精品解析：湖南湘西土家族苗族自治州湘西土家族苗族自治州溶江中学2026—2027学年第一学期期中考试九年级数学试卷

湘西州溶江中学2026-2027学年第一学期期中考试 初三数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移4个单位，则得到的抛物线解析式为（　　）． A. B. C. D. 5. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 1 D. 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 8. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3 4 5 0.5 A. B. C. D. 9. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 12. 若双曲线y=经过点(3，b)，则b=_______． 13. 二次函数的顶点坐标是________． 14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   15. 如果t是方程的一个根，那么代数式的值是______． 16. 如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）的值为___________； （2）判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 19. 已知关于x的方程：的一个根为，求m的值及另一个根． 20. 2020年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2022年该县计划投入“扶贫工程”144万元． （1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率； （2）若2023年保持从2020年到2022年的年平均增长率不变，求2023年该县将投入“扶贫工程”多少万元． 21. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数______________； （2）若新函数的表达式为，则______________，______________； （3）设新函数顶点为，当为何值时，有最大值，并求出最大值． 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； （3）如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湘西州溶江中学2026-2027学年第一学期期中考试 初三数学试卷 满分：120分 时量：120分钟 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分，在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的．请在答题卡中填涂符合题意的选项．） 1. 一元二次方程的一次项系数和常数项分别是（ ）． A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程的二次项系数为a，一次项系数为b，常数项为c，据此即可解答． 【详解】解：一元二次方程的一次项系数为，常数项为． 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵， ∴ 逐点代入验证： A、，符合； B、，不符合； C、 ，不符合； D、 点横坐标为0，不在反比例函数图象上（），不符合． 3. 下列函数中，y是x的二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的定义，分别对A、B、C、D各选项的函数进行判断即可得答案. 【详解】解：A. 函数是一次函数，不是二次函数，故A错误. B. 中，的最高次数为1，不是二次函数，故B错误. C. 中，的最高次数为2，是二次函数，故C正确. D. 中，的最高次数为3，不是二次函数，故D错误. 4. 将抛物线向下平移4个单位，则得到的抛物线解析式为（　　）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数的平移，掌握好平移口诀是关键． 根据抛物线的平移规律：向下平移时，函数值减去平移的单位数． 【详解】解：∵抛物线向下平移4个单位， ∴新解析式为 ． 故选：D． 5. 已知是关于的方程的一个根，则的值为（ ）． A. 5 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，解题的关键是利用方程的根满足方程这一性质，将代入方程即可求解． 【详解】解：将代入方程， 得， 即， 则， 解得． 6. 已知一元二次方程的两根分别为，，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用根与系数的关系直接计算两根之积. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根分别为，， ∴ . 7. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 图象位于第二、四象限 B. y随x的增大而增大 C. 图象与坐标轴不相交 D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】从反比例函数的值符号入手，结合其图象与性质判断各选项，注意增减性的适用范围． 【详解】解：∵反比例函数的解析式为， ∴， ∴该函数的图象位于第二、四象限，每个象限内随的增大而增大，图象与坐标轴不相交， 故A、C正确，B错误； 当时，图象在第二象限，，故D正确． 8. 根据下列表格对应值：判断关于的方程的一个解的范围是（ ） 3 4 5 0.5 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程． 利用和所对应的函数值可判断抛物线与x轴的一个交点在和之间，则根据抛物线与x轴的交点问题可判断关于x的方程的一个解x的范围． 【详解】解：∵时，，即； 时，，即， ∴抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴关于x的方程的一个解x的范围是． 故选：D． 9. 若二次函数的图象经过点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：将代入，得， 将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 10. 已知反比例函数与一次函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数图象确定,，确定对称轴在轴右侧,排除、；利用交点横坐标建立与的关系式，利用抛物线解析式确定与与轴交点纵坐标大于，从而排除，得出答案． 【详解】解：从图象看，一次函数自左到右下降，故, 反比例函数图象在第二、四象限，故， 二次函数对称轴为直线，在轴右侧, 故选项、不符合题意； 只限于双曲线交点横坐标是，这个点既在一次函数上，也在反比例函数上， 代入一次函数和反比例函数得 ：, 整理得：, 将代入二次函数得,故二次函数的图象过, 当时，, 故抛物线与轴交点纵坐标大于，从而选项不符合题意，选符合题意． 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分） 11. 方程是关于x的一元二次方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程未知数最高次数为2的性质求解参数． 【详解】解：方程的最高次项为，因此该项的次数需等于2，可得： 解得． 12. 若双曲线y=经过点(3，b)，则b=_______． 【答案】2 【解析】 【分析】直接将点代入双曲线中即可求出b的值． 【详解】∵双曲线经过点 ， ∴， 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查根据双曲线的解析式求函数值，准确的计算是关键． 13. 二次函数的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数顶点式的顶点坐标为求解即可． 【详解】解：由题意得，该二次函数的顶点坐标为． 14. 如图，平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A是反比例函数图像上的一点，过点A分别作轴于点M，轴于点N，若四边形的面积为2．则k的值是________．   【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，通过设点的坐标表示矩形的面积是解决本题的关键．设的坐标为，将点代入反比例函数，得出，然后用坐标表示矩形的面积，从而得出关系式，即可求出的值． 【详解】解：设的坐标为， 点在反比例函数上， ， 轴，轴， ， 四边形是矩形， ， ． 故答案为：2． 15. 如果t是方程的一个根，那么代数式的值是______． 【答案】2026 【解析】 【分析】根据方程根的定义得到，整体代入代数式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 整理得， ∴ ． 16. 如图，小球悬浮于液体中（即），若，小球质量为，重力加速度，则的值为________．（注：） 【答案】或1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程，再化简求解即可． 【详解】由题意可知， 整理得， 解得或． 故答案为：或1． 三、解答题（本大题共8个小题，第17、18题每题6分，第19、20题每题8分，第21、22题每题10分，第23、24题每题12分，共72分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 已知反比例函数（为常数，）的图象经过点． （1）的值为___________； （2）判断点是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1） （2）点不在这个函数的图象上． 理由：由（1）得反比例函数解析式为，当时，，因此该点不在函数图象上． 【解析】 【分析】（1）将代入，即可求得的值； （2）将代入所求得的反比例函数解析式即可判断点是否在这个函数的图象上． 【小问1详解】 解：将代入，得； 【小问2详解】 略 19. 已知关于x的方程：的一个根为，求m的值及另一个根． 【答案】 的值为，方程的另一个根为 【解析】 【分析】用方程的根的定义代入已知根求，再解方程求另一根． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ， 解得， 将代入原方程，得， 解得，， ∴方程的另一个根为． 20. 2020年某县投入100万元用于农村“扶贫工程”，计划以后每年以相同的增长率投入，2022年该县计划投入“扶贫工程”144万元． （1）求该县投入“扶贫工程”的年平均增长率； （2）若2023年保持从2020年到2022年的年平均增长率不变，求2023年该县将投入“扶贫工程”多少万元． 【答案】（1）20% （2）172.8 【解析】 【分析】（1）设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率x，根据题意列出一元二次方程，解方程即可解决问题； （2）根据（1）的结论和题意即可求得2022年该县将投入“扶贫工程”多少万元． 【小问1详解】 解：设该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为x， 依题意得， 解得， (不合题意，舍去)． 答：该县投入“扶贫工程”的年平均增长率为20%． 【小问2详解】 (万元)． 答：2023年该县将投入“扶贫工程”172．8万元． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用-增长率问题，根据题意列出方程是解题的关键． 21. 如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，小球飞行高度（单位：）与飞行时间（单位：）之间具有函数关系，请根据要求解答下列问题： （1）在飞行过程中，当小球的飞行时，飞行高度是多少？ （2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）将代入函数关系式求解即可； （2）根据小球落地即飞行高度为，求解对应的的值即可． 【小问1详解】 解：∵小球飞行高度与飞行时间之间具有函数关系， ∴当时，， 即当小球的飞行时，飞行高度是； 【小问2详解】 解：小球从飞出到落地，即飞行高度， 令，代入函数关系式中， 可得，即， 解得，， 其中表示小球飞出的时刻，表示小球落地的时刻， ∴小球从飞出到落地所用时间是． 22. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）求的面积． （3）根据函数的图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）把，代入，利用待定系数法，确定直线的表达式即可；（2）根据题意，得，根据三角形的面积计算即可； （3）根据数形结合思想，解答即可． 【小问1详解】 解：，， 根据题意，的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为． 【小问2详解】 解：根据题意，与轴的交点为， ， ． 【小问3详解】 解：不等式即，观察图象得：此时或． 23. 已知函数与函数，定义新函数． （1）若，则新函数______________； （2）若新函数的表达式为，则______________，______________； （3）设新函数顶点为，当为何值时，有最大值，并求出最大值． 【答案】（1） （2） （3）当时， 【解析】 【分析】（1）将代入函数，得，即可求出结果； （2）根据定义求出新函数得，和题目所给的对比，从而求出k和b的值； （3）利用配方法将（2）中的新函数解析式写成顶点式，得到顶点坐标的表达式，即可求出的最大值． 【小问1详解】 解：当时，， ∵函数，定义新函数， ； 【小问2详解】 解：∵函数与函数， 定义新函数， ∴新函数的解析式为， ∵新函数的解析式为， ，， ∴，； 【小问3详解】 解：由（2）知，新函数解析式为， ∵新函数顶点为， ， ， ∵， ∴当时，． 24. 抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，动点在线段上（点与点不重合）． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，在的左上方以为边作正方形． ①如图，当时，求正方形的面积； ②如图，当点落在抛物线上时，求点的坐标； （3）如图，在动点的正上方有另一动点，且，当点从点开始运动时，点以相同的速度同时出发，两点都沿轴的正方向匀速运动，点停止运动时点同时停止运动．连接，，求的最小值和此时的值． 【答案】（1） （2）①8；② （3）， 【解析】 【分析】（1）运用待定系数法求解即可； （2）①由点B，C的坐标得到，，再利用勾股定理求出，根据正方形的面积公式求解即可； ②过点作轴，垂足为，通过“”证明，得到，，设，可得点，代入抛物线解析式，即可求解； （3）过点，分别作，的平行线交于点，即，，则四边形为平行四边形，，，连接，由，得到当，，三点共线时，的最小值等于的长，根据勾股定理求出，得到的最小值．运用待定系数法求出直线的表达式，再求出点D的坐标后，求出点E的坐标，即可解答． 【小问1详解】 解∶∵抛物线过点，点， ∴，解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 解：①由点，可得，， ， ， ， ． ②如图，过点作轴，垂足为， 则． 四边形为正方形， ，， ∵， ∴， ，，， ∴， ， 设，则， 点 点在抛物线上， ，解得，（不满足，舍去）， 点． 【小问3详解】 解：如图，过点，分别作，的平行线交于点，即，， 四边形为平行四边形， ，． 连接， ， 当，，三点共线时，，如图， 即的最小值等于的长． 令时，， 解得，，， 点， ∴点． 点， ， ， ∴在中，， 的最小值为 设直线的表达式为， ∵直线过点，， ，解得， 直线的表达式为， 点， ， 点， 当取最小值时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $