精品解析：福建省福州屏东中学2026-2027学年第一学期期中试卷九年级数学

福州屏东中学2026-2027学年第一学期期中试卷 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的定义(在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形)，逐一进行判断即可． 【详解】解：根据中心对称图形的定义可知，只有D选项是中心对称图形． 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆周角定理推论：直径所对的圆周角是直角，可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：是的直径， ． ， ． 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】因为关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，所以，根据不等式即可求出的值，再根据取值范围确定的值． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， 当时，，故A选项不符合题意； 当时，，故B选项不符合题意； 当时，，不满足，故C选项不符合题意； 当时，，满足条件，故D选项符合题意． 4. 已知点，，在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出抛物线的对称轴，结合开口方向，通过比较各点到对称轴的水平距离判断函数值大小． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线． ∵抛物线二次项系数为， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大． ∵，，，且， ∴． 5. 已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 20 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥侧面积的计算，需熟记圆锥侧面积公式，代入已知数据计算即可． 【详解】解：∵圆锥侧面积公式为（其中为底面半径，为母线长）． 又∵该圆锥底面半径，母线长． ∴． 故选B． 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用方程根的定义降次替换二次项，化简代数式后结合韦达定理得到两根之和，整体代入算出结果． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴， ∴， ∴， ∵是一元二次方程的两个实数根， ∴， ∴． 7. 如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况考虑即可． 【详解】解：如图，过点P作于点C，则， 即当时，此时与射线只有一个公共点； 如图，当时，则与射线只有一个公共点，此时; 综上，当或时，与射线只有一个公共点． 8. 某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】优秀人数=参加测评人数优秀率，即优秀人数为；乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上，因此，即乙、丁的优秀人数相等；甲、丙的点分别与反比例函数图像对比，通过比较的大小即可判断哪所学校优秀人数最多． 【详解】解：设反比例函数表达式为，由于乙、丁两点在该反比例函数图象上，故对乙、丁两所学校都有，即乙、丁两校的优秀人数相等； 对于甲校，过点甲作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与甲相同，纵坐标大于甲的纵坐标，因此甲校的，即甲校优秀人数小于； 对于丙校，过点丙作轴的垂线，交反比例函数图象于一点， 该点的横坐标与丙相同，纵坐标小于丙的纵坐标， 因此丙校的，即丙校优秀人数大于； 综上：丙校的优秀人数 > 乙校（丁校）的优秀人数 > 甲校的优秀人数，即优秀人数最多的是丙校． 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图，在中，，，，点为平面内动点，且满足，连接，取的中点，连接，设的最大值为，最小值为，则（）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】取的中点M，连接，利用直角三角形斜边中线定理求出的长度，利用三角形中位线定理求出的长度，即可确定的最大值与最小值． 【详解】解：取的中点M，连接，如下图， 在中，， ∴由勾股定理得， ∵，M为中点， ∴， ∵E为中点，M为中点， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴，即， ∴，， ∴． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：点和点关于原点对称， ，解得． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到，再根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【详解】解：，  ， 与是以点为位似中心的位似图形，  ， ，  的周长为， ∴． 13. 如图，，是的切线，，为切点，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据切线长定理可得，从而判定为等腰三角形，利用等边对等角性质得出的度数，最后结合三角形内角和定理求解． 【详解】解：∵，是的切线，， ∴， ∴， ∴． 14. 二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则二次函数在时，_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据表格可知，和的函数值相等，可以得到抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性，找到表格中与关于对称轴对称的对应的函数值，即为所求． 【详解】解：由表格可知，和的函数值相等， ∴抛物线的对称轴为：， ∴与的函数值相等， 即：当时，； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的对称性．通过表格确定二次函数的对称轴，是解题的关键． 15. 如图，已知的半径为5，弦与相交于点，，，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂径定理和勾股定理求出圆心到两条弦的距离，证明两个直角三角形全等，得出，根据平角性质得出，最后在中，运用三角函数求解． 【详解】解：如图，过点O作，垂足分别为M、N，连接，． ∵，， ∴，，， ∴，， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴， 在中，， ∴，即， ∴． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、恰好落在双曲线上，且点在上，交轴于点．若平分，且正方形的面积为6，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】如图，过作于，过作于，求解，，，证明，，，可得，求解，，可得，进一步结合等面积法与勾股定理求解即可. 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵正方形的面积为6， ∴，，，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 而， ∴， ∴, ∴， ∴， ∵正方形的顶点、恰好落在双曲线上， ∴. 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）提取公因式因式分解求解； （2）配方，构造完全平方式，开平方求解． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 ， 18. 如图，四边形中，为上一点，连接，，且，求证：． 【答案】证明：∵点、、在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】利用点在上把平角拆成三个角，再用三角形内角和把与联系起来，得到，结合已知的，用两角对应相等判定两个三角形相似． 【详解】略 19. 2026年福建省城市足球联赛，简称“闽超”，是2026年4月至10月在福建省举办的一项省级十一人制足球赛事，赛事采用“常规赛排位赛总决赛”三阶段赛制．已知常规赛阶段于4月至6月进行，采用单循环赛制（每两支球队之间比赛一场），共比赛45场，求参加比赛的球队有多少支？ 【答案】参加比赛的球队有10支 【解析】 【分析】推导单循环总场次的数量关系，建立一元二次方程求解． 【详解】解：设参加比赛的球队有x支，每支球队需要和除自身外的其余支球队各比赛1场，此时统计的总场次中每场比赛被重复计算2次，因此实际总场次为． 解得，（舍去） 答：参加比赛的球队有10支． 20. 已知抛物线（是常数） （1）求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 【答案】（1）证明：令，得方程， ， ∵ 无论取何值，，即， ∴ 无论为何值，该抛物线与轴一定有交点． （2）的值为或． 【解析】 【分析】（1）令，得方程，可证，再根据二次函数与方程的关系，即可求证； （2）根据二次函数与方程的关系，可得，是方程的两个根，再根据一元二次方程根与系数的关系，可得，，从而，列出方程求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：令，得方程， 该抛物线与轴交于点、， ，是方程的两个根， ，， ， ，即， ， ，解得，， 则的值为或． 21. 如图，是的直径，弦于点，连接． （1）过点作的切线交延长线于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的长度． 【答案】（1）如图，直线即为所求作的切线 （2） 【解析】 【分析】（1）过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线，用尺规作过点的垂线并延长交的延长线于点，所求直线即为切线； （2）用垂径定理求半弦长，结合与勾股定理求半径和，再证，把与、联系起来． 【小问1详解】 解：图略 【小问2详解】 解：由垂径定理得． 设，则，，半径，． 连接，则（如图）． 在中，， ∴． ∴，即． ∴，． 由（1）知是在点处的切线， ∴，． ∵于点， ∴． ∵，． ∴． ∴． ∴，即． ∴， ∴． 【点睛】关键辅助线是连接圆心与切点：半径与切线垂直，既是垂径定理得到的半弦，又是直角三角形斜边上的高，用把与已知的、连起来；尺规作垂线的弧痕要留在答图上． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知，是抛物线上的不同两点，若，且当时，都有，求出的取值范围． 【答案】（1） 抛物线的对称轴为直线 （2） 的取值范围是或 【解析】 【分析】（1）代入二次函数对称轴公式直接求解； （2）分开口向上、向下两种情况，确定函数值与到对称轴距离的关系，将恒成立条件转化为距离的最值问题． 【小问1详解】 解：对称轴为直线； 【小问2详解】 解：抛物线的对称轴为直线， 当时，，，即抛物线开口向下， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越小， ∵， ∴当时，取最小值， 根据对称性可知，的对称点为， ∵当时，都有， ∴或， ∴或（不合题意，故舍去）； 当时，，，即抛物线开口向上， 抛物线上的点到对称轴的距离越大，对应的函数值越大， ∵， ∴当时，取最小值， 根据对称性可知，的对称点为， ∵当时，都有， ∴， ∴； ∴； 综上，的取值范围为或． 23. 已知实数，，满足且． （1）若，求的值； （2）当实数时，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 即． 【解析】 【分析】（1）消去，构造关于的一元二次方程求解，结合的范围取舍； （2）代入后将左边变形为乘积形式，结合已知条件判断因式符号，证明不等式． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入，得， ∴， ∵， ∴， 设，则， 解得，， ∵，， ∴，即， ∴， ∵，故舍去， ∴； 【小问2详解】 略 24. 综合与实践： 如何截取最大面积的矩形 背景 如图，有一块由矩形木板切去的余料，打算利用该余料截取一块矩形材料，使得所截矩形材料的面积最大，已知，，，，，且和之间的距离为6，点到直线的距离为2． 素材1 如图1，若把余料看作六边形木板． 素材2 如图2，若把余料中段看作线段，段看作曲线，曲线是反比例函数图象的一部分． 问题解决 （1）任务1初步探究：在图1中，若截取的矩形的两边为和，则截取的矩形面积是__________． 若截取的矩形的一边为，其对边在上，则截取的矩形面积是__________． （2）任务2计算最大值：在图1中，若截取的矩形的一边在上，其对边的两点分别在和上，请你画出截取的矩形，并计算出该矩形面积的最大值． （3）任务3拟定设计方案：在图2中以直线为轴，建立合适的平面直角坐标系，求出曲线的函数表达式，利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，求所截矩形面积的最大值． 【答案】（1）22，42 （2）， （3）； 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质，进行求解即可； （2）延长，交于点，所截矩形为，作，设，将矩形的面积转化为二次函数求最值即可； （3）建立以所在直线为x轴的直角坐标系，设曲线的函数表达式为，设，则，得出，求出k的值，即可得出反比例函数表达式，求出直线的函数表达式为，在上取一点G，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N，M，交于点H，作轴于点I，得矩形．设点，则，根据，求出的最大值，最后根据矩形的面积为，即可解答． 【小问1详解】 解：若截取的矩形的两边为和，则矩形的长为， ∴截取的矩形面积是； 若截取的矩形的一边为， ∵和之间的距离为6，， 矩形的两边长分别为和7， ∴截取的矩形面积是； 【小问2详解】 解：如图，延长，交于点，所截矩形为，作，则四边形为矩形，由题意，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵和之间的距离为6，点到直线的距离为2． ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，，， ∴矩形的面积为， ∵点两点分别在和上， ∴点到的最大距离为即为点到的距离为2， ∴， ∵矩形的面积为， ∴当时，矩形的面积随着的增大而增大， ∴当时，即分别与重合时，矩形的面积最大为； 【小问3详解】 解：建立以所在直线为x轴的直角坐标系， 设曲线的函数表达式为， ∵和之间的距离为6，点D到直线的距离为2，， ∴点D纵坐标为6，点E纵坐标为2， 设，则， ∵点D和点E都在反比例函数图象上， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∴反比例函数表达式为； ∵， ∴， 在上截取，以O为坐标原点， 设y轴交于点P， ∵， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， 设直线的函数表达式为， 把代入得： ，解得：， ∴直线的函数表达式为， 在上取一点G，分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为N，M，交于点H，作轴于点I，得矩形． 设点，，则， ， ∵，函数开口向下， 当时，随的增大而增大， ∴当时，有最大值，此时， ∵点H在反比例函数上， ∴矩形的面积为，不变， ∴矩形的最大面积． 25. 已知线段，将绕顺时针旋转到，再将绕顺时针旋转到，连接，满足，且． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点是上一点，点关于的对称点是点； ①求证：； ②如图3，延长交于，若，求的值． 【答案】（1） （2）①如图，连接，， 由轴对称知，，，． 设，则． ∵． ∴． ∵，． ∴． ∴，． ∵，． ∴与都是等腰三角形，且． ∴． ， ∴． ② 【解析】 【分析】（1）过作交于点，用平行四边形把三条相等的线段集中成，再由排除点与点重合及射线同向两种位置，判定为等边三角形，最后用同旁内角互补求旋转角； （2）①用轴对称把的等量关系转到，证明两个等腰三角形顶角相等从而相似；②把同一个面积比写成两种形式，用角平分线判定把点定在上，再用的相似三角形求比值． 【小问1详解】 解：由旋转知，． 过作交于点（如图）． ∵，． ∴四边形是平行四边形． ∴，，． ∵，，且两直线都过点． ∴点、、在同一直线上． 若点与点重合，则，与矛盾． 若射线与射线同向，则． ∵． ∴，两底角之和超过，矛盾． ∴射线与射线反向，点在线段上． ∴． ∵，． ∴是等边三角形，． ∴． ∵． ∴． ∴． 【小问2详解】 解：①略． ②由（1）知，． 由①的推导知，，且． 记，点到、的距离分别为、． ∵与的底、在同一直线上，顶点同为． ∴． ∵． ∴． ∵． ∴，点在的平分线上． ∵． ∴． ∵，． ∴，射线与射线重合，点在上． 过作于点（如图）． 在中，， ∴，． ∴，． ∵，在上． ∴． ∴． ∵点、、共线，点、、共线． ∴． ∴． ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 福州屏东中学2026-2027学年第一学期期中试卷 九年级数学 （全卷共6页，三大题，25小题；满分150分；考试时间120分钟） 友情提示：所有答案都必须写在答题卡对应区域内，答在本试卷上无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. “二十四节气”是中华农耕文明的智慧结晶，下列四幅作品分别代表“立春”“惊蛰”“清明”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是的直径，点C在圆上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可以是（ ） A. B. C. D. 4. 已知点，，在抛物线上，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个圆锥底面圆的半径为4，母线长为5，则该圆锥的侧面积为（ ） A. 20 B. C. D. 6. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，P为边上的一点，且，若以P为圆心，r为半径的圆与射线只有一个公共点，则半径r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 8. 某区举行初中生科学素养测评，其中甲、乙、丙、丁四所学校测评成绩的优秀率y与该校参加测评人数x的情况可用图中四个点描述，乙、丁两所学校对应的点恰在同一反比例函数的图象上．这四所学校本次测评成绩优秀人数最多的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，点为平面内动点，且满足，连接，取的中点，连接，设的最大值为，最小值为，则（）． A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 已知点和点关于原点对称，则的值为_________． 12. 如图，与是以点为位似中心的位似图形，若，且的周长为，则的周长为______． 13. 如图，，是的切线，，为切点，，则__________． 14. 二次函数的部分对应值如下表： x … 0 1 3 5 … y … 7 0 7 … 则二次函数在时，_______． 15. 如图，已知的半径为5，弦与相交于点，，，则__________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点、恰好落在双曲线上，且点在上，交轴于点．若平分，且正方形的面积为6，则的值为__________． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18. 如图，四边形中，为上一点，连接，，且，求证：． 19. 2026年福建省城市足球联赛，简称“闽超”，是2026年4月至10月在福建省举办的一项省级十一人制足球赛事，赛事采用“常规赛排位赛总决赛”三阶段赛制．已知常规赛阶段于4月至6月进行，采用单循环赛制（每两支球队之间比赛一场），共比赛45场，求参加比赛的球队有多少支？ 20. 已知抛物线（是常数） （1）求证：无论为何值，该抛物线与轴一定有交点； （2）若该抛物线与轴交于点、，且，求的值． 21. 如图，是的直径，弦于点，连接． （1）过点作的切线交延长线于点；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若，，求的长度． 22. 已知抛物线． （1）求抛物线的对称轴； （2）已知，是抛物线上的不同两点，若，且当时，都有，求出的取值范围． 23. 已知实数，，满足且． （1）若，求的值； （2）当实数时，求证：． 24. 综合与实践： 如何截取最大面积的矩形 背景 如图，有一块由矩形木板切去的余料，打算利用该余料截取一块矩形材料，使得所截矩形材料的面积最大，已知，，，，，且和之间的距离为6，点到直线的距离为2． 素材1 如图1，若把余料看作六边形木板． 素材2 如图2，若把余料中段看作线段，段看作曲线，曲线是反比例函数图象的一部分． 问题解决 （1）任务1初步探究：在图1中，若截取的矩形的两边为和，则截取的矩形面积是__________． 若截取的矩形的一边为，其对边在上，则截取的矩形面积是__________． （2）任务2计算最大值：在图1中，若截取的矩形的一边在上，其对边的两点分别在和上，请你画出截取的矩形，并计算出该矩形面积的最大值． （3）任务3拟定设计方案：在图2中以直线为轴，建立合适的平面直角坐标系，求出曲线的函数表达式，利用该余料截取一块矩形材料，其中一条边在上，求所截矩形面积的最大值． 25. 已知线段，将绕顺时针旋转到，再将绕顺时针旋转到，连接，满足，且． （1）如图1，求的度数； （2）如图2，点是上一点，点关于的对称点是点； ①求证：； ②如图3，延长交于，若，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $