精品解析：北京市中关村中学2026-2027学年高一上学期期中数学试题

北京市中关村中学2026—2027学年第一学期期中试题 高一数学 2026.11 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（共18题，100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往，已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的学生总数多于前往乙地的学生总数，则（ ） A. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C. 去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D. 去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 函数定义域是______. 12. 已知函数，若，则的值是______． 13. 已知关于x的方程的两根分别是，.若，则__________；若，则k的值是__________. 14. 已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 15. 函数满足下列条件： ①函数的定义域为 ②函数的图象关于对称 ③函数不是二次函数. 写出一个函数的解析式：__________ 三、解答题（本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）在条件①或条件②中，任选一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①； 条件②． 17. 求解下列关于的不等式： （1） （2） （3） 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 第Ⅱ卷（共6题，50分） 四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 19. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间内是增函数，则不等式的解集为__________． 20. 李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________ 21. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 五、解答题（本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 22. 以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为600吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为． （1）该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 23. 若函数对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足，则称关于点对称． （1）已知函数的图像关于对称，求实数m的值； （2）在（1）的结论下，已知，若对于任意的正实数t和负实数x，恒有成立，求实数k的取值范围． 24. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和． （1）判断，是不是规范数集，并说明理由； （2）任取一个元规范数集，求证：； （3）当取遍所有2026元规范数集时，写出范数的最小值．（结论不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学2026—2027学年第一学期期中试题 高一数学 2026.11 本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 第Ⅰ卷（共18题，100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由阴影部分表示的集合为进行求解． 【详解】由题知阴影部分表示的集合为. 2. 命题，的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】原命题为全称命题，其否定需将全称量词改为存在量词，且否定结论. 所以命题的否定是. 3. 下列各组函数是同一函数的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】D 【解析】 【分析】同一函数需满足的条件：①定义域一样；②表达式一样，依次判断即可. 【详解】A选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以A选项错误； B选项，，而，两个函数表达式不一样， 所以不是同一函数，所以B选项错误； C选项，定义域为，而定义域为，两个函数定义域不一样， 所以不是同一函数，所以C选项错误； D选项，，定义域为，且定义域为， 两个函数表达式一样，定义域一样，所以D选项正确. 4. 下列函数中，既是奇函数，又在区间上是增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】对于A，的定义域为，关于原点对称， 对任意，，故为偶函数，故A错误； 对于B，的定义域为，关于原点对称， 对任意，，故为奇函数， 又当，与单调递增； 所以在上为增函数，故B正确； 对于C，的定义域为，关于原点对称， 对任意，，故为奇函数， 又为对勾函数，当时，单调递减， 当时，单调递增，故C错误； 对于D，的定义域为，关于原点对称， 对任意，，既不满足，也不满足， 所以为非奇非偶函数，故D错误. 5. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】举例说明判断ABC；利用不等式的性质推理判断D． 【详解】对于A，，当时，，A错误； 对于B，由于，而，B错误； 对于C，取，则 ，C错误； 对于D，由，得，而，于是，D正确． 故选：D． 6. 已知，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用偶函数的定义与性质结合充分条件、必要条件判断即可得出结论. 【详解】因为，若，即，可得， 此时，此时函数的对称轴为轴，即为偶函数， 所以“”“为偶函数”， 若函数为偶函数，由偶函数的性质可知， 所以“”“为偶函数”， 因此“”是“为偶函数”的充分必要条件. 故选：C. 7. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则的值是（ ） A. 4 B. 3 C. 6 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解法计算的值． 【详解】因为的解集为， 故，为方程的两个根； 故，解得；根据韦达定理可知，解得； 故． 8. 若函数是上的单调函数，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先判断时二次函数的单调性，确定整个函数在上的单调性，再结合分段函数在上的单调性建立不等式组求解即可. 【详解】当时，，该二次函数开口向上，对称轴为：， 所以函数在上单调递增， 由函数在上是单调函数，所以函数在上单调递增， 因此有，解得：， 所以实数的取值范围是. 9. 学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往，已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的学生总数多于前往乙地的学生总数，则（ ） A. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B. 去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C. 去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D. 去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解析】 【分析】设出高一、高二选择甲、乙两地博物馆的人数，根据题目条件建立不等关系，即可得出结论. 【详解】由题意，设高一学生选择甲地博物馆的人数为，选择乙地博物馆的人数为， 高二学生选择甲地博物馆的人数为，选择乙地博物馆的人数为， ∴高一总人数：，高二总人数：，选择甲地博物馆的学生人数：，选择乙地博物馆的学生人数：， ∵高一学生人数多于高二学生人数，选择甲地博物馆的学生人数多于选择乙地博物馆的学生人数， ∴，由不等式的性质，两式分别相加并化简得， ∴选择甲地博物馆的高一学生人数多于选择乙地博物馆的高二学生人数，故B正确，A，C，D均无法判断. 10. 由无理数引发的数学危机一直延续到世纪，直到年，德国数学家戴德金提出了“戴德金分割”才结束了持续多年的数学史上的第一次大危机.所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割.试判断，对于任一戴金德分割，下列选项中一定不成立的是（ ） A. 没有最大元素，有一个最小元素 B. 没有最大元素，也没有最小元素 C. 有一个最大元素，有一个最小元素 D. 有一个最大元素，没有最小元素 【答案】C 【解析】 【分析】本题目考察对新概念的理解，举具体的实例证明成立即可，A,B,D都能举出特定的例子，排除法则说明C选项错误 【详解】若，；则没有最大元素，有一个最小元素；故A正确； 若，；则没有最大元素，也没有最小元素；故B正确； 若，；有一个最大元素，没有最小元素，故D正确； 有一个最大元素，有一个最小元素不可能，故C不正确. 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．） 11. 函数定义域是______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得，解得. 12. 已知函数，若，则的值是______． 【答案】 【解析】 【详解】当时，由得，不满足，舍去； 当时，由得或，均满足； 当时，由得，不满足，舍去. 综上，. 13. 已知关于x的方程的两根分别是，.若，则__________；若，则k的值是__________. 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】由题意，或，然后结合韦达定理的常见变形即可求解. 【详解】由题意，或， 第一空：若，则； 第二空：若，则，解得或（舍去）； 故答案为：1；. 14. 已知，其中，，其中，则之间的大小关系是______. 【答案】 【解析】 【分析】分别求得的范围即可比较之间的大小关系. 【详解】因为,所以， 又因为， 所以，当且仅当时取等号， 由，得， 所以， 综上可知. 故答案为： 15. 函数满足下列条件： ①函数的定义域为 ②函数的图象关于对称 ③函数不是二次函数. 写出一个函数的解析式：__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题是一个开放题，根据题意构造函数即可； 【详解】解：依题意，函数满足下列条件：①函数的定义域为 ②函数的图象关于对称 ③函数不是二次函数. 故答案为： 【点睛】本题属于开放题，只需找出符合题意的函数解析式即可，属于基础题. 三、解答题（本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 16. 已知集合. （1）当时，求； （2）在条件①或条件②中，任选一个作为已知，求实数的取值范围． 条件①； 条件②． 【答案】（1） （2）任选条件①或②，实数的取值范围为. 【解析】 【分析】（1）先将代入集合，求出集合，再利用补集和交集的定义求解即可； （2）选条件①或②，都有，分、两种情况讨论，根据集合的包含关系可得出关于实数的不等式（组），解不等式组可得出实数的取值范围. 【小问1详解】 因为，所以，或， 当时，， 因此，. 【小问2详解】 选条件①：得； 选条件②：得； 所以选条件①或②，都有，     当时，，解得，满足题意； 当时，则，解得：， 综上所述，，所以实数的取值范围为. 17. 求解下列关于的不等式： （1） （2） （3） 【答案】（1） （2） （3）当时，解集为；当时，解集为空集；当时，解集为 【解析】 【小问1详解】 令，即， 解得. 【小问2详解】 令，则，即， 可得，解得. 【小问3详解】 若，则，当时，解得； 当时，解得；当时，解得. 综上可得，当时，解集为； 当时，解集为空集；当时，解集为. 18. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）判断在区间上单调性，并用定义法证明； （2）求函数在上的解析式； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1）在上单调递增； 证明过程如下： 任取，则， 因为，所以，，即， 所以在上单调递增； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）任取，计算，判定其正负，根据单调性的定义，即可得出结果； （2）根据函数奇偶性，由题中条件，求出和时的解析式，即可得出结果. （3）先证明函数在上单调递增，结合函数性质化简不等式可得结论. 【小问1详解】 在上单调递增； 证明过程略； 【小问2详解】 因为时，有， 当时，，则， 又函数是定义在上的奇函数，所以， 则，所以， 因此，故； 【小问3详解】 因为函数为奇函数，在上单调递增， 所以函数在上单调递增，且， 所以不等式可化为， 所以， 解得， 不等式的解集为. 第Ⅱ卷（共6题，50分） 四、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 19. 已知函数是定义在上的偶函数，且在区间内是增函数，则不等式的解集为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数是定义在上的偶函数得到，由在区间内是增函数，则转化为，通过计算求解. 【详解】因为函数是定义在上的偶函数，所以， 因为，所以， 因为在区间内是增函数， 所以转化为， 则，解得， 即，即，解得， 则的解集为. 20. 李华自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为40元/盒、45元/盒、60元/盒、70元/盒．为增加销量，李华对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付____________元． ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为_________ 【答案】 ①. 90 ②. 10 【解析】 【分析】（1）根据题意可得顾客需要支付的费用； （2）设是总价，据题意，在时，列出不等式，解之可得，注意分类讨论． 【详解】（1）顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，由草莓40元/盒，西瓜60元/盒， 得总价为元. 因为一次购买水果的总价达到80元，顾客就少付10元，所以支付元（元）； （2）设订单总价为， 若，没有优惠，符合题意； 若，则，，而， 所以，最大值为． 故答案为：（1）90；（2）10. 21. 若函数的定义域为，且对任意正数，都存在，使得，则称具有性质．将具有性质的函数所构成的集合记为．给出下列四个结论： ①存在，使得； ②存在，使得且； ③若，且为增函数，则； ④若，且为奇函数，为偶函数，则． 其中正确结论的序号是_____________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】对于①，通过构造具体的函数和，验证具有性质即可；对于②，构造合适的函数，分别验证是否具有性质即可；对于③，通过举反例来验证不具有性质；对于④，对于任意正数，由，可得存在，使得，根据的奇偶性利用绝对 值不等式，可找到或，使得，从而推出具有性质. 【详解】对于①：设；，两函数定义域均为， 结合函数图象可知，对任意正数， 都存在，使得；也都存在，使得； 故. 由，任意，都有. 故对任意正数，都不存在，使得； 所以，故①正确； 对于②：设，两函数定义域均为， 则，， 可知，，，，，故②正确； 对于③：设， 定义域均为，且为增函数， ，. 则，对任意，都有. 对于任意正数，都不存在，使得； 所以，故③错误； 对于④：因为为奇函数，为偶函数，且. 则定义域均为， 对于任意正数，因为，所以存在，使得， 又因为为奇函数，为偶函数，所以. 则对任意正数， 都有 ； 假设且， 则，这与矛盾，故假设错误， 故中至少一个大于， 即对任意正数，存在或，使得. 所以，故④正确. 故答案为：①②④. 五、解答题（本题共3小题，共35分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）． 22. 以贯彻“节能减排，绿色生态”为目的，某科研单位进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为200吨，最多为600吨，月处理成本（百元）与月处理量（吨）之间的函数关系可近似地表示为． （1）该单位每月处理成本的最小值和最大值分别是多少百元？ （2）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？ 【答案】（1） 该单位每月处理成本的最小值为350百元，最大值为800百元； （2） 该单位每月处理量为400吨时，每吨的平均处理成本最低。 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的开口方向、对称轴与给定的处理量取值区间，利用二次函数的单调性求解闭区间上的成本最值； （2）先建立每吨平均处理成本的函数解析式，再通过基本不等式求解平均成本的最小值及对应的处理量. 【小问1详解】 对于成本函数，其二次项系数，因此抛物线开口向上，对称轴为直线， 由于对称轴落在区间内部，因此函数在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得最小值： （百元）， 当时，（百元）； 当时，（百元）， 故当时，函数取得最大值（百元）. 【小问2详解】 根据题意，每吨的平均处理成本为，将成本函数代入可得： ，其中， 由于，因此，，根据基本不等式可得： ，当且仅当，即时等号成立， 由于，符合处理量的取值范围要求，因此当每月处理量为吨时，每吨的平均处理成本最低. 23. 若函数对于定义域中的任意实数x，都存在实常数a，b满足，则称关于点对称． （1）已知函数的图像关于对称，求实数m的值； （2）在（1）的结论下，已知，若对于任意的正实数t和负实数x，恒有成立，求实数k的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件对函数对称点的定义进行求解即可. （2）先根据基本不等式的性质求出的最小值，然后结合抛物线的性质求出的范围. 【小问1详解】 由题意知，若的图像关于点对称，则． ∵的图像关于点对称，∴， ∴，∴，∴． 【小问2详解】 由题意知恒成立． ∵，∴， ∴要使得不等式恒成立，则在上恒成立， 即在上恒成立． 设，． ①当即时，，∴，∴． ②当即时，． 综上可知，． 24. 给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和． （1）判断，是不是规范数集，并说明理由； （2）任取一个元规范数集，求证：； （3）当取遍所有2026元规范数集时，写出范数的最小值．（结论不要求证明） 【答案】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则， 则，且，使得， 当时， ， 当且仅当且时，等号成立； 当时， . 当且仅当且时，等号成立； 当且时， . 当且仅当时，等号成立； 综上所述：. （3） 【解析】 【分析】（1）根据规范数集的定义判断即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数. 所以范数的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $