专题13角的度量.运算与余补角复习讲义 (核心重点+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年浙教版七年级数学上册

专题13角的度量.运算与余补角复习讲义 1.会认角：掌握角的概念（静态与动态两种定义），认识角的顶点、边、内部、外部 2.会表示：用 ∠AOB、∠O、∠α、∠1 等符号规范表示角，能判断表示方法的正误 3.会换算：掌握角的度量单位度、分、秒，能进行度分秒之间的换算与运算 4.会比大小：会用度量法、叠合法比较两个角的大小，理解角的平分线概念 5.会算和差：能结合图形进行角的和与差的计算，会利用角平分线、n 等分线求角度 6.明余补：掌握余角与补角的概念，会求一个角的余角与补角 7.明性质：理解“同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等”，并能用于推理 8.通语言：文字语言、图形语言、符号语言三者互化，会进行简单的角度推理计算 9.破易错：角的表示规范、度分秒六十进制、余补角与角的位置无关只与大小有关、∠O 表示法仅在顶点只有一个角时可用 10.练思维：体会数形结合与方程思想（设未知角列方程求角度），养成严谨的几何表达习惯 一句话总目标：认得清角、表示得规范、换算得准确；会比较、会算角的和差与平分线；会求余补角并用其性质做简单推理。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 角的单位与角度制 ★★ 题型六 角度的四则运算 ★★ 题型七 方向角的表示 ★★ 题型八 与方向角有关的计算题　 ★★★ 题型九 角的比较 ★★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十三 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十四 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型十五 求一个角的余角 ★ 题型十六 求一个角的补角 ★ 题型十七 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型十八 同（等）角的余（补）角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 角的两种定义 1.静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 3.特殊角（旋转生成） 平角：射线旋转至和始边成一条直线，平角=180 周角：射线旋转一周回到起始位置，周角=360 ⚠️注意：平角不是直线，周角不是射线，角必须包含顶点与两条边。 知识点 02 角的四种表示方法 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点 04角的度量与单位换算 角度单位：度、分'、秒'' ，60 进制 1=60'，1'=60'' 拓展：1=3600'' 换算两类题型： 高级单位→低级单位：乘 60； 低级单位→高级单位：除以 60。 知识点05：角的大小比较 1.度量法：用量角器测出角度数值，数值越大，角越大； 2.叠合法（几何标准方法） ① 顶点重合；② 一条边重合；③ 另一条边落在同侧，观察另一边位置： 另一边在内部→角更小；另一边在外部→角更大。 ⚠️核心结论：角的大小只与两条边张开程度有关，与边的长短无关（角的边是射线，可以无限延长）。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点09：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 角的定义理解 认为延长射线能改变角大小；平角是直线 角大小只和张开幅度有关；平角有顶点，不是直线 角的表示 顶点多个角时只用单个字母表示；字母顺序乱写 多个角时禁止单用一个大写字母；顶点字母写中间 角度单位换算 使用 10 进制换算，1=10' 角度为 60 进制，满 60 进 1，不足借 1 当 60 角平分线几何语言 只会看图，不会规范书写推理式子 熟练写出 ∠AOC= ∠AOB倍数关系式 互余互补概念 认为互余的角必须挨在一起；钝角有余角 互余互补只看数量和，与位置无关；钝角没有余角 性质混淆 分不清 “同角” 和 “等角” 的余角、补角性质 同角：共用一个角；等角：角度相等的两个角，性质通用 角度运算 加减时分、秒计算不进位、不借位 度分秒分开运算，严格遵守 60 进制进退位 题型一　角的概念理解 1．下列说法正确的是（     ） A．由两条射线组成的图形叫作角 B．角的大小与角的两边长度有关 C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 【答案】C 【分析】根据角的定义判断各选项的正误即可． 【详解】解：因为组成角的两条射线需有公共端点， 所以A选项说法错误，不符合题意； 因为角的大小与两边的长度无关，所以B选项说法错误，不符合题意； 因为角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形，所以 C说法正确，符合题意； 因为用放大镜看角时角的度数不变，所以D说法错误，不符合题意． 2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 【答案】 锐 3 9 【分析】根据钟面上各时间时针和分针的位置关系分别解答即可． 【详解】解：3：30时，钟面上时针和分针组成的角是锐角；3时整或9时整，时针和分针的夹角是直角． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 【答案】B 【分析】本题考查了角的定义，掌握角的定义是解题的关键．分别数出以、、……为一边的角的个数，然后相加即可． 【详解】解：以 为一边的角有7个， 以 为一边的角有6个， 以 为一边的角1个． 共有角 个 ． 去掉 直角 ，还有27个． 故答案为：B． 题型二　角的表示方法 4．如图，下列对图中各个角的表达方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据角的表示方法直接判断即可． 【详解】解：由图可知，点C是两个角的共同顶点，因此的表示方法不正确， 故选B． 【点睛】本题考查角的表示方法，解题的关键是掌握“当两个或两个以上的角有一个共同顶点时，即一个顶点对应着若干个角，这时则不能使用一个大写字母表示该角”． 5．如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】根据角的定义，理清图示意思即可求解． 【详解】解：先数出以为一边的角，再数出以、、为一边的角，把他们加起来． 也可根据公式：来计算，其中，指从点发出的射线的条数． ∵图中共有四条射线， ∴图中小于平角的角共有个． 故选：． 【点睛】此题通过数角的个数，考查了同学们总结规律的能力或公式应用的能力，掌握角的概念是解题的关键． 6．如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 【答案】 【分析】本题考查了对角的概念的应用，关键是能根据求出结果得出规律．根据图形数出即可得出前三个空的答案，根据结果得出规律． 【详解】解：在已知角内画射线，画1条射线，图中共有3个角； 画2条射线，图中共有6个角； 画3条射线，图中共有10个角； 画条射线，图中共有个角， 故答案为：． 题型三　角的分类 7．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 【答案】B 【分析】本题考查钝角的概念，关键是掌握钝角是大于度小于度的角． 由钝角的概念，即可选择． 【详解】解：A、周角，不是钝角，不符合题意； B、平角，是钝角，符合题意； C、周角，不是钝角，不符合题意； D、平角，不是钝角，不符合题意； 故选：B． 8．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 【答案】D 【分析】本题考查了角的和差，角的定义． 两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，因此可能是锐角、直角或钝角． 【详解】解：设两个锐角分别为和，其中，， 则它们的和满足， ∴两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角． 故选：D． 9．下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 【答案】②③ 【分析】本题考查了平角、周角、钝角、锐角的定义，根据钝角的定义（大于且小于），分别计算各角的度数或分析其范围，判断是否一定是钝角，即可解题． 【详解】解：周角为，①周角为，是锐角； 平角为，②平角为，是钝角； 直角为，③直角为，是钝角； ④两个锐角的和可能小于、等于或大于但小于，不一定是钝角． 故一定是钝角的有②③． 故答案为：②③． 题型四　钟面角 10．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 【答案】 【分析】本题考查了钟面角，根据钟面角的定义，分别计算时针和分针的位置，再求其夹角的度数，利用时针与分针相距的份数乘以每份的度数是解题的关键． 【详解】解：点分，时针在与正中间，即； 分针在，即； 夹角． 11．小李某天下午放学后到家，这时时针与分针所成的较小的角为________． 【答案】100 【分析】本题主要考查了钟面上角的计算，解题的关键是熟练掌握钟表上一个大格之间的夹角为．根据钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，每一份是，分针每分钟转过，时针每分钟旋转，钟面上时，时针和分针之间相差3个大格，另外就是时针在分钟旋转的角度，即可得出答案． 【详解】解：钟表上的刻度是把一个圆平均分成了12等份，则每一份是， 分针每分钟转过，时针每分钟旋转， ∴时，时针与分针所成的较小的角为． 故答案为：． 12．如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用和钟面角问题，此类题目贴近生活，有利于培养学生应用数学解决生活中实际问题的能力． 根据实际问题，时针转动速度为度/分钟，分针转动速度为度/分钟，设再次转成直角的时间间隔为x分钟，可以列出方程，从而求解下一次时针与分针成直角的时间． 【详解】解：设再次转成直角的时间间隔为x分钟，则由题意得： ， 解得． 分钟小时． 故选：C． 题型五　角的单位与角度制 13．下列换算错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A选项，，，换算正确． B选项，，，换算错误． C选项，，，，换算正确． D选项，，，，换算正确． 14．钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度． 【答案】75 【分析】钟面一圈为，共分为12个大格，先计算每个大格的度数，再确定时时针和分针的位置，即可求出二者的最小夹角． 【详解】解：， ∵时，分针指向数字6，时针指向数字3和4的正中间， ∴时针和分针组成的角最小为． 15．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用度分秒的60进制换算规则，，逐一对选项换算验证即可得到正确结果． 【详解】解：对选项A：，A错误． 对选项B：，B错误． 对选项C：，∴ C正确． 对选项D： ，∴ D错误． 题型六　角度的四则运算　 16．计算：_____________ ． 【答案】 【分析】根据度分秒的加法运算规则，从低单位到高单位依次相加，满60向高一级单位进1，逐步计算结果． 【详解】解： ． 17．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度． 【答案】 【分析】①利用角度的四则运算即可得到答案；②根据、进行换算，即可得到答案；③根据时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转，分别计算时针、分针与0点的夹角，计算角度差即可得到答案． 【详解】解：①， 故答案为：； ②， ， ， ， 故答案为：； ③当时钟指向时间为时，时针走过小时，分钟走过分钟， 时针与0点的夹角为， 分针与0点的夹角为， 钟表上的时针与分针的夹角为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了角度的四则运算，角的单位换算，钟面角，解题关键是掌握角度的加法法则：进行角度的加法运算时，同单位相加，即度与度相加、分与分相加、秒与秒相加，秒够60进1分，分够60进1度；同时也要掌握时针一小时转，一分钟转，分针一分钟转． 18．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握该知识点是解题的关键． 根据度分秒的换算，逐一计算判断即可． 【详解】解：A、∵，，， ∴，选项说法错误，不符合题意； B、，，选项说法错误，不符合题意； C、，选项说法正确，符合题意； D、，选项说法错误，不符合题意； 故选：C． 题型七　方向角的表示 19．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（     ） A．东偏北 B．北偏东 C．西偏南 D．南偏西 【答案】D 【详解】解：由题意得，长城站位于昆仑站的南偏西． 20．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为________________方向． 【答案】北偏西或南偏东 【分析】由AE∥BF，可得∠FBG＝∠EAB＝55°，再根据∠C1BG＝∠DBF＝90°，即可得出∠C1BG＝∠C2BH＝35°，即可得出BC的方向． 【详解】解：如图， ∵AE∥BF， ∠FBG＝∠EAB＝55°， 又∵∠C1BG＝∠DBF＝90°， ∴∠C1BG＝∠C2BH＝35°， ∴BC的方向为：北偏西或南偏东 故答案为：北偏西或南偏东． 【点睛】本题考查了方向角，解决本题的关键是利用平行线的性质：两直线平行，同位角相等． 21．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 【答案】C 【分析】本题考查方位角的表示，根据四个方位将四等分，根据进而得出对应的方向角，即可求解． 【详解】解：∵指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西； ∴当指南针显示的方位角为东南时， 即对应的方向角为南偏东 故选：C． 题型八　与方向角有关的计算题 22．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在蕾蕾家B的（    ） A．北偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．南偏东的方向上 【答案】D 【分析】首先求出，然后根据方向角的表示方法求解． 【详解】解：如图， ∵学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，， ∴ ∴超市C在蕾蕾家B的南偏东的方向上． 23．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的南偏东_______． 【答案】 【分析】本题考查了方位角的运算，熟练掌握方位角的运算法则是解题关键．如图（见解析），先根据方位角的定义可得，再根据角的运算法则求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：， ∵， ∴， 即此时乙位于地的南偏东， 故答案为：． 24．如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了______个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 【答案】或/或 【分析】本题考查了方向角，一元一次方程的应用，理解题意列出一元一次方程是解题的关键．根据方向角的运算，分两种情况列方程求解即可． 【详解】解：∵快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发， ∴． 设当时，快艇旋转了个时间单位， 当转到右边时， ， 解得， 当转到左边时， ， 解得． 故答案为：或． 题型九　角的比较　 25．如图所示的网格是正方形网格，_________（填“”“”或“”）． 【答案】＜ 【分析】本题利用正方形网格的特点，通过观察角的两边张开程度或结合网格构造特殊角，来比较两个角的大小. 【详解】解：在正方形网格中，观察,其两边所在线段可形成等腰直角三角形的角，故； 再观察,其两边的张开程度小于等腰直角三角形的角的张开程度，因此, 所以. 故答案为：. 【点睛】本题考查了角的大小比较，解题关键是利用正方形网格的特点，结合特殊角的形状，判断角的张开程度，进而比较角的大小. 26．已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α_________∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 【答案】＜ 【分析】根据度分秒之间的换算，先把∠β的度数化成分的形式，再根据角的大小比较的法则进行比较，即可得出答案． 【详解】解：∵∠β＝0.35°=（0.35×60）'=21'． ∴∠α＜∠β， 故答案为：＜． 【点睛】此题考查了角的大小比较，掌握度分秒之间的换算法则是解本题的关键． 27．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 【答案】B 【分析】本题主要考查了角的大小关系，利用平移的方法求解即可．将平移，使顶点重合，即可比较大小． 【详解】解：将平移，使顶点重合， 在内部， 28．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了角的比较． 根据网格线得出，进而判断出；再由网格线得出，，进而求出，最后由网格线得出，，进而判断出，即可得出结论． 【详解】解：由图知， ， ∴； 由图知，，， ∴， 由图知，，， ∴， ∴， 故选：B． 题型十　三角板中角度计算问题 29．如图，将含角的三角板的顶点与含直角的三角板的顶点重合，，的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角板中的角度计算问题，掌握几何图形中角的和差关系是解本题的关键． 利用角的和差求出，再结合即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 故选：D． 30．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是________． 【答案】 【分析】本题考查了与三角板有关的计算，理解三角板的性质是解题的关键．由题意可得，再结合，即可得出的度数． 【详解】解：依题意，结合图形，得， ， ， 故答案为：． 31．一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 【答案】B 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，一元一次方程的应用，直角三角板中角度的计算，解题的关键是理解题意，弄清各角之间的关系．设三角板的运动时间为秒，根据题意并利用角平分线的定义，列出关于的方程，解方程即可获得答案． 【详解】解：设三角板的运动时间为秒， 根据题意，将边绕点以每秒的速度顺时针旋转， 则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，解得秒， ∴三角板的运动时间为秒． 故选：B． 题型十一　几何图形中角度计算问题 32．如图，，，平分，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的性质，理解图示中角与角的位置，数量关系，角平分线的性质是解题的关键． 根据，，可求出，从而求出，再根据平分，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵平分 ∴ 故选：C. 33．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用角的和差关系计算即可． 【详解】解：， ， ． 34．如图，射线将分割成三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线为的“美妙分割线”．已知为的“美妙分割线”，，则的度数为_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了新定义“美妙分割线”、几何图形中角度计算，一元一次方程的应用等知识， 设，则，然后结合“美妙分割线”的定义，分情况讨论，即可获得答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵为的“美妙分割线”， ∴当时， ，解得， 当时， ，解得， 当时， ∵，， ∴． 综上所述，的度数为或． 故答案为：或． 题型十二　实际问题中角度计算问题 35．小明从O点出发向北偏西走了500米到达A点，小丽从O点出发向南偏东走了300米到达B点，这时A、B两点之间的距离是____________米． 【答案】800 【分析】本题考查了方位角，线段的和差，角的和差，由方位角的定义得，由角的和差得 ，可得、、三点在同一条直线上，由线段的和差即可求解；理解方位角，会判断三点共线时是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得： ， ， ， ， ， ， 、、三点在同一条直线上， (米)， 故答案：． 36．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 【答案】C 【分析】由题意知，；当时，；当时，；令，计算求解可判断选项A的正误；令，，计算求解可判断选项B、D的正误；将代入，求出的值，然后根据求解的值，根据与的关系判断选项C的正误． 【详解】解：由题意知，；当时，；当时，； 令，即，解得秒， ∴存在的情况； 故A错误，不符合题意； 令，即，解得秒， 令，即，解得秒， ∴当时，两射线的旋转时间t不一定为20秒； 故B、D错误，不符合题意； 当时，， ∴， ∵， ∴射线恰好平分， 故C正确，符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了角的运算，角平分线等知识．解题的关键在于正确的表示各角度． 37．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，根据光的反射定律内容即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：补上反射光线如图： 由题意可知，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型十三　角平分线的有关计算 38．如图，已知平分，平分，若，则______． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，根据角平分线的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为： 39．如图，点在同一条直线上，，平分．若，则的度数是______． 【答案】/144度 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，由已知可得，即得，再根据角的和差关系即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 40．如图，点O为直线上一点，射线，同时从射线位置出发，分别以，的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转，设运动的时间为，其中．记射线，，中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时刻为，射线，，中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时刻为，则的值为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，角平分线的定义，第一次平分，即平分，最后一次平分，即靠近，平分，分别列出一元一次方程，解方程即可得出结果，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：第一次平分，即平分，结合题意可得：， 解得：， 最后一次平分，即靠近，平分，由题意可得：， 解得：， ∴， 故选：C． 题型十四　角 n 等分线的有关计算 41．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角等分线的有关计算．根据射线是的四等分线，将角均分为四份，是其中的2份，即可求解． 【详解】解：∵射线是的四等分线，， ∴， ∴， 故选：B． 42．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 【答案】 【分析】本题考查角的三等分线，角的和差，掌握知识点是解题的关键． 先求出，根据图中所有的锐角之和为，得到，则，求出，即可解答． 【详解】解：∵射线是的三等分线， ∴， ∴， ∵图中所有的锐角之和为， ∴， 即 ， 解得． 故答案为：． 43．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 【答案】或 【分析】本题考查角的计算．解题关键是做出图形，注意分类讨论． 分情况讨论，即或时，分别讨论即可． 【详解】解：根据射线是的三等分线，可分情况讨论， 如图，当时， ， ， 如图，当时， ， ， 故答案为：或． 题型十五　求一个角的余角 44．已知，则的余角的度数为___________． 【答案】 【分析】根据互余两角的和为，计算求解即可． 【详解】解：因为互余两角的和为，且， 所以的余角的度数为． 45．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 【答案】 /36度 【分析】根据集热板与太阳光线垂直的条件，得出与互余，再代入，计算出． 【详解】解：根据题意可知，， ， ． 46．与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查补角与余角的定义，先根据补角性质得到与的数量关系，再将的余角用、的代数式表示并化简，最后对比选项得出结果． 【详解】解：∵与互为补角， ∴， ∴， ∵的余角为， ∴将代入得： ， ∴的余角为， 故选：D． 题型十六　求一个角的补角 47．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一个角的补角的度数，度数之和为180度的两个角互补，据此求解即可． 【详解】解：∵一个角为， ∴它的补角度数为， 故选：C． 48．一个角的补角的度数为，则这个角的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了余角和补角，根据补角定义求出这个角的度数，再根据余角定义求解. 【详解】解：设这个角为， 的补角为， ， 的余角为： . 故选：A． 49．如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是______． 【答案】 【分析】本题考查求一个角的补角，根据角的和差关系求出的度数，进而求出的度数，再根据和为180度的两个角互为补角，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴， ∴， ∴的补角为； 故答案为：． 题型十七　与余角、补角有关的计算 50．已知与互余，与互补，，__________． 【答案】/163度 【详解】解：由题意，，． 51．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 【答案】 /度 【分析】设这个角为未知数，根据补角定义和题目条件列方程求出这个角的度数，再根据余角定义计算余角度数． 【详解】解：设这个角的度数为， ∵ 互为补角的两个角和为，且该角的补角是这个角的两倍， ∴ 可得方程 ， 整理得 ， 解得 ， ∵ 互为余角的两个角和为， ∴ 这个角的余角为 ． 52．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 【答案】①③④ 【分析】已知和互补，可得，根据余角定义，若两个角和为则互余，逐一验证每个式子即可． 【详解】解：∵和互补，且， ∴， 可得． ①：的余角定义为，因此①符合要求． ②：，（），因此②不符合要求． ③：，刚好是的余角，因此③符合要求． ④：，刚好是的余角，因此④符合要求． 综上，能表示余角的式子是①③④． 题型十八　同（等）角的余（补）角相等的应用 53．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 【答案】 【分析】根据余角的性质即可得出结论. 【详解】解：∵， ∴， ∴. 54．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，则能用“等角的补角相等”说明的摆法是________，能用“同角的余角相等”说明的是________．（填序号） 【答案】 ③ ② 【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解． 【详解】解：图①，，互余； 图②，根据同角的余角相等，； 图③，根据等角的补角相等； 图④，，互补； ∴能用“等角的补角相等”说明的摆法是③，能用“同角的余角相等”说明的是②． 55．已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查互余和互补的性质，先利用同角的补角相等得出，再结合与互余的关系，推导与的关系. 【详解】解：∵， ， ∴，（同角的补角相等） ∵， ∴， ∴与互余， 故选：B． 解答题 56．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：． （2）解：． 57．将一副三角板中的两块直角板中的两个直角顶点重合在一起，即按如图所示的方式叠放在一起，其中． (1)若，则的度数是___________． (2)若，则的度数是___________． (3)由（1）、（2）猜想与存在什么样的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)由（1）、（2）猜想与互补． 理由：∵， ， ∴， ∴与互补． 【分析】（1）先求得的度数，即可得到的度数； （2）先求得的度数，即可得到的度数； （3）依据，，即可得到与互补． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴； （3）略 58．如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 【答案】(1)学校在小明家北偏东方向；停车场在小明家南偏东方向 (2) 解：公园和学校距离小明家距离相同，理由如下： ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴， 即：公园和学校距离小明家距离相同； (3) 解：如图，点即为所求， 【分析】本题考查了线段中点的定义，方位角，两点之间线段最短，灵活运用所学知识是解题的关键． （1）根据所给的方位角和距离进行描述即可； （2）根据线段中点的定义得到，进而得到，由此即可得到答案； （3）根据两点之间线段最短找点即可． 【详解】（1）解：， 由图可知：学校在小明家北偏东方向； 停车场在小明家南偏东方向； （2）略； （3）解：根据两点之间线段最短， 连接交于点， 点即为所求， 59．【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 【答案】(1)40，80 (2) (3)或 【分析】（1）根据，结合，进行求解即可； （2）根据角平分线的定义，角的数量关系，以及角的和差关系进行求解即可． （3）分在的内部和的外部，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）可知：，， ∵平分，， ∴，， ∴； （3）解：当在的内部时， ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 当在的外部时， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴； 综上：或． 60．【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 【答案】(1)30；6 (2)分钟 (3)①时，两动点第一次相遇；此时时针与分针夹角为度； ②动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟 【分析】（1）根据时针与分针的转动规律，得到每经过1小时，时针转，每经过1分钟，分针转，即得答案； （2）设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，根据秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角，列出方程，求得t的值，即得答案； （3）①时，点到达处并要继续向运动，点在分针上且距点的位置，根据相遇模型，列出算式，即可求得答案； ②动点M，N第二次、第三次相遇的时间与两动点的变速运动相关，分清每一个变速节点，分别计算各段的时间，求得动点M，N第二次、第三次相遇的时间，即可得到答案． 【详解】（1）解：每经过1小时，时针转， 每经过1分钟，分针转； 故答案为：30，6； （2）解：设t分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角， 则由题意可得，， 解得：； （3）解：①时，点到达处并要继续向运动，此时点在分针上且距点的位置， 随后经过分钟，即时，两动点第一次相遇； 此时分针比时针多转的角度为度， 即此时时针与分针夹角为度； ②第二次相遇：时针与分针第一次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， 点按照的路线，第一次到点所需时间为分钟， ∴当时，点在离点处，转向后，运动到点B需用时分钟；当时，点在离点处，转向后，运动到点需用时分钟， ∴当时，点在点处，点在离点处， 此时两点相向而行，之后相遇所需时间为分钟， ∴第二次相遇的时间为分钟； 第三次相遇：时针与分针第二次共线时，动点M，N的运动时间为分钟， 动点M，N第二次相遇后，点N继续按照的路线运动，从点到点的用时为分钟，即，此时点在离点处， 当时，点在离点处，点在离点处，点M，N之间距离为，此时转向，则点M，N同时朝向点运动， 点运动到点所需时间为分钟，当点到达点时，点M距离点， 当点转向后，与点相向而行，相遇所需的时间为分钟， ∴第三次相遇时间为分钟． 故答案为：动点M，N第二次相遇共用时分钟；动点M，N第三次相遇共用时分钟． 【点睛】本题考查钟面角的计算，角平分线的性质，钟面上的行程问题，变速度的动点问题，根据条件逐段分析动点的运动状态是解题关键． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13角的度量.运算与余补角复习讲义 1.会认角：掌握角的概念（静态与动态两种定义），认识角的顶点、边、内部、外部 2.会表示：用 ∠AOB、∠O、∠α、∠1 等符号规范表示角，能判断表示方法的正误 3.会换算：掌握角的度量单位度、分、秒，能进行度分秒之间的换算与运算 4.会比大小：会用度量法、叠合法比较两个角的大小，理解角的平分线概念 5.会算和差：能结合图形进行角的和与差的计算，会利用角平分线、n 等分线求角度 6.明余补：掌握余角与补角的概念，会求一个角的余角与补角 7.明性质：理解“同角（等角）的余角相等、同角（等角）的补角相等”，并能用于推理 8.通语言：文字语言、图形语言、符号语言三者互化，会进行简单的角度推理计算 9.破易错：角的表示规范、度分秒六十进制、余补角与角的位置无关只与大小有关、∠O 表示法仅在顶点只有一个角时可用 10.练思维：体会数形结合与方程思想（设未知角列方程求角度），养成严谨的几何表达习惯 一句话总目标：认得清角、表示得规范、换算得准确；会比较、会算角的和差与平分线；会求余补角并用其性质做简单推理。 题型 考察方向 难度 题型一 角的概念理解 ★ 题型二 角的表示方法 ★ 题型三 角的分类 ★★ 题型四 钟面角 ★★ 题型五 角的单位与角度制 ★★ 题型六 角度的四则运算 ★★ 题型七 方向角的表示 ★★ 题型八 与方向角有关的计算题　 ★★★ 题型九 角的比较 ★★ 题型十 三角板中角度计算问题 ★★ 题型十一 几何图形中角度计算问题 ★★★ 题型十二 实际问题中角度计算问题 ★★★ 题型十三 角平分线的有关计算 ★★★ 题型十四 角 n 等分线的有关计算 ★★★ 题型十五 求一个角的余角 ★ 题型十六 求一个角的补角 ★ 题型十七 与余角、补角有关的计算 ★★★ 题型十八 同（等）角的余（补）角相等的应用 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★难题★★★★★压轴 知识点 01 角的两种定义 1.静态定义：由两条有公共端点的射线所组成的图形。 公共端点叫做角的顶点，两条射线叫做角的两条边。 2.动态定义：一条射线绕着它的端点旋转所形成的图形。 起始位置的射线叫始边，终止位置的射线叫终边。 3.特殊角（旋转生成） 平角：射线旋转至和始边成一条直线，平角=180 周角：射线旋转一周回到起始位置，周角=360 ⚠️注意：平角不是直线，周角不是射线，角必须包含顶点与两条边。 知识点 02 角的四种表示方法 1.用三个大写字母来表示 在这种表示法中，表示顶点的字母必须写在中间，另外两个字母不分顺序。 如图（1）中的角有∠AOB，∠BOC，∠AOC。 2.用一个大写字母来表示 在这种表示法中，表示角的大写字母必须是表示顶点的那个字母；当两个或两个以上的角共用同一个顶点时，不能用这种方法表示其中任意一个角。如图 (2) 中的∠EBC也可以表示为∠B，∠ADC也可以表示为 ∠D，但∠EAF，∠BAF都不能用∠A来表示。 3.用一个数字来表示 用数字表示角时，要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边标注数字。如图（2）中的∠EAF也可以表示为∠1，∠ECD （∠FCD）也可以表示为∠2。 4.用一个小写希腊字母等来表示 这种方法和用数字表示角的方法类似，同样需要在角的内部靠近顶点处画上弧线，弧线旁边写上小写希腊字母。如图（3）中的∠AOB也可以表示为∠。 知识点 03 角的分类（按度数划分，配套大小关系） 角的名称 度数范围 图形特征 大小关系 锐角 0<<90 开口很小，小于直角 锐角<直角<钝角<平角<周角 直角 =90 两边垂直，可标直角符号└ 直角 =90 钝角 90<<180 开口大于直角、小于平角 —— 平角 =180 两条边在同一直线，方向相反 1 平角 = 2 直角 周角 =360 始边终边完全重合 1 周角 = 2 平角 = 4 直角 知识点 04角的度量与单位换算 角度单位：度、分'、秒'' ，60 进制 1=60'，1'=60'' 拓展：1=3600'' 换算两类题型： 高级单位→低级单位：乘 60； 低级单位→高级单位：除以 60。 知识点05：角的大小比较 1.度量法：用量角器测出角度数值，数值越大，角越大； 2.叠合法（几何标准方法） ① 顶点重合；② 一条边重合；③ 另一条边落在同侧，观察另一边位置： 另一边在内部→角更小；另一边在外部→角更大。 ⚠️核心结论：角的大小只与两条边张开程度有关，与边的长短无关（角的边是射线，可以无限延长）。 知识点06：角平分线 从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线。如图所示，OC 是∠AOB的角平分线， ∠AOB=2∠AOC=2∠BOC， ∠AOC= ∠BOC =∠AOB。 知识点07：角度的四则运算（60 进制，度分秒换算） 换算规则：1=60'，1'=60'' 1. 加法运算（满 60 进 1） 例：3218'+2545'=5763'=583' 分相加≥60，向度进 1。 2. 减法运算（不够减借 1 当 60） 例：7010'-2630'=6970'-2630'=4340' 分不够减，从度借 1 化为 60 分。 3. 乘法运算（分别相乘，满 60 进位） 例：1520'3=4560'=46 4. 除法运算（逐级拆分，余数转下级单位） 例：504=4820'4=1230' 知识点08：余角与补角 1.余角、补角定义表格 名称 定义 数量关系式 范围要求 余角（互余） 两个角的和等于90（直角） 若∠+∠=90，则、互余 两个角都为锐角，均小于90 补角（互补） 两个角的和等于180（平角） 若∠+∠=，则、互补 一个锐角 + 一个钝角，或两个直角 2.同一个角的余角、补角计算 设一个锐角为∠ 它的余角：90- 它的补角：- 重要推论：同一个角的补角 − 余角 =90 推导：(-)-(90-)=90 例题：已知∠=3520'，求余角和补角 余角：90-3520'=5440' 补角：180-3520'=14440' 3.余角、补角两大性质（考试必考证明依据） 性质 1：同角（等角）的余角相等 性质 2：同角（等角）的补角相等 知识点09：高频易错点汇总 易错知识点 错误典型表现 正确标准 角的定义理解 认为延长射线能改变角大小；平角是直线 角大小只和张开幅度有关；平角有顶点，不是直线 角的表示 顶点多个角时只用单个字母表示；字母顺序乱写 多个角时禁止单用一个大写字母；顶点字母写中间 角度单位换算 使用 10 进制换算，1=10' 角度为 60 进制，满 60 进 1，不足借 1 当 60 角平分线几何语言 只会看图，不会规范书写推理式子 熟练写出 ∠AOC= ∠AOB倍数关系式 互余互补概念 认为互余的角必须挨在一起；钝角有余角 互余互补只看数量和，与位置无关；钝角没有余角 性质混淆 分不清 “同角” 和 “等角” 的余角、补角性质 同角：共用一个角；等角：角度相等的两个角，性质通用 角度运算 加减时分、秒计算不进位、不借位 度分秒分开运算，严格遵守 60 进制进退位 题型一　角的概念理解 1．下列说法正确的是（     ） A．由两条射线组成的图形叫作角 B．角的大小与角的两边长度有关 C．角可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形 D．用放大镜看一个角，角的度数变大了 2．3：30时，钟面上时针和分针组成的角是________角；_________时整或________时整，时针和分针的夹角是直角． 3．如图，是直角，是射线，则图中共有锐角（　　）   A．28个 B．27个 C．24个 D．22个 题型二　角的表示方法 4．如图，下列对图中各个角的表达方法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图所示，图中小于平角的角共有（　　） A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 6．如图所示，在已知锐角内部，画1条射线，图中共有3个角；画2条射线，图中共有6个角；画3条射线，图中共有10个角；按此规律，画条射线，共有________个角． 题型三　角的分类 7．下列各角中，是钝角的是（   ） A．周角 B．平角 C．周角 D．平角 8．两个锐角的和（   ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．可能是锐角、直角或钝角 9．下列各角：①周角；②平角；③直角；④两个锐角的和．其中一定是钝角的有________．（填序号） 题型四　钟面角 10．下午点分时，时针与分针的夹角是___________°． 11．小李某天下午放学后到家，这时时针与分针所成的较小的角为________． 12．如图，下午3时，时钟上的时针和分针所成的角为，那么下一次时针与分针成直角，要经过的时间是（   ） A．小时 B．小时 C．小时 D．小时 题型五　角的单位与角度制 13．下列换算错误的是（     ） A． B． C． D． 14．钟面上时，时针和分针组成的角最小是( )度． 15．下列换算中，正确的是（     ） A． B． C． D． 题型六　角度的四则运算　 16．计算：_____________ ． 17．计算：____________；____________°；当时钟指向时间为时，钟表上的时针与分针的夹角为____________度． 18．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 题型七　方向角的表示 19．我国在南极建有长城、昆仑、中山和泰山4个科学考察站，如图所示，长城站位于昆仑站的（     ） A．东偏北 B．北偏东 C．西偏南 D．南偏西 20．一艘旅游船从点出发沿北偏东方向航行，到达景点后，进行了的转弯，然后沿着方向航行，则为________________方向． 21．指南针是中国古代四大发明之一．如图，某手机上的指南针显示的方位角为西北时，对应的方向角为北偏西；当指南针显示的方位角为东南时，对应的方向角为（   ） A．北偏东 B．北偏东 C．南偏东 D．南偏东 题型八　与方向角有关的计算题 22．如图，学校A在蕾蕾家B南偏西的方向上，点C表示超市所在的位置，，则超市C在蕾蕾家B的（    ） A．北偏西的方向上 B．南偏东的方向上 C．北偏东的方向上 D．南偏东的方向上 23．如图，甲沿北偏东方向前进，乙沿图示方向前进，甲与乙前进方向的夹角为，则此时乙位于A地的南偏东_______． 24．如图，一艘快艇从灯塔南偏东的方向上的某点出发，绕着灯塔逆时针方向以每个时间单位的转速旋转周，当时，快艇旋转了______个时间单位．（题中所说的角是指还没有旋转成平角所成的角） 题型九　角的比较　 25．如图所示的网格是正方形网格，_________（填“”“”或“”）． 26．已知∠α＝20′，∠β＝0.35°，则∠α_________∠β．（填“＞”，“＝”，或“＜”） 27．如图，正方形的网格纸上每个小正方形的边长都为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．无法判断 28．如图，在的正方形网格中，记，则（   ） A． B． C． D． 题型十　三角板中角度计算问题 29．如图，将含角的三角板的顶点与含直角的三角板的顶点重合，，的大小是（    ） A． B． C． D． 30．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，若，则的度数是________． 31．一副直角三角板如图1放置：直角三角板的边与直角三角板的边重合，点在线段的延长线上．如图2，将边三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转（当线段与射线重合时停止），平分，当满足时，三角板的运动时间为（   ） A．16秒 B．秒 C．32秒 D．秒 题型十一　几何图形中角度计算问题 32．如图，，，平分，的度数为（    ） A． B． C． D． 33．如图，已知，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 34．如图，射线将分割成三个角，若其中的一个角是其他两个角的和的2倍，我们称射线为的“美妙分割线”．已知为的“美妙分割线”，，则的度数为_______． 题型十二　实际问题中角度计算问题 35．小明从O点出发向北偏西走了500米到达A点，小丽从O点出发向南偏东走了300米到达B点，这时A、B两点之间的距离是____________米． 36．已知：如图1，点A，O，B依次在直线上，现将射线绕点O沿顺时针方向以每秒的速度旋转；同时射线绕点O沿逆时针方向以每秒的速度旋转．如图2，设旋转时间为t秒（）．下列说法正确的是（    ） A．整个运动过程中，不存在的情况 B．当时，两射线的旋转时间t一定为20秒 C．当t值为36秒时，射线恰好平分 D．当时，两射线的旋转时间t一定为40秒 37．如图，阳光与水平面成30°角，若要用平面镜使阳光竖直射入井中（物理学中，反射角入射角），则阳光与平面镜的夹角（）为______ 题型十三　角平分线的有关计算 38．如图，已知平分，平分，若，则______． 39．如图，点在同一条直线上，，平分．若，则的度数是______． 40．如图，点O为直线上一点，射线，同时从射线位置出发，分别以，的速度绕点O按逆时针方向匀速旋转，设运动的时间为，其中．记射线，，中的一条射线首次平分另外两条射线组成的角的时刻为，射线，，中的一条射线最后一次平分另外两条射线组成的角的时刻为，则的值为（    ） A．9 B．15 C．12 D．6 题型十四　角 n 等分线的有关计算 41．射线是的四等分线，，则的度数为(   ) A． B． C． D． 42．如图所示，射线是的三等分线，如图中所有的锐角之和为，则的度数为 ________． 43．定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线，把分成的两部分，射线叫做的三等分线．若在中，射线是的三等分线，设，则用含的代数式表示为______． 题型十五　求一个角的余角 44．已知，则的余角的度数为___________． 45．如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高，春分日固原正午太阳光线与水平面的夹角为．若光能利用率最高，则集热板与水平面夹角度数是____________． 46．与互为补角，且，则的余角可以为（    ） A． B． C． D． 题型十六　求一个角的补角 47．已知一个角为，则它的补角度数为（   ） A． B． C． D． 48．一个角的补角的度数为，则这个角的余角的度数为（   ） A． B． C． D． 49．如图所示，将一副三角板摆放在一起，使一个三角板角的顶点与另一个三角板的直角顶点重合，若，则的补角是______． 题型十七　与余角、补角有关的计算 50．已知与互余，与互补，，__________． 51．若一个角的补角是这个角的两倍，则这个角的余角的度数为______． 52．如果和互补，且，下列表达式：①；②；③；④中，能表示的余角的式子是__________．（请把所有正确的序号填在横线上） 题型十八　同（等）角的余（补）角相等的应用 53．如图所示，一副三角板（直角顶点重合）摆放在桌面上，写出一对相等的角_________（直角除外，且不再添加其它字母）． 54．如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，则能用“等角的补角相等”说明的摆法是________，能用“同角的余角相等”说明的是________．（填序号） 55．已知，， ．那么与的关系是（   ） A．相等 B．互余 C．互补 D．无法确定 解答题 56．计算： (1)； (2)． 57．将一副三角板中的两块直角板中的两个直角顶点重合在一起，即按如图所示的方式叠放在一起，其中． (1)若，则的度数是___________． (2)若，则的度数是___________． (3)由（1）、（2）猜想与存在什么样的数量关系并说明理由． 58．如图是小明和学校所在地的简单地图，已知，，，点为的中点，解答下列问题： (1)学校、停车场分别在小明家的什么方向上？ (2)图中哪些地方距离小明家距离相同？请说明理由． (3)有一条南北方向经过小明家的公路，请在这条公路上作出点，使点到商场与学校的距离之和最短． 59．【问题背景】 如图，已知，是内的一条射线，且． 【问题再现】 (1)的度数为_____，的度数为_____°； 【问题推广】 (2)作射线平分，在内作射线，使得，求的度数； 【拓展提升】 (3)过点O作射线、，且平分，若，求的度数． 60．【问题背景】如图1，设一钟表中心为点O，已知时针长为10厘米，分针长为30厘米．初始时刻时针分针在12点整的位置． (1)每经过1小时，时针转______度，每经过1分钟，分针转______度； (2)【迁移应用】如图2，若钟面上还有一损坏的秒针，该秒针指向“3”保持不动，请问几分钟后，秒针恰好第一次平分时针与分针形成的夹角？ (3)【创新应用】如图1，从12点整开始，两动点M，N分别从点和点出发，点按照的路线移动，点按照的路线移动，两动点移动速度均为：朝向点时为1厘米/分钟，远离点时为2厘米/分钟，每次时针与分针共线时，动点M，N的运动方向立刻反向，设运动时间为分钟： ①求动点M，N第一次相遇的时间，以及此时分针与时针的夹角； ②请直接写出动点M，N第二次、第三次相遇的时间． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $