精品解析：天津市滨海新区塘沽第十三中学2026-2027学年高二年级上学期10月月考数学试卷

塘沽十三中2026—2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一次学情调研 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意，求出直线的斜率，从而得出结果． 【详解】依题意，是直线的一个方向向量， 所以直线的斜率， 所以直线的倾斜角为． 故选：C． 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间直角坐标系的概念求解. 【详解】点关于平面的对称点是． 故选:B. 3. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解. 【详解】如图所示，连接，可得. 故选：D. 4. 已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1或3 C. 1 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用直线与直线平行的性质直接求解． 【详解】解：直线，直线平行， 且， 解得． 实数的值为． 故选：． 【点睛】本题考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 5. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线面垂直可知直线方向向量与平面的法向量平行即可求解. 【详解】直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为， 因为直线平面，所以，解得. 故选：A. 6. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量垂直和共线的坐标表示即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得， ，解得，则，， ， 则. 故选：D. 7. 圆关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求关于直线的对称点的坐标，可得对称圆的方程. 【详解】因为圆的圆心为， 设点关于直线：的对称点为，则 . 所以圆关于直线：对称的圆的方程为. 故选：A 8. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标，求出空间向量，根据空间向量求点到直线的距离. 【详解】由题意得，，， 可知， ， 所以点到直线的距离为. 故选：B. 9. 已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： 10. 过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出点与端点的斜率值，再结合图象，根据正切函数单调性，得到斜率范围即可. 【详解】由点，可求得： 结合图象，根据正切函数在锐角范围和钝角范围内都是单调递增可得： 直线的斜率的斜率范围是. 故选：B. 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题知，， 又， 则， ， 所以. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立适当空间直角坐标系，设，求和面的一个法向量，由得到关系，再结合二次函数性质计算即可求解. 【详解】由题意可以以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，则，而平面的一个法向量， 由直线与平面所成的角为得， 整理得， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 故选：D 二、填空题（每个题5分，共25分） 13. 过点且垂直于的直线方程是_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程即可求解斜率，根据垂直的斜率关系，结合点斜式即可求解直线方程. 【详解】由，得，所以直线的斜率为. 所以与直线垂直的直线的斜率为， 所以过点且垂直于的直线方程为，即. 故答案为：. 14. 两条平行直线与间的距离是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据平行满足的系数关系可得，即可利用平行线间距离公式求解. 【详解】由于与平行，故，解得， 故两直线为与，故其距离为， 故答案为：5 15. 已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 【答案】或5 【解析】 【分析】根据两圆方程求出圆心和半径，结合题意可得两圆外切，进而列式计算即可. 【详解】由圆A：，则圆心为，半径为， 圆B：，圆心为，半径为， 由于两圆有3条公共切线，则两圆外切， 所以，则，解得或5. 故答案为：或5. 16. 直线过点，且其横截距为纵截距的3倍，则的方程为______. 【答案】或 【解析】 【分析】讨论两截距是否为，设相应的直线方程，代入点坐标求参数值，即可得直线方程. 【详解】当两截距为时，设直线为，则，即，此时直线的方程为， 当两截距不为时，设直线为，则， 此时直线的方程为， 综上，直线为或. 17. 若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用点斜式可得第一空，根据直线与圆的位置关系数形结合计算可得第二空. 【详解】易知时，，即该直线恒过， 对于，即该曲线为以原点为圆心，2为半径的半圆， 如下图所示，不妨设，设直线与圆相切， 则圆心到l的距离为，负值舍去，即， 又，要满足题意需实数的取值范围为. 故答案为： 三、解答题（共35分） 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）设圆心，通过半径求得，进而可求解； （2）通过讨论斜率存在与不存在，由圆心到直线距离等于半径，列出等式求解即可； （3）由弦长公式即可求解. 【小问1详解】 由题意设圆心， 因为， 即， 解得，即， 半径， 所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 当切线的斜率不存在时，则切线方程为， 此时圆心到直线的距离为，符合条件； 当切线的斜率存在时，设过的切线的方程为， 即， 则圆心到切线的距离， 解得， 此时切线的方程为：， 即， 综上所述：过的切线方程为或. 【小问3详解】 圆心到直线的距离为， 所以弦长. 19. 如图，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求四面体的体积. 【答案】（1） 因为平面，且平面， 所以，又， 则以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴正方向建立空间直角坐标系（如图）， 则. 因为，又平面， 所以平面，故是平面的一个法向量， 又，所以，又因为平面 所以平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）直接用向量法证明线面的平行可得； （2）先用向量法计算面面角的余弦值，再由同角三角函数关系算正弦可得； （3）先将几何体的体积转化为的体积，进而再用向量的方法计算高及体积. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设为平面的一个法向量， 则，所以，令，可得. 又因为是平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的正弦值为 【小问3详解】 因为，平面的一个法向量， 所以点到平面的距离， 因为，又平面， 则平面，又平面，所以， 又，则， 在中：， 所以，所以，所以， 所以四面体体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 塘沽十三中2026—2027学年度第一学期高二年级 数学学科第一次学情调研 一、单选题（每小题5分，共60分） 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ） A. B. C. D. 3. 已知三棱锥O-ABC中，点M、N分别为AB、OC的中点，且，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，直线，若，则实数a的值为（ ） A. 1或 B. 1或3 C. 1 D. 3 5. 已知直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，若直线平面，则（ ） A. B. 20 C. D. 6. 设x，，向量，向量，，且，，则（ ） A. B. 3 C. 4 D. 7. 圆关于直线：对称的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 9. 已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 过点的直线与连接的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，平行六面体中，以为顶点的三条棱长均为，且两两之间的夹角都是，则（ ） A. B. C. D. 12. 如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，若直线与平面所成的角为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每个题5分，共25分） 13. 过点且垂直于的直线方程是_____. 14. 两条平行直线与间的距离是__________. 15. 已知圆A：和圆B：有3条公共切线，则实数m的值是_________. 16. 直线过点，且其横截距为纵截距的3倍，则的方程为______. 17. 若直线：，则直线恒过定点______；若直线与曲线有两个交点，则实数的取值范围为______. 三、解答题（共35分） 18. 已知圆心为的圆经过点和，且圆心在直线上. （1）求圆的标准方程； （2）过点作圆的切线，求切线方程； （3）求直线上被圆所截得的弦长. 19. 如图，平面，，，. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的正弦值； （3）求四面体的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $