广东省茂名市信宜市2026-2027学年高一上学期11月期中考试数学试题

2026—2027学年度第一学期期中考试 高一数学　参考答案与解析 全卷满分150分　考试用时120分钟 答案速查 题号 答案 题号 答案 1 D 8 C 2 A 9 ACD 3 D 10 BD 4 C 11 ABD 5 B 12 3 6 A 13 (0，3] 7 B 14 {3，4，5，6} 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．【答案】D 【解析】由－3＜x－2＜2得－1＜x＜4，即P＝(－1，4)。Q中满足－1＜x＜4的元素为0，1，2，故P∩Q＝{0，1，2}。 2．【答案】A 【解析】全称量词命题的否定是存在量词命题，否定时“改量词、否结论”：量词“∀”改为“∃”，结论“＜0”改为“≥0”，得“∃x∈R，x²－x＋1≥0”。B项只改量词未否结论；D项把“x∈R”改成“x∉R”，改变了变量的取值范围。 3．【答案】D 【解析】需同时满足两个条件：①(2x－3)⁰有意义，则2x－3≠0，即x≠3/2；②√(x＋3)在分母上，则x＋3＞0，即x＞－3。两者取交集，定义域为(－3，3/2)∪(3/2，＋∞)。C项误把x＝－3取到，而x＝－3时分母为0。 4．【答案】C 【解析】1≥0，用第二段递推：f(1)＝f(1－2)＝f(－1)；此时－1＜0，用第一段：f(－1)＝(－1)²－(－1)＝1＋1＝2。 5．【答案】B 【解析】A项y＝1/x是奇函数，但在(－∞，0)和(0，＋∞)上分别递减，在整个定义域上不单调（如f(－1)＝－1＜f(1)＝1），不符合；B项y＝－x既是奇函数，又在R上单调递减，符合；C项y＝x³是奇函数但单调递增；D项y＝－x²＋1是偶函数。 6．【答案】A 【解析】当a≤0时，A＝∅，必有A⊆B；当a＞0时，A＝(0，a)，A⊆B⇔a≤2。故A⊆B⇔a≤2。由0≤a≤2能推出A⊆B；但A⊆B时a可以小于0（如a＝－1），推不出0≤a≤2。所以“0≤a≤2”是“A⊆B”的充分不必要条件。 7．【答案】B 【解析】由解集为[1，2]知a＜0，且1，2是方程ax²＋bx＋c＝0的两根。由韦达定理：1＋2＝－b/a，得b＝－3a；1×2＝c/a，得c＝2a。代入cx²－bx＋a＜0得2ax²＋3ax＋a＜0，两边除以a（a＜0，不等号反向）：2x²＋3x＋1＞0，即(2x＋1)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞－1/2。 8． 【答案】C 【解析】由f(－x)＝f(x)知f(x)为偶函数，故定义域关于原点对称：1－2a＝－a，得a＝1，定义域为[－1，1]。又∀x₁，x₂∈[0，1]，x₁≠x₂时[f(x₁)－f(x₂)]/(x₁－x₂)＜0，说明f(x)在[0，1]上单调递减（x增大时函数值减小）。对偶函数而言，在[0，1]上递减时f(u)≤f(v)⇔|u|≥|v|（u，v∈[－1，1]）。先由定义域限定：－1≤2x－1≤1得0≤x≤1；－1≤3x≤1得－1/3≤x≤1/3，取交得0≤x≤1/3。再由|2x－1|≥|3x|，两边平方得(2x－1)²≥9x²，即5x²＋4x－1≤0，(5x－1)(x＋1)≤0，解得－1≤x≤1/5。两条件取交集，得0≤x≤1/5，故选C。 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．【答案】ACD 【解析】A项是不等式的可加性，正确。B项当c＝0时ac²＝bc²＝0，不成立，错误。C项a＞b＞0时，a＋b＞0且a－b＞0，a²－b²＝(a＋b)(a－b)＞0，正确。D项a＜b＜0时，a－b＜0且a＜0，b＜0：a²－ab＝a(a－b)＞0，故a²＞ab；ab－b²＝b(a－b)＞0，故ab＞b²，所以a²＞ab＞b²，正确。 10．【答案】BD 【解析】A项错误：f(x)的定义域为R，而g(x)需x＋1≥0，即x≥－1，两者定义域不同，不是同一个函数。 【解析】B项正确：m＝0时方程化为1＝0，无解，命题为假；m≠0时需Δ＝4m²－4m≥0，即m≤0或m≥1，结合m≠0得m＜0或m≥1。C项错误：当a＝0时f(x)＝1，定义域也是R，故a的范围应为0≤a≤1（漏掉了a＝0）。（a＞0时需Δ＝4a²－4a≤0，即0＜a≤1。）D项正确：y＝(2x＋3)/(x－1)＝2＋5/(x－1)，因5/(x－1)≠0，所以y≠2，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)。 11．【答案】ABD 【解析】A项：ab＝(1/2)·a·(2b)≤(1/2)·[(a＋2b)/2]²＝(1/2)·(1/4)＝1/8，当a＝1/2，b＝1/4时取到，正确。B项：由a＋2b＝1得b＝(1－a)/2，a∈(0，1)，则a/b＋2/a＝2a/(1－a)＋2/a。作差：2a/(1－a)＋2/a－6＝[2a²＋2(1－a)－6a(1－a)]/[a(1－a)]＝2(2a－1)²/[a(1－a)]≥0，当a＝1/2，b＝1/4时取等号，最小值为6，正确。C项：a＋b＋ab＝(1－2b)＋b＋(1－2b)b＝1－2b²。因b＞0，故1－2b²＜1，只能无限接近1而取不到，没有最大值，错误。D项：(√a＋√(2b))²＝a＋2b＋2√(2ab)＝1＋2√(2ab)≤1＋(a＋2b)＝2，故√a＋√(2b)≤√2，当a＝1/2，b＝1/4时取到，正确。 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．【答案】3 【解析】设f(x)＝x^α，由8^α＝2即2^(3α)＝2得α＝1/3，所以f(x)＝x^(1/3)，f(27)＝27^(1/3)＝3。 13．【答案】(0，3] 【解析】三处同时成立：①x＜1时ax＋1须递增，故a＞0（a＝0时该段为常数，不严格递增）；②x≥1时2x²－ax＋5须递增，其对称轴x＝a/4≤1，得a≤4；③衔接处，左段的上确界a＋1不超过右段的最小值f(1)＝7－a，即a＋1≤7－a，得a≤3。综上0＜a≤3。 14．【答案】{3，4，5，6} 【解析】f(x)＝(x²＋2)/x＝x＋2/x。设2≤x₁＜x₂≤6，则f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)(1－2/(x₁x₂))，因x₁x₂≥4＞2，1－2/(x₁x₂)＞0，故f(x₁)＜f(x₂)，f(x)在[2，6]上单调递增。f(2)＝2＋1＝3，f(6)＝6＋1/3＝19/3，所以f(x)∈[3，19/3]。由f(x)连续且递增，其取值覆盖[3，19/3]中的一切实数，故[f(x)]可取3，4，5，6（[19/3]＝6），值域为{3，4，5，6}。 四、解答题（共77分） 15． 解：（1）A＝[2，7)，B＝(1，9)。 A∩B＝[2，7)；A∪B＝(1，9)。 （2）∁ᵤA＝(－∞，2)∪[7，＋∞)，∁ᵤB＝(－∞，1]∪[9，＋∞)。 所以(∁ᵤA)∩B＝(1，2)∪[7，9)； (∁ᵤA)∩(∁ᵤB)＝∁ᵤ(A∪B)＝(－∞，1]∪[9，＋∞)。 评分参考：（1）A∩B、A∪B各3分，共6分；（2）(∁ᵤA)∩B 3分，(∁ᵤA)∩(∁ᵤB) 4分，共7分。 16．解：（1）当m＝3时，f(x)＝x＋3/x，f(4)＝4＋3/4＝19/4。 f(x)为奇函数，理由如下：f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，且f(－x)＝－x＋3/(－x)＝－(x＋3/x)＝－f(x)，所以f(x)是奇函数。 （2）当m＝－2时，f(x)＝x－2/x在(0，＋∞)上单调递增。证明： 任取x₁，x₂∈(0，＋∞)，且x₁＜x₂，则 f(x₁)－f(x₂)＝(x₁－x₂)＋(－2/x₁＋2/x₂)＝(x₁－x₂)＋2(x₁－x₂)/(x₁x₂)＝(x₁－x₂)[1＋2/(x₁x₂)]。 因为0＜x₁＜x₂，所以x₁－x₂＜0，x₁x₂＞0，1＋2/(x₁x₂)＞0， 故f(x₁)－f(x₂)＜0，即f(x₁)＜f(x₂)，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增。 评分参考：（1）f(4) 2分，奇偶性判断1分、定义域与f(－x)＝－f(x)的说明4分，共7分；（2）结论2分，作差变形3分，符号判断与结论3分，共8分。 17．解：（1）生产成本为x万元，故f(x)＝R(x)－30－x，即 f(x)＝{－x²＋34x－30，0＜x＜42；302－x－1681/(x－30)，x≥42}。 （2）当0＜x＜42时，f(x)＝－(x－17)²＋259， 因为17∈(0，42)，所以当x＝17时f(x)取得最大值259。 当x≥42时，令t＝x－30，则t≥12，f(x)＝272－t－1681/t＝272－(t＋1681/t)。 因为t＋1681/t－82＝(t²－82t＋1681)/t＝(t－41)²/t≥0，所以t＋1681/t≥82， 从而f(x)≤272－82＝190，当且仅当t＝41即x＝71时取等号（71≥42）。 比较得259＞190，故当年产量为17万斤时，年利润最大，最大值为259万元。 评分参考：（1）两段解析式各3分，共6分；（2）第一段配方求最值4分，第二段换元与取等条件3分，比较并作答2分，共9分。 18．解：（1）当a＝－1时，y＝－x²＋2x＋3， 由y＜0得x²－2x－3＞0，即(x－3)(x＋1)＞0，解得x＜－1或x＞3， 所以解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞)。 （2）当a＝0时，y＝3＞0对任意x恒成立，符合； 当a≠0时，需a＞0且Δ＝4a²－12a＜0，解得0＜a＜3；当a＜0时抛物线开口向下，不可能恒正。 综上，a的取值范围是[0，3)。 （3）由y≤x＋1得ax²－(2a＋1)x＋2≤0，其判别式Δ＝(2a＋1)²－8a＝(2a－1)²≥0， 两根为x₁＝2，x₂＝1/a。 当a＝1/2时Δ＝0，不等式仅当x＝2时成立，只有1个整数解，不合题意。 当a＞1/2时，1/a＜2，解集为[1/a，2]，其中的整数为满足1/a≤x≤2的整数。要恰有2个整数解，须1/a≤1，即a≥1（此时整数解为1，2）。 当0＜a＜1/2时，1/a＞2，解集为[2，1/a]，其中的整数为2，3，…，[1/a]。要恰有2个整数解，须3≤1/a＜4，即1/4＜a≤1/3（此时整数解为2，3）。 综上，a的取值范围是(1/4，1/3]∪[1，＋∞)。 评分参考：（1）解集5分；（2）a＝0的情形2分，a＞0且Δ＜0的讨论3分，结论1分，共6分；（3）因式分解与两根3分，两种位置关系讨论各2分，取等与结论1分，共6分。 19．解：（1）设x∈[－2，0)，则－x∈(0，2]，g(－x)＝－(－x)²＋2(－x)＝－x²－2x。 因g(x)为奇函数，g(x)＝－g(－x)＝x²＋2x；又g(0)＝0（由g(0)＝－g(0)得）。 所以g(x)＝{x²＋2x，－2≤x＜0；－x²＋2x，0≤x≤2}。 （2）当x∈(0，2)时，g(x)＝－x²＋2x，方程化为－x²＋2x＝－m(x＋1)， 因x＋1＞0，整理得m＝(x²－2x)/(x＋1)＝(x＋1)＋3/(x＋1)－4，x∈(0，2)。 令t＝x＋1∈(1，3)，则m＝t＋3/t－4。由对勾函数性质，t＋3/t在(1，√3)上递减、在(√3，3)上递增，故t＋3/t≥2√3（t＝√3时取等），即m≥2√3－4。 又当x→0⁺时m→0，当x→2⁻时m→0，即m＝0时方程的两根为x＝0与x＝2，均不在(0，2)内。 所以当m∈(2√3－4，0)时，直线y＝m与曲线在(0，√3－1)、(√3－1，2)上各有一个交点，恰有两个不等实根；m＝2√3－4时只有一解。 故m的取值范围是(2√3－4，0)。 （3）设[a，b]⊆[－2，2]，a＜b。因[1/b，1/a]是区间且有1/b＜1/a，故a，b同号。 情形一：0＜a＜b≤2。 ①若b≤1，g(x)在[a，b]上递增，值域为[g(a)，g(b)]＝[1/b，1/a]，则g(a)＝1/b。但0＜a＜1时g(a)＝a(2－a)＜1≤1/b（因b≤1），矛盾，无解。 ②若a≥1，g(x)在[a，b]上递减，值域为[g(b)，g(a)]＝[1/b，1/a]，则g(b)＝1/b且g(a)＝1/a。 由x(2－x)＝1/x得x³－2x²＋1＝0，即(x－1)(x²－x－1)＝0，解得x＝1或x＝(1＋√5)/2（负根舍去）。 取a＝1，b＝(1＋√5)/2，此时g(1)＝1＝1/a，g(b)＝1/b，符合。 ③若a＜1＜b，则最大值g(1)＝1＝1/a，得a＝1，与a＜1矛盾，无解。 情形二：－2≤a＜b＜0。 ①若b≤－1，g(x)在[a，b]上递减，同理g(b)＝1/b，g(a)＝1/a。 由x(x＋2)＝1/x得x³＋2x²－1＝0，即(x＋1)(x²＋x－1)＝0，解得x＝－1或x＝－(1＋√5)/2（正根舍去）。 取a＝－(1＋√5)/2，b＝－1，符合要求。 ②若a≥－1，g(x)在[a，b]上递增，需g(b)＝1/a；但b∈(－1，0)时g(b)＝b(b＋2)∈(－1，0)，故1/a∈(－1，0)，得a＜－1，与a≥－1矛盾，无解。 ③若a＜－1＜b，则最小值g(－1)＝－1＝1/b，得b＝－1，与a＜－1＜b矛盾，无解。 综上，g(x)在定义域内的“倒域区间”为[－(1＋√5)/2，－1]和[1，(1＋√5)/2]。 评分参考：（1）x∈[－2，0)的解析式3分，g(0)＝0与分段形式2分，共5分；（2）转化为m关于x的函数3分，单调性与最小值2分，端点与结论1分，共6分；（3）正、负两种情形各3分，共6分。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027 学年度第一学期期中考试 高一数学 说明：本试卷共4页，全卷满分150分，考试用时120分钟。 注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：选出每小题答案后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若集合P={x|-3<x-2<2} Q={-1,0,1,2,4}，则P∩Q=() A. {-1,0,1,2,4} B. {-1,0,1,2} C. {0,1,2,4} D. {0,1,2} 2．命题“∀x∈R ”的否定是 ( ) A.∃x∈R, B.∀x∈R, C.∃x∉R D.∃x∉R, 3．函数的定义域为 ( ) A. [-3,+∞) B. (-∞,-3)∪(-3,+∞) C. D. 4．已知函数 则f(1)=() A.0 B.1 C.2 D.3 5．下列函数既是奇函数又在定义域上单调递减的是 ( ) A. B. y=-x C. D. 6．已知集合 A={x|0<x<a} B={x|-1<x<2}，则 0≤a≤2 是“ A⊆B" 的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 期中试数学试卷第1页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 7．已知关于x的不等式的解集为{x|1≤x≤2}，则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 8．已知函数f(x)是定义在[1-2a,a]上的函数，且满足f(-x)=f(x) ，当时，，则不等式f(2x-1)≤f(3x)的解集为 ( ) A. (-∞,-1] B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．下列命题正确的是 ( ) A.若a>b，则a+c>b+c B.若a>b>0，则 C.若a>b>0，则 D.若a<b<0，则 10．下列说法正确的是 ( ) A.函数f(x)=x+1与是同一个函数 B.若命题p：“”为真命题，则实数m的取值范围是m<0或m≥1 C.函数的定义域为R，则实数a的取值范围是0<a≤1 D.函数的值域为(-∞,2)∪(2,+∞) 11．已知a>0, b>0, a+2b=1，则下列说法正确的是 ( ) A.ab的最大值为 B. 的最小值为6 C. a+b+ab的最大值为1 D. 的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知幂函数y=f(x)的图象过点（8,2)，则f(27)= 13．若函数在R上为增函数，则实数a取值范围为 14．设x∈R,，用［x］表示不超过x的最大整数， y=[x]称为高斯函数.例如： [π]=3 [-5.1]=-6已知函数，则函数y=[f(x)]的值域为 期中试数学试卷第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分）已知全集U=R，集合A=(x|2≤x<7), B=(x|1<x<9) （1）求AB;AUB （2）求 16.(15分）已知函数 （1）若m=3,求f(4)的值，并判断函数f(x)的奇偶性且说明理由； （2）若m=-2，判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性，并用定义证明. 17. (15分）信宜大力发展特色水果产业，返乡青年开办三华李加工厂．已知工厂每年固定成本为30万元，每生产1万斤三华李加工产品，需投入生产成本1万元，记每年产量为x万斤．已知年收入（万元）满足函数： 记该工厂的年利润为f(x)万元（年利润＝年收入-固定成本-生产成本）. （1）写出年利润f(x)（万元）关于年产量x（万斤）的函数关系式； （2）求该加工厂年利润的最大值． 期中试数学试卷第3页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 18.(17分）已知 (1)当a=-1，求y<0的解集： （2）若对于任意实数x，y>0恒成立，求实数a的取值范围； (3)当a>0时，关于x的不等式y≤x+1有且只有2个整数解，求实数a的取值范围． 19.(17分）若函数f(x)在区间[a,b]上的值域恰为，则称区间[a,b]为f(x)的一个“倒域区间”.已知定义在[-2,2]上的奇函数g(x)，当x∈[0,2]时， （1）求g(x)的解析式： （2）若关于x的方程g(x)=-mx-m在(0,2)上恰有两个不相等的根，求m的取值范围： （3） 求函数g(x）在定义域内的所有“倒域区间”. 期中试数学试卷第4页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $