精品解析：北京十一实验中学2026-2027学年高一上学期第1学段教与学诊断数学试卷

北京十一实验中学2026-2027学年高一年级第1学段 教与学诊断 数学学科 2026. 11 考生须知： 1．本试卷共4页，共2部分，23道小题.满分150分.考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写姓名、所在学科班级． 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分 选择题（共40分） 本部分共10题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 【答案】B 【解析】 【详解】已知向量与共线， 则，解得． 2. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，的定义域为，，故是奇函数，A错； 对于B，的定义域为，不关于原点对称，故是非奇非偶函数，B错； 对于C，的定义域为，，故为偶函数， 当时，在区间上单调递减，C对； 对于D，的定义域为或，，故是奇函数，D错． 3. 幂函数在单调递减，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 【答案】D 【解析】 【分析】 【详解】由为幂函数可得，即， 又幂函数在单调递减可得，即， 所以. 4. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复合函数“同增异减”的单调性规则，先求出函数在单调递减的充要条件，再判断对应选项为该充要条件的真子集即可 【详解】函数是外层函数与内层函数的复合函数， 外层函数性质：底数，故在定义域上为单调递减函数 由复合函数“同增异减”的判定规则，要使在单调递减，需同时满足两个条件： （1）内层函数在上单调递增；（2）在上恒成立. 因为为开口向上的二次函数，对称轴为，所以，解得； 因为在单调递增，所以，只需边界值，代入得，解得. 综上，在单调递减的充要条件为，其充分不必要条件对应集合是的真子集. 选项A： ，满足充分不必要要求； 选项B：为充要条件，不符合要求； 选项C、D：集合内存在的取值，无法满足在恒成立，不是充分条件. 5. 如图，在中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ） A. 54 B. 49 C. 36 D. 16 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线定理得出，再利用基本不等式“乘1法”求出的最小值. 【详解】由题意可知，点是线段上的动点（端点除外），且， 则， ，， 由， 当且仅当，即时等号成立. 联立，解得， 即当时，的最小值为. 6. 已知向量，，是两两不平行的向量，“且”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】充分性验证：若且. 根据共线向量定理，存在，满足：① ② 由①整理得，代入②得： 整理得. 因为不共线，根据平面向量基本定理，对应系数相等：， 联立消去得，充分性成立. 必要性验证：若，取，满足两两不平行， 此时，，显然，两向量不平行，无法推出题设的两个平行关系，必要性不成立. 综上，题设条件是的充分不必要条件. 7. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】由于，所以，可知，解得， 则，由， 所以， 即，所以所需的训练迭代轮数至少为6次． 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，利用中间量判断. 【详解】因为， ，所以， 因为， 所以， 所以. 故选：B 9. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析当时函数有一个零点，要使得函数有两个零点，则当时要有一个零点，根据函数零点问题转化为方程根的个数问题，再转化为两个函数图象交点问题，画函数图象分析得出满足题意的不等式，解出即可. 【详解】当时，， 令，所以或， 解得：，所以当时，函数有一个零点， 所以要使恰有两个零点，则当函数还有另一个零点， 当时，，令， 则，所以当函数要有一个零点， 则方程有一个根，也即函数与函数要有一个交点， 又，单调递增，且， 所以函数与函数在上要有一个交点， 如图所示： 则， 故选：D. 10. 已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论： ①不可能为等边三角形； ②设，则当最大时，； ③； ④当AB不与轴垂直时，直线过定点． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】结合抛物线的对称性可判断①；根据三点共线的结论结合基本不等式可判断②；利用三点共线结合直线的斜率公式判断③；利用直线的点斜式方程可判断④. 【详解】由题意知在抛物线上， 由于三点共线，，如图所示： 对于①，假设为等边三角形，则关于y轴对称， 则，此时，与假设矛盾， 故不可能为等边三角形，①正确； 对于②，三点共线，且C在之间，设， 则，结合， 可得，且，故， 当且仅当时，取最大值， 由可得，②正确； 对于③，由于三点共线， 故，故，即， 由于，故，③正确； 对于④，当AB不与轴垂直时，， 则，则的方程为， 即， 而，故，即直线过定点，④正确， 故选：D 【点睛】关键点睛：本题综合考查了抛物线的对称性以及向量中的三点共线问题以及直线过定点问题，解答的关键是要结合直线的点斜式以及截距式确定定点. 第二部分 非选择题（共110分） 11. ______． 【答案】 ## 【解析】 【详解】因为，， ，， 所以原式. 12. 函数的定义域是_______________． 【答案】 【解析】 【详解】解不等式组，得且，故函数的定义域为． 13. 已知向量，，若，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 所以，所以， 所以. 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出向量的坐标，根据向量线性运算的坐标表示列出方程组求解即可. 【详解】如下图，将，，平移至相同起点，且，，， 并建立平面直角坐标系， 设每个单元格长为，则，，，又， 则，所以， 解得. 所以. 15. 已知，且，则实数m的值为_______． 【答案】45 【解析】 【分析】由指数式得到对数式，由换底公式和对数运算法则得到答案. 【详解】由，得， ， ， ． 故答案为：45. 16. 已知函数，则不等式的解集为_______． 【答案】 【解析】 【分析】判断函数的奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性脱“”即可求解. 【详解】函数， 令，解得，故函数的定义域为， ， 故函数是奇函数. 而函数在上单调递减， 函数在上单调递增， 因此函数在上单调递减. 不等式 ， 所以所求不等式的解集为． 故答案为:. 17. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，且，若，则______；______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】建立直角坐标系，利用正方形的性质结合已知条件求出相关点坐标，进而得出相关向量坐标，利用构造方程组求解． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示坐标系，     设正方形边长为，则，， ，， ， ， ，解得． 18. 已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分段画出函数图像，将方程不同的实数解转化为图象间的交点问题进行解答，之后使用二次函数的韦达定理和函数的单调性进行解答. 【详解】函数， 当时，， 令，即，图象为对勾函数向下平移个单位， 最低点是，即时取到，坐标为； 当时，， 当时，，即，可得， 这是单调递减的指数型函数，最低点坐标为，与轴交点为， 当时，，即，可得， 这是单调递增的指数型函数，从点开始，当时，，渐近线为， 分段画出函数图象， 由图象可知，有四个不等的实数解， 即函数和直线有四个交点，的取值范围是. 根据题目条件，， 因此由图象可知，和是方程的两个根，化简可得， 根据韦达定理，可得， 是方程的根， 可得，即， 是方程的根，可得，即， 所以， 因此， 设函数，配方可得， 当时，单调递减，值域为， 所以，即 ， 因此的取值范围是. 19. 已知全集为R，集合 集合 B=. （1）求集合A，B及A∩B: （2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对于集合，根据指数函数单调性求解的范围. 对于集合，根据对数函数的性质，求解的范围. 对于，求两个集合的交集，即求既属于又属于的元素组成的集合. （2）对于，根据集合的包含关系，再根据集合的定义求解的取值范围. 【小问1详解】 因为，指数函数是单调递增函数. 所以. 解为，即. 因为，对数函数是单调递增函数. 所以，解得，即. 则. 【小问2详解】 对于集合，可得，即. 因为，所以. 则有. 解第一个不等式，得. 解第二个不等式，得. 所以的取值范围是. 20. 如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：，，三点共线． （3）若与交于点，，求实数的值．（写过程） （4）若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 【答案】（1）， （2） 证明：， 与平行，又与有公共点C， C，D，E三点共线； （3） ， ． 与共线， 存在实数，使得， 即， 即． ，不共线，，解得； （4） 【解析】 【分析】（1）根据向量的线性运算即可求解； （2）根据向量的线性运算表示，即可根据倍数关系判断共线，即可求证； （3）根据向量的线性运算表示，即可根据向量共线列式计算求解； （4）根据向量的线性运算表示，即可根据向量相等计算求解. 【小问1详解】 由题意得， ，，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ，， ， ， 所以，. 21. 已知定义域为R的函数，已知． （1）求a的值； （2）判断在上的奇偶性，并用定义证明； （3）解不等式． 【答案】（1） （2）函数是上的奇函数，证明如下： 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数； （3）或. 【解析】 【分析】（1）由可得解； （2）先判断函数为奇函数，结合奇函数定义通过证明证明结论； （3）先证明函数的单调性，结合函数的奇偶性和单调性可得，从而得，进而得解. 【小问1详解】 因为，， 所以， 解得， 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 由（1）知，下面证明该函数为减函数， 设，， ∵，， 所以，，单调递减； 因为是上的奇函数，且单调递减， 所以， 所以，解得或， 所以解集为或. 22. 已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递增，证明： 任取，且， 则 . 因为，所以，，则. 所以，即， 因此，函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的定义求解参数的值即可； （2）先判断出函数的单调性，利用函数的单调性的定义证明即可； （3）对恒成立，分离参数，转化为对恒成立.令，求解其最小值即可. 【小问1详解】 由于函数为上的偶函数， 所以对恒成立，即，对恒成立， 即对恒成立， 整理得，对恒成立且， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由题得对恒成立， 即对恒成立， 因为，所以， 则且对恒成立. 设，令，因为，所以. 则， 因为在上单调递增， 则，且函数在上单调递减. 故. 因此，，又，则实数a的取值范围是. 23. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 【答案】（1）①不是. 当时，， ， 所以不是集合中的元素； ②是. ，， 所以是集合中的元素. （2）1 （3）证明:充分性：因为，所以，，，进而， 同理，相加得，即，所以充分性满足； 必要性：设，，， 所以，此时，当时，， 所以在上单调递减，因此，所以必要性不满足； 综上所述，是的充分不必要条件. 【解析】 【分析】（1）判断①时，取结合定义进行分析；判断②时，根据的结果进行分析； （2）分别考虑： ，然后根据定义结合对数运算以及对数函数单调性分析出时，时，由此可确定出的最小值； （3）根据定义直接分析充分性，证明必要性成立时取，然后分析在上的单调性，由此推出矛盾完成证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时，，， ， 因为，在上单调递减， 故成立，即； 若，令，， ， 因为，在上单调递减， 所以，因此， 综上所述，的最小值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：本题考查函数与不等式的综合，涉及参数范围求解、充分不必要条件的证明等问题，对学生的分析与推理能力要求较高，难度较大.解答本题第三问的关键：证明充分性时，通过将和加起来，以此证明；证明必要性时，构造并分析的单调性是证明的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京十一实验中学2026-2027学年高一年级第1学段 教与学诊断 数学学科 2026. 11 考生须知： 1．本试卷共4页，共2部分，23道小题.满分150分.考试时间120分钟． 2．在试卷和答题纸上准确填写姓名、所在学科班级． 3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效． 4．在答题纸上，试题用黑色字迹签字笔作答． 5．考试结束，将本试卷和答题纸一并交回． 第一部分 选择题（共40分） 本部分共10题，每小题4分，共40分．在每题列出的四个选项中，选出最符合题目要求的一项． 1. 若平面向量与共线，则（ ） A. B. C. 1 D. 4 2. 下列函数中，是偶函数且在区间上单调递减的是（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在单调递减，则（ ） A. B. C. 3 D. -3 4. 函数在上单调递减的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，点D是线段BC上的动点（端点除外），且，则的最小值为（ ） A. 54 B. 49 C. 36 D. 16 6. 已知向量，，是两两不平行的向量，“且”是“”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. DeepSeek是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.6，衰减速度为20，且当训练迭代轮数为10时，学习率衰减为0.3，则学习率衰减到0.4以下（不含0.4）所需的训练迭代轮数至少为（ ）（参考数据：，） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数若恰有两个零点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知三点共线，其中，点关于轴的对称点为点，给出下面四个结论： ①不可能为等边三角形； ②设，则当最大时，； ③； ④当AB不与轴垂直时，直线过定点． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 第二部分 非选择题（共110分） 11. ______． 12. 函数的定义域是_______________． 13. 已知向量，，若，则____________． 14. 向量，，在正方形网格中的位置如图所示，若，则______． 15. 已知，且，则实数m的值为_______． 16. 已知函数，则不等式的解集为_______． 17. 如图，在正方形ABCD中，点E在CD上，且，若，则______；______． 18. 已知函数，方程有四个不等的实数解，分别为，，，（），则m的取值范围是__________；的取值范围是__________. 19. 已知全集为R，集合 集合 B=. （1）求集合A，B及A∩B: （2）若C={}， 且满足A∪C=A， 求实数的取值范围. 20. 如图，点是点关于点的对称点，点是线段上一个靠近点的三等分点，设，． （1）用向量与表示向量，； （2）若，求证：，，三点共线． （3）若与交于点，，求实数的值．（写过程） （4）若，（，为实数），探究与第（3）问中的数量关系（直接写出结论） 21. 已知定义域为R的函数，已知． （1）求a的值； （2）判断在上的奇偶性，并用定义证明； （3）解不等式． 22. 已知函数为定义在上的偶函数. （1）求实数的值； （2）令，判断在上的单调性，并用函数单调性的定义证明； （3）若对恒成立，求实数的取值范围. 23. 对于函数，记所有满足，都有的函数构成集合；所有满足，都有的函数构成集合. （1）分别判断下列函数是否为集合中的元素，并说明理由， ①；②； （2）若（）是集合中的元素，求的最小值； （3）若，求证：是的充分不必要条件. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $