键是熟练掌握配方法的步骤． 先把常数项移到右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，配成完全平方公式即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 4. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求二次函数的顶点坐标，解题关键是掌握二次函数的顶点是．直接由二次函数解析式求解即可． 【详解】解：∵ ∴抛物线的顶点坐标为， 故选：B． 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，通过计算二次函数值或利用抛物线开口向下的性质，比较各点到对称轴的距离，距离越近则函数值越大，解题的关键掌握二次函数图象的性质． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为，开口向下， ∴点到对称轴的距离越小，函数值越大， ∵点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点 到对称轴的距离为， ∴， ∴， 故选：． 7. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了增长率问题(一元二次方程的应用)，根据题意求出第二天和第三天的票房即可求解． 【详解】解：由题意得：第二天的票房为亿元，第三天的票房为亿元， ∴ 故选：D． 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握抛物线与x轴的交点，二次函数图象与系数之间的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的运用，是解题的关键．由二次函数的开口方向，对称轴，以及二次函数与y的交点在x轴的上方，与x轴有两个交点等条件来判断各结论的正误即可． 【详解】解：①对称轴在y轴的右边， 、b异号． 抛物线与y轴交于负半轴， 故①不正确； ②二次函数与x轴有两个交点， ， 故②正确； ③观察图象，当时，函数值， 故③不正确； ④观察图象，当时，函数值， 故④正确． 综上，其中正确的个数是2， 故选：B． 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 方程的实数解是___________． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 通过因式分解法求解一元二次方程即可． 【详解】解：， ， 或， 解得，． 故答案为：，． 10. 若是方程的一个根，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握一元二次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查函数图象的平移，熟练掌握函数图象平移规律是解题的关键，根据二次函数图象平移规律“左加右减，上加下减”进行求解． 【详解】解：将抛物线向左平移2个单位，得：； 再向下平移1个单位，得：， 故答案为：． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 _________． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程，反过来，通过抛物线与轴的交点坐标确定关于的一元二次方程的解． 利用抛物线与轴的交点问题得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， 即， ． 故答案为：2025． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质定理、四边形内角和以及圆周角定理，连接，根据切线的性质定理可知，利用内角和为直接计算即可． 【详解】解：连接， 分别与相切于两点， ， ， 是四边形， 内角和为， ， ， 分别是弧所对的圆周角和圆心角， ． 故答案为：． 14. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆的基本概念，网格与勾股定理，作垂线，垂直平分线的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先作图找出圆心，再运用网格与勾股定理性质列式计算，即可作答． 【详解】解：如图：分别连接和，再作它们的垂直平分线，交于一点O，该点即为该圆弧所在圆的圆心，连接， 结合网格特征，得出， ∴， ∴该圆弧所在圆的半径为， 故答案为：． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，解题的关键是方程有两个不相等的实数根，则，即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 故答案为：且. 16. 用一个圆心角为，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．根据题意，扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面半径为， 依题意，， 解得：， 故答案为：10． 17. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查抛物线的对称性，二次函数图象与轴的交点，熟练掌握以上知识点是做题的关键．根据抛物线的对称性，求出与轴的交点坐标，代入解析式求解即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线， 又抛物线与轴的两个交点之间的距离为， 交点的横坐标分别为：和， 将点代入解析式， 得， 即， 解得，． 故答案为：． 18. 已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先证明≌得到，进而证得，利用圆周角定理得到点M在以AD为直径的圆上运动，如图，设圆心为N，连接相交于O，连接，利用正方形的性质和圆周角定理得到点O在圆N上，根据图形结合已知得到在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动，由线段扫过的面积求解即可． 【详解】解：正方形边长为2， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ， ， 点M在以为直径的圆弧上运动， 如图，连接相交于O，设圆心为N，连接，则，，， ， 点O在圆N上， ，， ，， 当点E在点A处时，点F在点B处，这时点M在点A处，当点E在点B处时，点F在点C处，这时点M在点O处， 在点E从点A运动到点B的过程中，点M在劣弧上运动，点F在上运动， 线段FM扫过的面积是， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，圆周角定理，轨迹，正确地添加所需要的辅助线，得到点M的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共7小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了公式法求解一元二次方程，因式分解法求解一元二次方程，解题关键是掌握上述一元二次方程求解方法． （1）用公式法求解； （2）用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：， ，，， ， ， 即，； 【小问2详解】 ， 移项，得， 所以， 所以或， 解得：，． 20. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 即． ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查的是弧，弦，圆心角之间的关系定理； （1）先证明即可得到结论； （2）由证明即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ． 21. 抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． （1）点C坐标为_________，顶点坐标为_________； （2）当x满足时，y的取值范围是_________； （3）当y满足时，x的取值范围是_________． 【答案】（1），； （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （3）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：把代入得，， 解得，， ∴当时，或， 故答案为：或． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ， ， ， ，， ， 即， ， 是半径， 为的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，熟记切线的判定定理是解题的关键． （1）连接，根据等边对等角结合对顶角相等即可推出结论； （2）设的半径，则，，在中，由勾股定理得得出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设的半径，则， ， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得，或舍去， 的半径为． 23. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）售价应定为元 （3）售价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程实际应用，二次函数最值问题，熟练掌握一次函数的数量关系式，一元二次方程实际应用，二次函数顶点式求最值是解此题的关键． （1）根据“当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件”，即可列出与的函数关系式； （2）根据题意列出一元二次方程，解方程即可得到答案； （3）先表示出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解：设该商品的销售单价为元，每天销量为件， 由题意可得：， ∵销售单价不能超过元， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由题意可得，， 整理可得，， 解得，，（不符合题意，舍去）， ∴商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为元． 【小问3详解】 解：设商场每天销售利润为元， 由题意可得：， ∵， ∴抛物线开口向下，当时，随着的增大而增大， ∵， ∴当时，最大，此时， ∴销售单价为元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大，最大利润是元． 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 【答案】（1），顶点D坐标为 （2）存在， （3）点E坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）先将点，代入求得抛物线解析式，再求出顶点坐标； （2）先利用对称性求得，从而可得，再求出点B关于y轴对称点，从而可得，于是可得周长， 当且仅当B、M、D三点共线时取等，再求得直线表达式为，从而可求得； （3）分两种情况：、，再利用两点距离公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：将点，代入得， ， 解得， ∴抛物线的表达式为， ， ∴对称轴为直线，当时，， ∴顶点D坐标为； 【小问2详解】 存在，； ∵，对称轴为直线，与是关于对称轴对称的对应点， ∴， ∴， 作点B关于y轴对称点， 则， ∴周长 ， 当且仅当B、M、D三点共线时取等， 设的解析式为， ∵和， ∴， 解得：， ∴直线表达式为， 令，得， ∴； 【小问3详解】 设点， 则，，， 由题意可分两种情况： ①，即， 解得：， ∴或； ②，即， 解得：， ∴或； 综上，点E坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，把化成顶点式，利用二次函数对称性求最短路径，特殊三角形问题(二次函数综合)等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 25. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 【答案】（1） （2）如图，. （3）的最小值. （4）长的范围是 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、尺规作图、几何图形最值问题（面积最值、线段最值）及矩形的性质，解题的关键是将角度条件转化为圆周角与圆心角的关系，利用圆的性质确定点的轨迹，结合几何图形特征计算最值和范围． （1）①由圆周角定理得；②利用等腰直角三角形性质求半径；③确定P在中垂线上时面积最大，计算高的长度得面积最大值． （2）①以为圆心，长为半径画弧交于圆心O（构造）；②以为圆心画圆，交矩形两边得弧，弧上点即为 Q． （3）①计算圆心O到点D的距离；②利用圆外一点到圆上点的最短距离公式，得最小值半径． （4）①将面积最小值转化为的最小值，结合圆的半径和勾股定理得；②确定H点位置范围，得出的范围为． 【详解】（1）分别为的圆心角和圆周角， ∴ 所在的圆的半径长 当点P在的中垂线上时，面积的最大， 延长交于点G，则，在等腰中，， 则 ∴ 则面积的最大值 故答案为：． （2）分别以点为圆心，以长度为半径作弧，交于点O，以O为圆心，长度为半径作圆O，分别交于点，则上的任意点即为点Q； （3）当点共线时，最小，连接，过点O作，作于点G，作于点T，由（2）知，， ∴ ∴ ∴，而圆的半径为4， 则的最小值． （4）∵的面积 ∴而则， ∴ 则 即若的面积的最小值为 则长的范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年江苏省徐州市云龙区九年级（上）期中数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列方程中是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若的半径为，点到圆心的距离为，则点与的位置关系是（ ） A. 点在圆外 B. 点在圆上 C. 点在圆内 D. 点在圆内或圆上 3. 若用配方法解一元二次方程时，可变形为（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的顶点坐标是( ) A. B. C. D. 5. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 6. 已知点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 电影《志愿军》不仅讲述了中国人民志愿军抗美援朝的故事，更是通过鲜活生动的人物塑造，让观众体会到历史事件背后的人性和情感，一上映就获得全国人民的追捧．某地第一天票房约3亿元，若以后每天票房按相同的增长率增长，三天后票房收入累计达亿元，若把增长率记作x，则方程可以列为（　　） A. B. C. D. 8. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分． 9. 方程的实数解是___________． 10. 若是方程的一个根，则的值等于______． 11. 将抛物线先向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线解析式为_______． 12. 已知抛物线与x轴的一个交点为， 则代数式的值为 _________． 13. 如图，分别与相切于两点，，则______． 14. 在的网格中，每个小正方形的边长为1，网格线的交点记为格点．若一圆弧过格点，则该圆弧所在圆的半径为______． 15. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_______． 16. 用一个圆心角为，半径为30的扇形作一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 17. 抛物线与轴的两个交点之间的距离为，则的值是_______． 18. 已知正方形边长为2，点E是正方形边上的动点，点F在边上，，线段相交于点M，连接，则点E从点A运动到点B的过程中，线段扫过的面积是_______． 三、解答题：本题共7小题，共76分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 19. 解方程： （1）； （2）． 20. 已知：如图，、、、是上的点，，． （1）求证：； （2）求的长． 21. 抛物线的图象与x轴交于A、B两点，点A在B左侧，与y轴交于点C． （1）点C坐标为_________，顶点坐标为_________； （2）当x满足时，y的取值范围是_________； （3）当y满足时，x的取值范围是_________． 22. 如图，为的直径，交于点，为上一点，延长交于点，延长至，使，连接． （1）求证：为的切线； （2）若且，求的半径． 23. 某商场销售一种商品，每件进价为元．调查发现，当销售单价为元时，平均每天可以销售件；而当销售单价每提高元时，平均每天销量将会减少件，且物价部门规定：销售单价不能超过元．设该商品的销售单价为元，每天销量为件． （1）请直接写出与的函数关系式； （2）商场要想每天获得元的销售利润，销售单价应定为多少元？ （3）销售单价为多少元时，该商场每天销售这种商品所获的利润最大？最大利润是多少？ 24. 如图，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点，其顶点为． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标． （2）在y轴上是否存在一点M，使得的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若在y轴上存在一点E，使为等腰三角形，请直接写出以为腰时点E的坐标． 25. 【问题】研学单上有这样一个问题：有一张矩形纸片，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上……，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1）______；所在的圆的半径长为______；面积的最大值______． 【类比】 请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点Q，且． （2）请在纸片上画出所有满足条件的Q（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）连接，求线段的最小值； （4）过点Q作，垂足为H．若的面积的最小值为，请直接写出长的范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $