精品解析：重庆市第二外国语学校2026-2027学年九年级上学期期中考试数学试卷

2026-2027学年秋季学期半期考试九年级数学试题 （全卷共三大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：它的俯视图是． 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A选项，未知数最高次数为1，不符合； B选项，含两个未知数，不符合； C选项，仅含一个未知数，最高次数为2，是整式方程，符合； D选项，分母含未知数，不是整式方程，不符合． 3. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的画面 C. 阳光下窗框的影子 D. 台灯下书本的影子 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心投影、平行投影的定义，逐一分析各选项中的影子即可作出判断． 【详解】解：∵中心投影是由点光源发出的光线形成的， ∴路灯下人的影子、电影院银幕上的画面、台灯下书本的影子都属于中心投影， ∵太阳光是平行光线， ∴阳光下窗框的影子是平行投影，不属于中心投影． 4. 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若四边形和四边形的周长比为．则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查位似图形的性质以及相似图形的性质，根据位似比等于相似比，相似多边形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，四边形和四边形的周长比为， 四边形和的相似比为， ． 故选：A． 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查二次函数图象的平移，准确掌握平移方法是解题的关键．根据函数图象平移的方法：左加右减，上加下减，可得答案． 【详解】解：抛物线向左平移个单位可得，再向下平移个单位可得， 故选：B． 6. 如图，直线，分别交直线，于点，，和点，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法将二次函数一般式化为顶点式，即可得到顶点坐标． 【详解】解：， ∴抛物线的顶点坐标为． 8. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一条，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. 重合四边形一定是平行四边形 B. 当两张纸片宽度相等时，重合四边形是菱形 C. 当两张纸片等宽且互相垂直放置时，重合四边形是正方形 D. 若重合四边形是矩形，则两张纸片的宽度一定相等 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵，， ∴重合四边形一定是平行四边形，说法正确； B、∵两张纸片宽度相等， ∴和边上的高相等，设高为， ∵， ∴， ∴重合四边形是菱形，说法正确； C、当两张纸片等宽时，重合四边形是菱形， 又互相垂直时，重合四边形是正方形，说法正确； D、若重合四边形是矩形，则两张纸片的宽度不一定相等，原说法错误． 9. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③；④对于任意的实数，当时，；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给函数图象，得出、、的符号，再结合抛物线的对称性及增减性对所给结论依次进行判断即可． 【详解】解：由所给图象可知，，， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴．故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴．故②错误； ∵对称轴为直线， ∴与的函数值相等， ∵时，， ∴时，， ∴，故③正确； ∵抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴当时，二次函数有最大值， 即对于抛物线上的任意一点（横坐标为，当时，总有， 即．故④正确． 10. 关于的一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ②若是一元二次方程的根，则； ③若，且，则方程的两实数根一定互为相反数； ④若实数，分别满足方程，，且，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得出，再根据根判别式即可确定方程的解，则可判断①；将代入一元二次方程，得出 ，再代入的展开式即可判断②；根据，，得出，则两根之和为，再根据根判别式确定方程根的情况，即可判断③；先确定，将变形为，得出和是一元二次方程的两个不相等的实数根，根据根与系数的关系，得，，再代入求解即可判断④； 【详解】解：①∵方程有两个不相等的实数根， ∴，方程的判别式， ∵，， ∴， ∴方程必有两个不相等的实数根，故①正确； ②∵是一元二次方程的根， ∴，即， ∴，故②正确； ③∵， ∴，即或， ∵， ∴与异号，， ∴， ∴方程为，两根之和为， 又∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根，且两实数根互为相反数，故③正确； ④若，代入得，不成立，故， 将两边同时除以，得， 又∵，且，即， ∴和是一元二次方程的两个不相等的实数根， 根据根与系数的关系，得，， ∴， 代入，，得原式，故④正确； 综上所述，4个说法都正确． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】解：∵，， ∴． 12. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，再由相似三角形的性质得，求得该古城墙的高度． 【详解】解：由题意知：入射光线与反射光线，， 又， ， 所以 即， 解得． ∴该古城墙的高度是． 13. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有39次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过大量重复摸球试验得到的红球频率可估计摸到红球的概率，结合球的总数量计算红球的估计个数． 【详解】解：∵共进行100次摸球试验，其中39次摸到红球， ∴摸到红球的频率为， 根据频率稳定性，可估计从口袋中随机摸出一个球为红球的概率为0.39， ∵口袋中红球、白球总共有10个， ∴估计口袋中红球的个数为， 结合球的个数为整数的实际情况，取近似值为4． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为2，则方程的另一个根的值为_______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设方程的另一个根为， ∵ 对于一元二次方程，两根之积为， ∴ 代入方程的对应系数，可得． ∴ 解得． 15. 二次函数与轴分别交于，两点（点在点右侧），则点的坐标为________，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，得到一个新函数的图象如图所示，当一次函数与新函数有且只有个交点时，的取值范围为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】当时，求得点,，根据图形的翻折得到新函数的表达式，根据一次函数与新函数图象有且只有个交点，联立两个函数表达式，通过判别式和交点的取值范围解得的取值范围． 【详解】解：当二次函数中时，即， 解得， ∵点在点右侧， ∴,， ∵二次函数图象在轴上方的部分，即当的部分，沿轴翻折到轴下方， ∴新函数的表达式为：， ∵一次函数与新函数图象有且只有个交点， ∴一次函数与中间段抛物线有两个交点，且与两侧翻折后的抛物线各有一个交点， 当一次函数与中间段有两个交点时，联立两个函数表达式得， ∴判别式， ∴，解得：， 设二次函数， ∴一次函数与中间段有两个交点，等同于二次函数与轴有两个交点，且两个交点的横坐标均满足， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴解得：， 一次函数与两侧段有两个交点时，联立两个函数表达式得， ∴判别式， ∴，解得：， 设二次函数， ∴一次函数与两侧段有两个交点，等同于二次函数与轴有两个交点，且两个交点的横坐标满足， ∴当时，，解得：， 当时，，解得：， ∴解得：， ∴的取值范围为：． 16. 如图，在边长为6的正方形中，是边上一点，是延长线上一点，且，连接、，过点作的垂线交于点，交于点，连接，若，则点到边的距离为________，与的面积比为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】如图，连接，首先证明，得到是等腰直角三角形；过点作、的垂线，垂足分别为点、，进而证明，得到四边形为正方形，由此求出、、的长度，即可得到点到边的距离，设，在中，由勾股定理求出的值，进而求出的面积，证明，求出的长，进而求出的长，求出的面积，即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接． 在与中 ， ，， ，即是等腰直角三角形． 又， ． 过点作、的垂线，垂足分别为点、，则， 又， ， ． 在与中， ． ， 四边形为正方形． ， ，即点到边的距离为， ． 在中，由勾股定理得：． ． ． 设，则，， 在中，由勾股定理，得， 解得（负值舍去）， ∴，，  ， ∵， ∴， ∵， ， ，即， ∴，   ∵点到的距离为， ， . 三、解答题（本大题9个小题，17，18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： 或， 解得：，； 【小问2详解】 解： ∴， ∴， ∴， 解得：，． 18. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，随机摸取个小球然后放回，再随机摸出个小球，求两次取出的小球标号的和等于的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 【答案】两次取出的小球标号的和等于的概率为 【解析】 【详解】解：列表如下： 由表可知，共有种等可能的结果，其中两次取出的小球标号的和等于的结果有种，即，，， 两次取出的小球标号的和等于的概率为． 19. 如图所示，四边形是平行四边形．根据以下作图做进一步的探究： （1）利用尺规完成以下作图，过点作的垂线交于点，在的右侧作交射线于点．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，请判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）如图，即为所求作的垂线；即为所求作的角． （2）四边形为矩形；理由如下： ∵四边形为平行四边形， ∴，， 根据作图可得：，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为矩形． 【解析】 【分析】（1）根据尺规作垂线的方法作，根据作一个角等于已知角的方法作即可； （2）根据平行四边形的性质得出，，证明，得出四边形为矩形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图，在中，为上一点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据可得，即，再结合即可证明结论； （2）根据可得，再将已知条件代入求解即可． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴，解得：， ∴． 21. 重庆南滨路无人机灯光秀，是重庆一张动人的城市名片．夜幕之下，万千无人机次第腾空，点点星光缀满两江夜空，在浩瀚夜空中描绘出一幕幕精彩画卷． （1）据统计，该灯光秀2024年现场观看人数为150万人次，预计2026年观看人数将达到216万人次，假设这两年观看人数的年平均增长率相同，求年平均增长率； （2）南滨路有一商家抓住商机，售卖无人机主题纪念徽章．已知该徽章每个进价22元，当售价定为每个38元时，每日可售出160个．为了助力灯光秀表演，该商家决定降价促销．市场调查发现，这种徽章的售价每降价3元，其日销售量增加120个．商家每日还需支付摊位租金140元．若要使每日销售这种徽章获利3500元，且尽可能让利给每位消费者，则这种徽章售价应定为每个多少元？ 【答案】（1）年平均增长率为 （2）这种徽章售价应定为每个元 【解析】 【分析】（1）设年平均增长率为，由题意得：，然后进行求解即可； （2）设这种徽章售价应定为每个元，由题意得：，进而进行求解即可． 【小问1详解】 解：设年平均增长率为，由题意得： ， 解得：（不符合题意，舍去）； 答：年平均增长率为 【小问2详解】 解：设这种徽章售价应定为每个元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让利给每位消费者， ∴； 答：这种徽章售价应定为每个元． 22. 为了进一步提高学生的劳动素养，重庆二外劳动课老师准备在博雅楼楼顶用铝合金栅栏围出一块矩形作为劳动教育基地．矩形的一边利用楼顶的一面围墙（墙的最大可利用长度为29米，靠墙一面不用栅栏），其余三边用铝合金栅栏，矩形中间再用栅栏分隔成两个小矩形分别种植玉米和番茄，已知所用铝合金栅栏的总长度为54米，设菜地的宽为米． （1）__________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形场地面积为216平方米，求栅栏的长度； （3）当为何值时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 【答案】（1） （2）米 （3）当时，矩形场地面积最大，最大面积为平方米 【解析】 【分析】（1）由图可知，总栅栏长度包含3段和等长的竖栅栏和，进而作答即可； （2）根据（1）中代数式列方程求解，判断是否符合墙的可利用长度即可； （3）根据（1）中代数式列函数解析式，求出自变量的取值范围，进而根据二次函数的性质作答即可． 【小问1详解】 解：由图可知，总栅栏长度包含3段和等长的竖栅栏和， ∵菜地的宽为米，所用铝合金栅栏的总长度为54米 ∴米； 【小问2详解】 解：∵菜地的宽为米，米，矩形场地面积为216平方米， ∴， 整理得， 解得，． 当时，，符合要求； 当时，，超出墙的可利用长度，舍去． 因此长为12米； 【小问3详解】 解：∵菜地的宽为米，米， ∴矩形场地的面积， ∵墙的最大可利用长度为29米，且、为正数， ∴， 解得：， ∴矩形场地的面积， 这是开口向下的二次函数，当时，解析式有最大值，此时解析式最大值为， ∵在范围内， ∴当时，矩形场地面积最大，最大面积为平方米． 23. 如图，矩形中，，，对角线，交于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时所在的直线以每秒1个单位长度的速度向左平移，直线与线段和分别相交于点，．当直线到达点时，点停止运动．设它们的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （2）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）， （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）证明，则可证明推出，据此根据三角形的面积公式求出对应的函数关系式，再画图即可； （2）分两种情况：当时，点E在上运动，当时，点E在上运动，分别画出示意图求出对应的函数关系式，再画图即可； （3）求出两个函数的交点的横坐标，结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴； 由平移的性质可得， ∴， ∴，， ∴； ∵直线以每秒1个单位长度的速度向左平移， ∴， ∴， ∴， ∴ 列表如下： 1 2 3 4 5 3 画图见答案； 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴点E运动到点D的时间为， ∵矩形的对角线交于点O， ∴， ∴； 如图所示，当时，点E在上运动， 由题意得，，则， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当时，点E在上运动， 由题意得，， ∵， ∴， ∴； 综上所述，； 列表如下： 1 2 1 3 4 1 画图见答案； 【小问3详解】 解：联立得， 解得或（舍去）， ∴由函数图象可得当时，的取值范围为． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为．当线段取得最大值时，求点的坐标及的面积； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为新抛物线的顶点，点为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为，的面积为 （3）当时，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法可直接进行求解； （2）由题意易得，则有，然后得出直线的解析式为，过点作轴，交于点，设，则，则有，进而根据铅垂法可进行求解； （3）由题意易得平移后的抛物线可看作是由原抛物线先向下平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度得到，则有平移后的抛物线解析式为，然后可得直线的解析式为，设，由题意可分当点在点下方时，当点在点上方时，进而分类进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意把点，代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：令，则有，解得：， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 过点作轴，交于点，如图所示： 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，且， ∴当时，的值最大，此时点的坐标为， ∴ ； 【小问3详解】 解：由题意可得图象如图所示，设直线与新抛物线的交点为，过点作轴， ∵ ， ∴ ， ∴是等腰直角三角形， ∵将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，即， ∴， ∴平移后的抛物线可看作是由原抛物线先向下平移一个单位长度，再向右平移一个单位长度得到， ∵， ∴平移后的抛物线解析式为， ∴顶点，对称轴为直线， 设直线的解析式为，则有： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设，由题意可分：当点在点下方时，满足，过点作，交的延长线于点，分别作轴，，如图所示，则是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 代入得：， 解得：， ∴； 当点在点上方时，满足，如图， 同理可得， 解得：， ∴； 综上所述：当时，点的坐标为或． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接，，． （1）如图1，若，，求的周长； （2）如图2，若点为线段中点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请直接写出的最小值． 【答案】（1） （2）， 证明：如图，过点作的延长线于点G，作于点H， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为线段中点， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， 由勾股定理得：； （3） 【解析】 【分析】（1）由题意易得，则有，，然后可得，进而根据等腰直角三角形的性质可进行求解； （2）过点作的延长线于点G，作于点H，证明，得到，证明四边形是矩形，得到，即可证出为等腰直角三角形，再利用勾股定理建立关系即可； （3）在的延长线上截取，连接，在上截取，连接并延长，交于点，证明可得到，即可推出点N轨迹在与夹角为的直线上，作点D关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，，，由，可得到当取最小值时，A，N，三点共线，最小值为，利用勾股定理运算求解即可． 【小问1详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴的周长为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，在的延长线上截取，连接，在上截取，连接并延长，交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N轨迹在与夹角为的直线上，作点D关于直线的对称点，延长交直线于点，连接，，，如图， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当取最小值时，A，N，三点共线，最小值为， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年秋季学期半期考试九年级数学试题 （全卷共三大题，满分：150分，考试时间：120分钟） 参考公式：抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线． 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 如图是社团小组运用打印技术制作的模型，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列现象中，不属于中心投影的是（ ） A. 路灯下人的影子 B. 电影院银幕上的画面 C. 阳光下窗框的影子 D. 台灯下书本的影子 4. 四边形和四边形是以点为位似中心的位似图形，若四边形和四边形的周长比为．则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线向左平移1个单位，再向下平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线，分别交直线，于点，，和点，，，若，，则的长是（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将两张对边平行的纸片随意交叉叠放在一起，转动其中一条，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（ ） A. 重合四边形一定是平行四边形 B. 当两张纸片宽度相等时，重合四边形是菱形 C. 当两张纸片等宽且互相垂直放置时，重合四边形是正方形 D. 若重合四边形是矩形，则两张纸片的宽度一定相等 9. 如图，抛物线与轴交于、两点，与轴的正半轴交于点，对称轴是直线，其顶点在第二象限，给出以下结论：①；②；③；④对于任意的实数，当时，；其中正确的结论个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10. 关于的一元二次方程，下列说法正确的个数是（ ） ①若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ②若是一元二次方程的根，则； ③若，且，则方程的两实数根一定互为相反数； ④若实数，分别满足方程，，且，那么． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上） 11. 已知，则______． 12. 如图，是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点处放一水平的平面镜，光线从点出发经平面镜反射后刚好射到古城墙的顶端处，已知，，且测得，，，那么该古城墙的高度是__________． 13. 一个口袋中有红球、白球共10个，这些球除颜色外都相同．将口袋中的球搅拌均匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色后再放回口袋中．不断重复这一过程，共摸了100次球，发现有39次摸到红球，则可估计这个口袋中红球的个数是________． 14. 已知关于的一元二次方程的一个根为2，则方程的另一个根的值为_______． 15. 二次函数与轴分别交于，两点（点在点右侧），则点的坐标为________，将二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，得到一个新函数的图象如图所示，当一次函数与新函数有且只有个交点时，的取值范围为________． 16. 如图，在边长为6的正方形中，是边上一点，是延长线上一点，且，连接、，过点作的垂线交于点，交于点，连接，若，则点到边的距离为________，与的面积比为________． 三、解答题（本大题9个小题，17，18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为，随机摸取个小球然后放回，再随机摸出个小球，求两次取出的小球标号的和等于的概率（用画树状图或列表的方法求解）． 19. 如图所示，四边形是平行四边形．根据以下作图做进一步的探究： （1）利用尺规完成以下作图，过点作的垂线交于点，在的右侧作交射线于点．（不写作法，保留作图痕迹）； （2）根据（1）中所作图形，请判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如图，在中，为上一点，为上一点，且，． （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21. 重庆南滨路无人机灯光秀，是重庆一张动人的城市名片．夜幕之下，万千无人机次第腾空，点点星光缀满两江夜空，在浩瀚夜空中描绘出一幕幕精彩画卷． （1）据统计，该灯光秀2024年现场观看人数为150万人次，预计2026年观看人数将达到216万人次，假设这两年观看人数的年平均增长率相同，求年平均增长率； （2）南滨路有一商家抓住商机，售卖无人机主题纪念徽章．已知该徽章每个进价22元，当售价定为每个38元时，每日可售出160个．为了助力灯光秀表演，该商家决定降价促销．市场调查发现，这种徽章的售价每降价3元，其日销售量增加120个．商家每日还需支付摊位租金140元．若要使每日销售这种徽章获利3500元，且尽可能让利给每位消费者，则这种徽章售价应定为每个多少元？ 22. 为了进一步提高学生的劳动素养，重庆二外劳动课老师准备在博雅楼楼顶用铝合金栅栏围出一块矩形作为劳动教育基地．矩形的一边利用楼顶的一面围墙（墙的最大可利用长度为29米，靠墙一面不用栅栏），其余三边用铝合金栅栏，矩形中间再用栅栏分隔成两个小矩形分别种植玉米和番茄，已知所用铝合金栅栏的总长度为54米，设菜地的宽为米． （1）__________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形场地面积为216平方米，求栅栏的长度； （3）当为何值时，矩形场地的面积最大，并求出最大面积． 23. 如图，矩形中，，，对角线，交于点．动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿方向运动，同时所在的直线以每秒1个单位长度的速度向左平移，直线与线段和分别相交于点，．当直线到达点时，点停止运动．设它们的运动时间为秒（），的面积为，的面积为． （1）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （2）请直接写出关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围，在给定的平面直角坐标系中直接画出函数的图象； （3）结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点在点左侧），与轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为．当线段取得最大值时，求点的坐标及的面积； （3）将原抛物线沿射线方向平移个单位长度，点为新抛物线的顶点，点为新抛物线对称轴上一动点，连接，．若，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 25. 如图，在矩形中，点为直线上一动点，连接，作等腰直角三角形，使，，连接，，． （1）如图1，若，，求的周长； （2）如图2，若点为线段中点，猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图3，若，．请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $