精品解析：安徽合肥市第四十五中学橡树湾校区2026-2027学年九年级上学期期中数学试题

2026-2027学年第一学期九年级数学期中测试卷 一、单选题 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是一次函数，不符合题意； B、分母含未知数，不是二次函数，不符合题意； C、，是二次函数，符合题意； D、，是一次函数，不符合题意． 2. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将的图象向左平移3个单位长度，得，再向上平移4个单位长度，得． 3. 对于线段a和b，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，再逐一验算每个选项，判断正误． 【详解】解：，， ，即，故A不符合题意； B、由，得，和原式不同，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意． 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的增减性分析即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大， ∵点的横坐标， ∴点A在第二象限，， ∵点、的横坐标均大于0， ∴点B、C在第四象限，，， ∵， ∴， ∴． 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可得出结果． 【详解】解：设刻度尺所在直线与直线、、的交点分别为、、， ∵直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴． 6. 若，在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 7. 对于二次函数，当k取不同实数时，函数图象的顶点都在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 【答案】A 【解析】 【详解】解：在二次函数中，顶点坐标为， 设顶点的横坐标为，纵坐标为， 则，． ． ∴函数图象的顶点都在直线上． 8. 如图在中，，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能得出的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，结合这一公共角条件，逐一判断各条件是否能推出． 【详解】解：如图： 当时， ∵， ∴，故①正确； 当时，， ∵， ∴，故②错误； 当时，可得，故③错误； 当时，即， 在和中，则，故④正确； ⑤当时，∵， ∴，故⑤正确； 综上所述，能得出的条件有①④⑤，共3个． 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数图象的开口方向和对称轴位置确定，的符号，然后结合一次函数图象经过的象限，判断、是否前后一致． 【详解】解：选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象过第一、三、四象限，可得，， a，b的值前后结论不一致，本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向下可知，对称轴在轴左侧，，可得； 一次函数图象过第一、二、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致； 联立两个函数，得， 整理可得，该方程无解， 所以两个函数图象没有交点， 而本选项中两个函数图象有交点，故本选项不符合题意； 选项：由抛物线开口向上可知，对称轴在轴右侧，，可得； 一次函数图象经过第二、三、四象限，可得，； a，b的值前后结论一致，且两个函数图象没有交点，故本选项符合题意； 选项：由二次函数可得抛物线过原点，而本选项的抛物线不过原点，故本选项不符合题意． 10. 如图是二次函数的图象，下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点及特殊点坐标判断a，b，c的符号及数量关系． 【详解】解：由图可得，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，抛物线与y轴交于负半轴， ∴，，， ∴， ，故A选项正确，不符合题意； 由图可得，当时，， ∴，故B选项正确，不符合题意； 由图可得，当时，， ∴， ， ， ∴， ∴，故D选项错误，符合题意； 由图可得，对称轴， ， ， ， ， ∴， ， ， ， ∴，故C选项正确，不符合题意． 二、填空题 11. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________. 【答案】(﹣1，3) 【解析】 【详解】解：抛物线的顶点坐标为：. 故答案为. 12. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙，如图，点C是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为______（结果保留根号）． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金分割比例求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，且，  ，  ，  ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，轴于点C，，双曲线过点A，交于点D，连接，．若，，则k的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】设，由线段比例得到，结合平行关系表示$A，B，D$三点坐标；利用割补法：，列出方程，消去参数求出． 【详解】解：设， ， ． 轴，， 轴，轴，、纵坐标相等，、横坐标相等，点在点正下方． 点纵坐标为，点纵坐标为． 点在双曲线上， 当时，，即，． 又在轴上，坐标为， ． 点在上，纵坐标为，代入，得， ． ， ， ∵， ∴， 解得：． 14. 已知抛物线，对于图象上任意两点，离对称轴越远的点位置越高． （1）a的取值范围是______． （2）若点，，且抛物线与线段只有一个公共点．则a的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数开口方向与点到对称轴距离和函数值的变化关系判断a的符号； （2）结合的前提，分抛物线顶点与x轴相交、抛物线与x轴的两个交点中仅一个落在线段上两类情况，计算a的取值范围即可． 【详解】解：（1）∵二次函数图象上的点离对称轴越远位置越高， ∴抛物线开口向上， ∴二次项系数满足； （2）∵，， ∴线段在x轴上，且x的范围是， 当时，， ， ，即时抛物线在x轴上方． 当时，， 当抛物线的顶点与x轴相交时，即对于的判别式，方程有两个相等的实数根， ∴， ∴ 解得， 将代入顶点坐标，得， ∵， ∴符合题意； 当抛物线与x轴有两个不相等的交点，且仅有一个交点在线段上时， 抛物线开口向上，且时， 要使仅有一个交点在线段上，需满足时， 令时，， ∴ 解得． ∵， ∴． 当时，方程为 解得，， ∵两个交点的横坐标都在范围内， ∴抛物线与线段有两个公共点，不符合题意， ∴舍去． 综上，a的取值范围是或． 三、解答题 15. 已知抛物线经过和两点．求该抛物线的表达式，并画出图象． 【答案】抛物线的表达式为，函数图象如下： 【解析】 【分析】将两点坐标代入得到a、b的方程组，然后解方程组求出a、b即可求得解析式，进而即可画图． 【详解】将点，代入抛物线中， 得， ， 抛物线的函数表达式， 当时，； 当时，； 当时，， 画图如答案． 16. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，．若，，求的长． 【答案】4 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得到，再证明，得到，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）点A，B，C，，均在格点上，请画出一个，使得，且相似比为； （2）请在边上确定一点D，使得． 【答案】（1）即为所求： （2）点D即为所求： 【解析】 【分析】（1）取格点，连接，可证明，则，且相似比为； （2）取格点E、F，连接交于点D，连接，可证明，则，即，故． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，，，制作所需材料的总长为，设，透光面积为．求S关于x的函数表达式及S的最大值． 【答案】，最大值为 【解析】 【分析】根据题意求出的值，进而根据矩形面积公式得到函数表达式，结合实际情况可得x的范围，进而即可求出S的最大值． 【详解】解：∵铝合金门窗的上、下部都是一个矩形， ∴， ∵制作所需材料的总长为， ∴由图可得，， ∴， 制作所需材料的总长为， ， ， ∵对称轴，在范围内，且，抛物线开口向下， ∴当时，． 19. 如图，在矩形中，连接，交于点F，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由矩形性质得，结合，利用同角的余角相等证得，结合两组直角相等，即可判定，得到比例式，进而即可求解； （2）由矩形对边，证，根据得；再将代入，进行计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即． 由（1）可得，， ∵， ∴ 解得（负值舍去）， ∴． ∴． 20. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线分线段成比例定理可得，由可得，进而可得，结合可得． （2）设，，另设，根据可得，进而可得，．再根据可得，即可求出的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴设，，另设， 则，， ∵， ∴， 整理得， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 【点睛】本题主要考查平行线分线段成比例定理以及相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，对应的函数表达式； （2）不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上一点，且的面积是3，求点P的坐标． 【答案】（1）； （2）或 （3）点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）先求反比例函数的解析式，再利用反比例函数解析式确定点B的坐标，最后求直线的解析式即可； （2）利用数形结合思想，写出不等式的解集即可； （3）设直线与x轴交于点C，连接，先求点C坐标，由图可得，，再将已知代入求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入反比例函数中， 得 解得， ∴反比例函数的表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴将代入中， 得， ∴点B的坐标为， 将，代入中得，， 解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）得，点B的坐标为，且， ∴两函数图象的交点横坐标为和1， ∴的解集为或； 【小问3详解】 解：设直线与x轴交于点C，连接，如图： 在中，令，得， ∴点C的坐标为． 设点P的坐标为，则线段的长度为． ∵，， ∴，， 由图可得，， ∵， ∴ 或 解得或． ∴点P的坐标为或． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于C．点，点．抛物线的对称轴为直线，点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E． （1）求抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）D点运动中，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点B的坐标，进而求出，再根据二次函数的对称性，求出，则，证明，即可得出； （3）利用待定系数法求出直线的解析式，过点A作轴交直线于点F ，过点D作轴交直线于点G，设出点D的坐标，表示出的长，证明，即可得到，再结合二次函数的最值求解即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把点A和点C的坐标代入得， ∴， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得或， ∴， ， 轴， 点和点关于对称轴对称， ， ， 轴， ， ∴； 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线的解析式为， 如图所示，过点A作轴交直线于点F ，过点D作轴交直线于点G， 则，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，且， ∴当时，有最大值为4． ∴的最大值为． 23. 橡树湾校区食堂销售进价为13元/件的某种商品，在第天的销量为件，售价相关信息如下表所示，设销售该商品每天的利润为元． 时间x（天） 售价（元/件） 35 （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该食堂决定每销售1件该商品就捐赠m元（）给贫困地区，在销售的前44天内发现第43天利润最大，求m的取值范围． 【答案】（1） （2） 该商品第天时当天销售利润最大，最大利润为元. （3） . 【解析】 【分析】（1）利用利润每件利润销售量，结合时的固定售价，代入化简得到函数关系式； （2）分和两段，分别根据二次函数、一次函数的性质求利润最大值，再比较得到全局最大值； （3）先写出前45天内售价动态阶段的利润函数，结合第43天利润最大的条件确定二次函数对称轴的范围，进而求解的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，售价为35元/件， 每件利润为（元），销量为件，  ； 【小问2详解】 解：分两种情况讨论： ①当时，售价为元/件， 每件利润为元， ， 该函数开口向下，对称轴为直线，  ，  当时，取最大值， ； ②当时，，  ，  随的增大而减小，  当时，取最大值， ；  ，  第天销售利润最大，最大利润为元； 【小问3详解】 解：当时， 每件利润为元， ， 该函数开口向下，对称轴为直线， 第天利润最大，且为正整数，  ， 不等式两边同乘2得， 解得， 的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期九年级数学期中测试卷 一、单选题 1. 下列y关于x的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 将二次函数的图象先向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，所得函数图象的表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 对于线段a和b，若，则下列式子一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若点，，都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，直线，直线、、对应刻度尺上的刻度读数分别是、、，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 若，在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 7. 对于二次函数，当k取不同实数时，函数图象的顶点都在（ ） A. 直线上 B. 直线上 C. 直线上 D. 直线上 8. 如图在中，，点D、E分别在边、上，则在下列五个条件中：①；②；③；④；⑤，能得出的条件有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 在同一平面直角坐标系中，二次函数与一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的图象，下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题 11. 抛物线y=2(x+1)2+3 的顶点坐标是_________________. 12. 在海洋生物观察课上，同学们发现海螺的结构十分奇妙，如图，点C是线段的黄金分割点，且．已知，则的长为______（结果保留根号）． 13. 如图，在平面直角坐标系中，轴于点C，，双曲线过点A，交于点D，连接，．若，，则k的值为______． 14. 已知抛物线，对于图象上任意两点，离对称轴越远的点位置越高． （1）a的取值范围是______． （2）若点，，且抛物线与线段只有一个公共点．则a的取值范围是______． 三、解答题 15. 已知抛物线经过和两点．求该抛物线的表达式，并画出图象． 16. 如图，在中，点D，E，F分别在边上，，．若，，求的长． 17. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，请仅用无刻度的直尺按要求完成作图（保留作图痕迹，不写作法）． （1）点A，B，C，，均在格点上，请画出一个，使得，且相似比为； （2）请在边上确定一点D，使得． 18. 已知一铝合金门窗截面如图所示，它的上、下部都是一个矩形，，，制作所需材料的总长为，设，透光面积为．求S关于x的函数表达式及S的最大值． 19. 如图，在矩形中，连接，交于点F，交于点E． （1）求证：． （2）若，，求的长． 20. 如图，在中，，． （1）求证：； （2）已知，，求的长． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求，对应的函数表达式； （2）不等式的解集为______； （3）若点P是x轴上一点，且的面积是3，求点P的坐标． 22. 如图，抛物线与x轴交于A，B（点A在点B左侧），与y轴相交于C．点，点．抛物线的对称轴为直线，点D为直线下方抛物线上一动点，连接交于E． （1）求抛物线的解析式； （2）当轴时，求的值； （3）D点运动中，求的最大值． 23. 橡树湾校区食堂销售进价为13元/件的某种商品，在第天的销量为件，售价相关信息如下表所示，设销售该商品每天的利润为元． 时间x（天） 售价（元/件） 35 （1）求当时，y与x的函数关系式； （2）问该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？ （3）现该食堂决定每销售1件该商品就捐赠m元（）给贫困地区，在销售的前44天内发现第43天利润最大，求m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $