精品解析：湖南长沙市周南教育集团2026-2027学年九年级上学期11月期中数学试题

2026年下学期九年级期中考试试卷数学 （考试范围：初一初二所有知识及九上至教材121页） 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将字迹的姓名和准考证号、考室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填写在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的试卷无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡中．每小题3分，共30分） 1. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查正负数的定义，根据正负数的意义即可求解． 【详解】解：∵温度上升，记作， ∴温度下降记作． 故选：A． 2. 下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形．故本选项不合题意； B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意； C．既是轴对称图形又是中心对称图形．故本选项符合题意； D．不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 3. 长沙奥体中心主体育场以“红色摇篮”为设计理念，彰显着湖南的红色基因；体育馆和游泳馆则以“蝶舞湘江”为设计出发点，用优雅的造型诠释体育运动的力量之美．项目总投资约6800000000元，竣工后将成为承载体育赛事、艺术展览与城市记忆的湖湘新地标，更将作为2029年第十六届全国运动会的主场馆，迎接八方来客．将数据6800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法的表示方法，根据科学记数法的定义确定和的值即可求解，科学记数法要求写成的形式，其中，为整数． 【详解】解：∵科学记数法的标准形式为，满足，为整数， ∴对于数据，可得，小数点向左移动了位，因此， ∴． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵ ，， ∴ A错误，C正确； ∵ ， ∴ B错误； ∵ ， ∴ D错误． 5. 已知的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P 与的位置关系（ ） A. 点P 在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平面上一点与圆的位置关系，注意若半径为r，点到圆心的距离为d，则有：当时，点在圆外；当时，点在圆上，当时，点在圆内．据此即可求解． 【详解】解：的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为， 点P在内， 故选C． 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、∵在中，二次项系数， ∴开口向下，原说法错误，不符合题意； B、由解析式可得对称轴是直线，原说法错误，不符合题意； C、∵函数图象开口向下，顶点坐标为， ∴函数有最大值3，原说法错误，不符合题意； D、由解析式可得顶点坐标是，原说法正确，符合题意． 7. 如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的旋转，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理求出，然后利用旋转角的定义即可求解，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由旋转定义可知：旋转角， 故选：． 8. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用二次函数的性质进行推理是解此题的关键． 通过将二次函数化为顶点式，确定对称轴和开口方向，利用二次函数的性质比较点的纵坐标大小即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线，当时，y随x的增大而增大， ∴关于对称轴的对应点为， ∵， ∴． 故选：A 9. 若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴a，b异号， ①若，，正比例函数经过第一、三象限；反比例函数分布第二、四象限； ②若，：正比例函数经过第二、四象限；反比例函数分布第一、三象限． 由此观察各选项可得，正确的为B． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数图象开口方向、对称轴、特殊点坐标与系数关系是解答的关键，根据二次函数的图象与性质，结合对称轴、特殊点的函数值及最值性质逐项判断即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则； ∵对称轴为直线， ∴，即，故①正确； ∵当时，图象在轴下方， ∴，故②正确； ∵对称轴为直线， ∴与时的函数值相等， ∵当时，， ∴当时，，故③正确； ∵抛物线开口向下， ∴当时，函数取得最大值， ∴当时，， 即，故④错误． 综上所述，正确的结论是①②③． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 【答案】2 【解析】 【分析】把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 去括号得：， 解得：， 故答案为：2 【点睛】此题考查了一元二次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：关于原点对称的两点横、纵坐标都互为相反数，故点关于原点对称的点的坐标为． 14. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数系数的几何意义，可知，结合已知面积求出，再根据图象所在的象限确定的符号． 【详解】解：， ， ． 由图象可知，反比例函数图象位于第二象限， ， ． 15. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的平移，根据二次函数的平移规律“左加右减，上加下减”进行求解即可，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键． 【详解】解：根据二次函数的平移规律可得，将抛物线先向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是， 故答案为：． 16. 已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm． 【答案】 【解析】 【详解】分析：运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出外接圆半径． 详解：∵正方形的边长为2, 由中心角只有四个可得出： ∴中心角是： 正方形的外接圆半径是：sin∠AOC ∵ ∴ 故答案为 点睛：考查正多边形和圆，涉及垂径定理，解直角三角形，比较简单. 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23小题9分，第24、25小题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先计算零指数幂、绝对值、算术平方根和负整数指数幂，再加减运算即可解答． 【详解】解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可； （）把右边的项移到左边，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：移项，得， 因式分解，得， ∴或， ∴，． 19. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先通分运算括号内的分式，再利用因式分解进行化简运算，再把，代入运算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 20. 若是方程的两个根． （1）求和的值． （2）求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解：∵是方程的两个根， ∴，； 【小问2详解】 解：由（1）知，； ∴. 21. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 【答案】（1）证明：∵将绕点A按逆时针方向旋转得到， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）． 【解析】 【分析】（1）由旋转的性质得到，，，从而得到，再证明即可； （2）由（1）知，，，即可得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知，，， ∴， ∴的度数为． 22. 某学校计划建一个矩形种植园，如图，种植园的一边靠墙，另三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为，种植园的面积为． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当为多少时，这个种植园的面积最大？求出最大面积． 【答案】（1）， （2）当时，这个种植园的面积最大，为. 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式，列出函数关系式，根据矩形的边长为正数，且平行于墙的边长不超过墙长，求出自变量的取值范围即可； （2）利用二次函数的性质求最值即可. 【小问1详解】 解：由题意，平行于墙的边长为， 由题意，得， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∵； ∴当时，最大为， 故当时，这个种植园的面积最大，为. 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】（1）反比例函数表达式为，一次函数表达式为 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； 【小问2详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． 24. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或一个整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”的有_____个． ①；②；③ （2）已知关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 【答案】（1） 0 （2） ①证明：∵ 一元二次方程的根的判别式 ， 3是整数，即是整数的平方， ∴ 此方程一定是“友好方程”； ② 【解析】 【分析】（1）求出每个方程的判别式，根据新定义进行判断即可； （2）①求出判别式即可得出结果；②先求出方程的两个根，得到点的坐标与参数的关系，代入函数解析式，根据等式对任意恒成立求解的值.  【小问1详解】 解：对于， ，不是一个整数的平方， 故①不是“友好方程”； 对于， ，不是一个整数的平方， 故②不是“友好方程”； 对于， ，不是一个整数的平方， 故③不是“友好方程”； 综上：一定是“友好方程”的有0个； 【小问2详解】 解：①略； ② 由求根公式得， ∵， ∴，， ∵在函数的图象上， ∴将，代入解析式得， 整理得， ∵存在实数，使得始终在函数图象上，即等式对任意实数成立， ∴， 解得. 25. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． （1）如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 【答案】（1），； （2）； （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，代入抛物线，利用待定系数法求出抛物线的表达式，再令，求出值，即可得到点的坐标； （2）设直线的表达式为，将点，代入解析式，利用待定系数法求出直线的表达式为：，设点，根据平移的性质，得到点，将点P代入，求出的值，即可得到点的坐标； （3）根据正方形和点C的坐标，得出，，，将代入，求得，进而得到顶点坐标，分两种情况讨论：①当抛物线顶点在正方形内部时，②当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，分别列出不等式组求解，即可得到答案． 【小问1详解】 解：抛物线过点， ，解得：， 抛物线表达式为， 当时，， 解得：（舍去），， ； 【小问2详解】 解：设直线的表达式为， 直线过点，， ，解得：， 直线的表达式为：， 点在抛物线上， 设点， ，，且由平移得到， 点向左平移2个单位，向上平移3个单位得到点， 点在直线上， 将代入， ， 整理得：， 解得：，（舍去）， 当时， 点坐标为； 【小问3详解】 解：四边形是正方形，， ，， ， 点A和点D的横坐标为，点B和点C的横坐标为2， 将代入，得：， ， 顶点坐标为， ①如图，当抛物线顶点在正方形内部时，与正方形有两个交点， ，解得：； ②如图，当抛物线与直线交点在点上方，且与直线交点在点下方时，与正方形有两个交点， ，解得：， 综上所述，的取值范围为或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，平移的性质，函数图像上点的坐标特征，抛物线与直线交点问题，解一元二次方程，解一元一次不等式组等知识，利用分类讨论的思想，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年下学期九年级期中考试试卷数学 （考试范围：初一初二所有知识及九上至教材121页） 本试卷共4页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或者签字笔将字迹的姓名和准考证号、考室号、座位号填写在答题卡上．用2B铅笔将试卷类型填写在答题卡相应位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔或涂改液．不按以上要求作答的试卷无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将答题卡上交． 一、选择题（每小题有且只有一个选项是正确的，请将正确答案的序号填入答题卡中．每小题3分，共30分） 1. 如果温度上升，记作，那么温度下降记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列环保标志图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 长沙奥体中心主体育场以“红色摇篮”为设计理念，彰显着湖南的红色基因；体育馆和游泳馆则以“蝶舞湘江”为设计出发点，用优雅的造型诠释体育运动的力量之美．项目总投资约6800000000元，竣工后将成为承载体育赛事、艺术展览与城市记忆的湖湘新地标，更将作为2029年第十六届全国运动会的主场馆，迎接八方来客．将数据6800000000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知的半径为3，平面内点P到圆心O的距离为，则点P 与的位置关系（ ） A. 点P 在外 B. 点P在上 C. 点P在内 D. 无法确定 6. 关于二次函数，下列说法正确的是（ ）． A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 有最小值3 D. 顶点坐标是 7. 如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如果三点，和在抛物线的图象上，那么，与之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 若，则与在同一坐标系中的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 分解因式：________． 12. 已知关于x的一元二次方程的一个根为1，则m＝________． 13. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 14. 如图，点在反比例函数（为常数，）的图象上，⊥轴于点，连接，若则的值为__________． 15. 把抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是____________． 16. 已知正方形的边长为2cm，那么它外接圆的半径长是_______cm． 三、解答题（本题共9个小题，第17、18、19题每小题6分，第20、21题每小题8分，第22、23小题9分，第24、25小题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，其中，． 20. 若是方程的两个根． （1）求和的值． （2）求的值． 21. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接． （1）求证：； （2）求的度数． 22. 某学校计划建一个矩形种植园，如图，种植园的一边靠墙，另三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个种植园垂直于墙的一边长为，种植园的面积为． （1）求与之间的函数表达式，并写出自变量的取值范围； （2）当为多少时，这个种植园的面积最大？求出最大面积． 23. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）根据图象直接写出时，的取值范围； （3）过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 24. 新定义：对于一元二次方程，若根的判别式是一个整数的平方或一个整式的平方，则此方程叫“友好方程”． （1）判断下列方程一定是“友好方程”的有_____个． ①；②；③ （2）已知关于的一元二次方程， ①证明：此方程一定是“友好方程”； ②设方程的两个实数根分别为，存在实数，使得始终在函数的图象上，求出的值； 25. 在平面直角坐标系中，正方形的顶点，在轴上，，．抛物线与轴交于点和点． （1）如图1，若抛物线过点，求抛物线的表达式和点的坐标； （2）如图2，在（1）的条件下，连接，作直线，平移线段，使点的对应点落在直线上，点的对应点落在抛物线上，求点的坐标； （3）若抛物线与正方形恰有两个交点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $