精品解析：安徽省合肥市庐阳区合肥四十五中2025-2026学年九年级上学期期中考数学试题

**基本信息** 聚焦二次函数、相似三角形等核心知识，通过文旅文创利润计算、光线反射等情境，考查抽象能力、推理意识与模型意识，适配九年级期中综合评估需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|10|二次函数定义与图像变换、相似三角形性质、反比例函数性质|第7题以光线反射为情境，考查几何直观；第9题通过三角形截法问题，体现推理意识| |填空|4|比例中项、黄金分割、二次函数与轴交点、反比例函数面积问题|第14题结合中点与面积，综合考查反比例函数图像性质（抽象能力）| |解答|9|二次函数解析式求解、位似与平移作图、相似三角形计算与证明、函数图像应用、利润建模、几何综合证明|第21题以桐城派文化文创产品为背景，考查二次函数利润模型（模型意识）；第23题抛物线平移与面积最值，体现创新应用|

2025-2026学年合肥市庐阳区45中本部九年级上学期期中数学试卷 一、选择题 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 已知二次函数，下列叙述中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数有最小值 D. 当时，函数值随自变量的增大而减小 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 8. 二次函数的图象和一次函数的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 9. 一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 二、填空题 11. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 12. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 13. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是______． 14. 如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 三、解答题 15. 当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）以点为位似中心，将放大2倍得到，在网格中画出； （2）将进行某种平移得到，使为的中点，画出． 17. 如图，，，，． （1）求的长． （2）求与的面积比． 18. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 19. 直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 20. 已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 21. 为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． （1）每天售出的数量是________件． （2）文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 22. 如图1，中，，平分，延长至，使，连接． （1）①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． （2）如图2，过作于，，求的值． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年合肥市庐阳区45中本部九年级上学期期中数学试卷 一、选择题 1. 下列关于的函数中，属于二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数. 根据二次函数的定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：∵ 二次函数需满足最高次项为次且系数不为 A、，若则不是二次函数，故此选项不一定正确，不符合题意； B、，含有分式，不是整式，故此选项不是二次函数，不符合题意； C、，展开得，，是二次函数，故此选项符合题意； D、，展开得，是一次函数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 若，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将拆分，可得，然后将代入求解即可． 【详解】解：， 将，代入得：． 3. 已知二次函数，下列叙述中正确的是（ ） A. 图象的开口向上 B. 图象的对称轴为直线 C. 函数有最小值 D. 当时，函数值随自变量的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】将函数图形变成顶点式，依照二次函数的性质对比四个选项即可得出结论． 【详解】解：A. ∵a=-1<0， ∴图象的开口向下，故选项A错误； B. ∴图象的对称轴为直线，故选项B错误； C. ∵a=-1<0， ∴图象的开口向下，函数有最大值，故选项C错误； D. ∴当时，函数值随自变量的增大而减小，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是将二次函数关系式变为顶点式，联立二次函数性质对比四个选项即可． 4. 如图，两条直线被三条平行线所截，若，，，则（ ） A. 3 B. 9 C. 12 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理“三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例”可得，设，则，进而求解即可． 【详解】解：根据题意可知， ∴， ∵，， ∴， 设，则， ∴，化简得， 解得， 经检验，是方程的解， ∴． 5. 将抛物线向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据”左加右减，上加下减”的平移规律即可求解． 【详解】解：抛物线向左平移1个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到的抛物线为， 故选：C 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记”左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键． 6. 已知点，都在反比例函数的图象上，且，则，的关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据反比例函数的图像与性质确定的取值范围，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数的图象分布在第二、四象限， 当时，图象位于第二象限，对应； 当时，图象位于第四象限，对应． ∵，则点在第四象限， ∴， ∵，则点在第二象限， ∴， ∴． 7. 如图，光线从点处射出射向轴上的点，经轴镜面反射，光线经过点，则的长度是（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作轴于点C，推导出，得到，继而求出，代入求出即可． 【详解】解：过点B作轴于点C，如图 ∴， ∵利用光的反射定律（入射角等于反射角）， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得． 8. 二次函数的图象和一次函数的图象在同一平面直角坐标系中可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据a的符号分类，a＞0时，结合二次函数的对称轴，在A、C、D中判断一次函数的图象是否相符，a＜0时，在B中进行判断． 【详解】解：根据题意， 当时，二次函数开口向上，一次函数经过第一、三、四象限，故排除A； 二次函数的对称轴，故排除C； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过第一、二、四象限，故排除B； ∴只有D选项符合题； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次函数与一次函数图象，利用二次函数的图象和一次函数的图象的特点求解． 9. 一个三角形支架三条边长分别是75cm，100cm，120cm，现要再做一个与其相似的三角形木架，而只有长为60cm，120cm的两根木条，要求以其中一根为一边，从另一根上截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截法有（ ） A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种 【答案】B 【解析】 【分析】设截成的两边的长分别为xcm、ycm，然后根据相似三角形对应边成比例，分两种情况求解即可． 【详解】解：设截成的两边的长分别为xcm、ycm， 若从60cm长的木条上截取， ∵x+y≤60<120， ∴不符合题意； 若从120cm长的木条上截取， ①当60cm与75cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=80，y=96， ∵80+96=176cm>120cm， ∴此种情况不符合题意； ②当60cm与100cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=45，y=72， ∵60cm <45+72=117cm<120cm， ∴从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条； ③当60cm与120cm是对应边时， ∵两三角形相似， ∴， 解得x=37.5，y=50， ∵60cm <37.5+50=87.5cm<120cm， ∴从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条； 综上所述，共有两种截法：方法一：从120cm长的木条截取45cm和72cm两根木条，方法二：从120cm长的木条截取37.5cm和50cm两根木条． 故选B． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形对应边成比例的性质，难点在于根据对应边的不同分情况讨论． 10. 如图，二次函数的图象与轴交于点A、点，点，点在轴下方的抛物线上，点的横坐标为，则下列说法：；；，正确的是（　　） A. ②④ B. ①②③ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象的性质等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由抛物线可知抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧可得，，进而判定①；由抛物线过可得，进而判定②；由③可得，再根据函数图象可得，即，再将代入整理即可判定③；由题意易得，，然后整理变形即可判定④． 【详解】解：∵二次函数的抛物线的开口方向向上，对称轴在y轴的左侧， ∴，， ∴，即①错误； ∵二次函数的图象与x轴交于点A，点B，点， ∴，则，即②正确； ∵， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方， ∴， ∴， ∴，则，即③正确； ∵点C在x轴下方的抛物线上，点C的横坐标为m，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即④正确． 综上，正确的有②③④． 故选：D． 二、填空题 11. 若两条线段的长为和，则这两条线段的比例中项是________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 比例中项的定义是：若线段是线段的比例中项，则满足，即． 已知两条线段长为和，代入得：， 解得（线段长度为正，舍去负根）． 12. 已知线段，点是线段的黄金分割点，且，那么的长为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：由题意得，， ∵黄金分割比为，且， 即 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 即的长为． 13. 已知二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据题意可得，且判别式，求解不等式即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴有两个交点 ∴，且判别式 ∴， 解得且 故答案为：且 【点睛】此题考查了二次函数的定义以及二次函数与轴交点问题，掌握二次函数的定义以及性质是解题的关键． 14. 如图，，是反比例函数图像上的两点，线段的延长线交轴于点，过作轴，过作轴，已知为的中点，的面积为4． （1）若，则点的坐标是________． （2）的值是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先利用中点坐标求出点坐标，再写出，两点坐标，然后设直线解析式，代入，两点求出一次函数表达式，最后令，求出直线与轴的交点的坐标； （2）由（1）得到点，的坐标，从而确定的底和高的值，再根据三角形面积公式列方程求出，然后根据反比例函数图像所在象限，判断的符号，从而确定的值． 【详解】（1）解：∵，是的中点， ∴， ∵，是反比例函数图像上的两点，且轴，轴， ∴，， 设直线的解析式为，将点，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， 解得， 又∵点是直线与轴的交点， ∴点的坐标是； （2）由（1）可知：，，轴， ∴，， ∵的面积为4， ∴， 解得， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴， ∴． 三、解答题 15. 当时，抛物线有最小值为，且抛物线与轴交于点．求这条抛物线的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件可设出顶点式，再把已知点的坐标代入，求出待定系数，进而求得解析式． 【详解】解：抛物线在时最小值为， 设抛物线的顶点式为 抛物线过点， 解得， ∴这条抛物线的解析式为，即． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为顶点的和格点． （1）以点为位似中心，将放大2倍得到，在网格中画出； （2）将进行某种平移得到，使为的中点，画出． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了作位似图形，作平移图形， 对于（1），连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接并延长至，使，连接，可得答案； 对于（2），找到的中点，将点B向右平移1个单位长度至，再将另外的两个顶点平移1个单位长度得到点，然后依次连接，可得答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，，，，． （1）求的长． （2）求与的面积比． 【答案】（1）3.6； （2） 【解析】 【分析】先证出两三角形相似，再利用相似三角形的性质即可解得结果． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ， ， ． 【小问2详解】 解：， ． 18. 已知二次函数． （1）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图象； （2）根据图象回答： ①当时，求的取值范围． ②当时，的取值范围是________． 【答案】（1） （2）①；②． 【解析】 【分析】（1）先对二次函数配方，再求出顶点、坐标轴交点，最后描点画出抛物线； （2）利用二次函数图像，观察图像在轴上方对应的自变量范围，再在指定自变量区间找到顶点处最大值，看区间端点的函数值，判断能否取到，从而确定的取值范围． 【小问1详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标为，对称轴为直线，与轴交点为，，与轴交点为， 图象略 【小问2详解】 由图象可知，抛物线在轴上方的部分对应， ∴当时，； ∵当时，取最大值1， 当时，， 当时，， ∴结合图象可知：当时，． 19. 直线与反比例函数的图象交于点． （1）求，的值． （2）设点的坐标为且，过点作平行于轴的直线与直线和反比例函数的图象分别交于点，，当时，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据点在直线上，求出；根据点在反比例函数上，求出； （2）令直线与反比例函数的函数值为，求出，的横坐标，根据的长列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴． ∵点在反比例函数上， ∴，解得． 【小问2详解】 解：过点作平行于轴的直线，其解析式为， ∵直线与直线的交点为， ∴， ∴， ∵直线与反比例函数的交点为， ∴，即， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得或（不合题意，舍去）， 即当时，． 20. 已知：如图，在中，点在边上，，与分别相交于点． （1）求证：； （2）连接，求证：． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2） 由（1）知，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）由，，即得； （2）根据（1）结论可得，可得，得到，得到，可得，可得，得到，即得． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【点睛】本题考查了相似三角形综合．熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线性质，三角形外角性质，是解题的关键． 21. 为弘扬桐城派文化，让更多游客了解六尺巷，某文旅公司推出多款文创产品．已知某款定制“一纸书来只为墙”的主题团扇的成本价是元，当售价为元时，每天可以售出件，经调查发现，售价每降价元，每天可以多售出件．设该款主题团扇售价为元． （1）每天售出的数量是________件． （2）文旅公司每天售卖该款主题团扇的利润为元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（1）根据原来每天售出的件，再加上多售出的件数即可得到答案； （2）根据“销售利润=每件的利润×销售数量”即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：售价从元降到元，降价金额为元， ∵每降价元多售件， ∴多售出的数量为件， ∴每天售出的数量为：（件）； 【小问2详解】 解：根据题意得： ， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为， 当时，取得最大值，最大值为， 答：当售价为元时，每天的利润最大，最大利润是元． 22. 如图1，中，，平分，延长至，使，连接． （1）①求证：． ②试探究与的关系，并说明理由． （2）如图2，过作于，，求的值． 【答案】（1）①证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； ②．理由如下： ， ， ， 又∵， ， ， 又∵， 为等腰直角三角形， ∴， 又∵， ； （2） 【解析】 【分析】（1）①由平分，得，结合题设，可得一组等角；再加上对顶角，满足两角分别相等，即可证；②由①的相似得比例式，变形为，结合证，得，故为等腰直角三角形，进而即可求解； （2）根据角平分线性质，与的面积比等于；又两三角形同高，面积比等于底，故．由、得，推出，则可得到． 【小问1详解】 解：①略； ②略； 【小问2详解】 解：，平分， ∴点到和的距离相等， 的面积的面积， 又的面积的面积， ， ， 由（1）得，即， 又， ， ， ． 23. 如图，抛物线的图象与轴交于点，与轴的负半轴交于点，点坐标为． （1）求抛物线的表达式． （2）若为抛物线上线段上方一点，过作，垂足为，求的最大值． （3）在（2）的条件下，当的面积最大时，将抛物线沿水平方向平移得到抛物线，抛物线的顶点为，且的面积等于的面积，直接写出的坐标． 【答案】（1） （2）的最大值为 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点坐标代入即可得解； （2）过点作轴，交于点，交轴于点， 易得为等腰直角三角形，，进而设参表示出即可； （3）先求出面积最大值时点的坐标，由平移可知，分类讨论，当向左平移时，直线，据此求出直线解析式，即可得点坐标；当向右平移时，则与第一种情况的直线关于直线对称，据此求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入抛物线，得， 解得， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 将点、代入得， ，解得， ∴直线的解析式为， 如图，过点作轴，交于点，交轴于点， 设点，则， ∴， ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当时，取最大值，最大值为； 【小问3详解】 解：由（2）可知， ∴． ∵， ∴当时，的面积的最大值为， 此时； 当抛物线向左平移，即点在直线上方时， ， ， 如图，过点作， 由（2）知直线解析式为，则可设直线的解析式为， 将点代入，得，解得， ∴直线的解析式为． ∵， ∴其顶点为， ∵抛物线沿水平方向平移得到抛物线， ， 令，解得， ， 当抛物线向右平移，即点在直线下方时， 此时过与的平行线与轴交点记为点，则与第一种情况的直线关于直线对称，此时点与第一种情况的直线与轴交点关于点对称， ， 则直线解析式为． ， ，解得， ． 综上，或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $