精品解析：湖南省吉首市雅思实验学校2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试卷

湖南省吉首市雅思实验学校2024-2025学年九年级上学期 期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效： 2．答题前，考生须先将自己的姓名、班级、考填写清楚． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 3. 点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是【 】． A. （-1，-2） B. （1，2） C. （-1，2） D. （-2，1） 4. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是(　 　) A. ax2+bx+c＝0 B. x2+3＝0 C. +＝1 D. x2+2－x(x－1)＝0 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC=4，BC=3，则AG的长为(　　) A. B. C. D. 1 8. 如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程是（ ） A. 2（1＋x）3＝8.72 B. 2（1＋x）2＝8.72 C. 2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72 D. 2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72 10. 如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB=10，BC=6．则线段BE的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 二、填空题（共8题，每题3分，共30分） 11. 抛物线不经过第________象限． 12. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 13. 一个矩形的两邻边长分别是方程的两根，则矩形的面积等于________； 14. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=32°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为______． 15. 动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_____． 16. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______ 17. 已知三角形的三边长分别为3，8，，若为偶数，则=_____________________. 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm． 三、解答题（共8题，共66分） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 21. 在等腰三角形,三边长分别是．其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求的周长． 22. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． 23. 已知二次函数的图象经过，两点，求这个二次函数的解析式． 24. 如图，长为25米，宽为12米的长方形地面上，修筑宽度均为m米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作草地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是45元/平方米． （1）写出买地砖需要的费用y（元）与m（米）之间的关系式． （2）计算当m＝2时，买地砖需要的费用． 25. 如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由． 26. 一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南省吉首市雅思实验学校2024-2025学年九年级上学期 期中考试数学试卷 时间：120分钟 满分：120分 注意事项： 1．本卷为试题卷，考生应在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效： 2．答题前，考生须先将自己的姓名、班级、考填写清楚． 一、单选题（共10题，每题3分，共30分） 1. 下列二次函数的开口方向一定向上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用抛物线开口方向向上，则二次项系数大于0判断即可． 【详解】二次函数的开口方向一定向上，则二次项系数大于0， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数y＝ax2＋bx＋c中，当a＞0，开口向上解题是解题关键． 2. 抛物线的顶点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质．配成顶点式，根据“的顶点坐标是”，即可求解． 【详解】解：抛物线 的顶点坐标是． 故选：C． 3. 点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是【 】． A. （-1，-2） B. （1，2） C. （-1，2） D. （-2，1） 【答案】C 【解析】 【详解】关于原点对称的点的坐标是横、纵坐标都互为相反数，从而点M（1，-2）关于原点对称的点的坐标是(-1，2)．故选C． 4. 下列方程中，一定是关于x的一元二次方程的是(　 　) A. ax2+bx+c＝0 B. x2+3＝0 C. +＝1 D. x2+2－x(x－1)＝0 【答案】B 【解析】 【分析】形如，含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的等式是一元二次方程，据此逐项判断即可. 【详解】A. 若a＝0，则ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故A错误； B. x2+3＝0是一元二次方程，故B正确； C. +＝1不是一元二次方程，故C错误； D. x2+2－x(x－1)＝0整理后，得x+2=0，不是一元二次方程，故D错误, 故选：B 【点睛】本题考查一元二次方程的定义，是基础考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键. 5. 下列方程中，没有实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算判别式即可得到答案． 【详解】解：A. ， ∵ ∴此方程有两个相等的实数根，故A不符合题意； B. ， ∵， ∴此方程无实数解，故B符合题意； C. ， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数解，故C不符合题意； D. ， ∵， ∴此方程有两个不相等的实数解，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①当时，方程有两个不相等的两个实数根；②当时，方程有两个相等的两个实数根；③当时，方程无实数根． 6. 下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A．既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 7. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，把△ABC绕AC边的中点M旋转后得△DEF，若直角顶点F恰好落在AB边上，且DE边交AB边于点G，若AC=4，BC=3，则AG的长为(　　) A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】连接CF，先证明△ACF为直角三角形，再由△ABC中等面积法求出CF，进而求出AF；再证明△DEF为直角三角形，且G为DE的中点，最后AG=AF-GF即可求解. 【详解】解：连接CF，如下图所示： ∵M是AC的中点，∴MC=MA ∵M是旋转中心，C绕M点旋转后的落点为F ∴MC=MF ∴∠MCF=∠MFC， ∴MA=MC=MF ∴∠MFA=∠A 在△ACF中，由内角和定理知：∠A +∠MFA+∠ACF+∠CFM=180° 故2∠AFM+2∠CFM=180° ∴∠AFC=90° ∴△ACF为直角三角形，CF⊥AB 由△ABC等面积法知：，且AB=5 代入数据解得CF= ∴ ∵∠A+∠B=90°，∠A+∠ACF=90° ∴∠ACF=∠B ① 又DF⊥EF， ∴∠AFD+∠AFE=90° ∵∠AFD+∠MFC=90° ∴∠AFE=∠MFC=∠ACF ② 由①、②知：∠B=∠AFE 又由旋转知：∠B=∠E ∴∠AFE=∠E，即GF=GE 由旋转知：∠A=∠D 又∠A=∠AFM ∴∠D=∠AFM， ∴GF=GD 故GF=GE= GD ∴G为Rt△DEF斜边DE上的中点 ∴ ∴ 故答案为：A. 【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形的判定方法、直角三角形的性质、勾股定理等知识，本题的关键是能连接CF并计算出CF的长. 8. 如图，将绕点按顺时针方向旋转至，使点落在的延长线上．已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，然后根据三角形的内角和定理及外角的性质可得答案． 【详解】解：旋转的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点睛】此题考查的是旋转的性质，掌握三角形内角和定理及其性质是解决此题的关键． 9. 目前以5G等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市2019年底有5G用户2万户，计划到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户，设全市5G用户数年平均增长率为x，根据题意可列方程是（ ） A. 2（1＋x）3＝8.72 B. 2（1＋x）2＝8.72 C. 2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72 D. 2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72 【答案】D 【解析】 【分析】由“到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户”，即2019年，2020年，2021年三年用户数加起来等于8.72万户，根据这句话列关系式即可． 【详解】由“到2021年底全市5G用户数累计达到8.72万户”，即2019年，2020年，2021年三年用户数加起来等于8.72万户， 又∵2019年用户数为2万，2020年用户数为2（1+x），2021年用户数为2（1+x）2 ∴2＋2（1＋x）＋2（1＋x）2＝8.72 故选D． 【点睛】本题考查了一元二次方程实际应用（增长率问题），注意区别累计增长列式是解决本题的关键． 10. 如图，在平面内将Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC，若AB=10，BC=6．则线段BE的长为（　　） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由勾股定理可得AC=8，由旋转的性质可得CE=AC=8，即可求解． 【详解】解：∵△ABC为直角三角形，AB=10，BC=6， ∴， ∵Rt△ABC绕着直角顶点C逆时针旋转90°得到Rt△EFC， ∴CE=AC=8， ∴BE=BC+CE=14， 故选：C． 【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理，解题的关键是明确旋转前后对应边相等． 二、填空题（共8题，每题3分，共30分） 11. 抛物线不经过第________象限． 【答案】四 【解析】 【分析】将抛物线的解析式变形为顶点式，画出其图象，观察图形即可得出结论． 【详解】解：抛物线化为顶点式 由抛物线的性质可知，其不经过第四象限． 故答案为四． 【点睛】本题考查二次函数的性质，把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 12. 已知关于x的方程没有实数根，则实数k的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根，据此求解即可． 【详解】解：∵关于x的方程没有实数根， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 一个矩形的两邻边长分别是方程的两根，则矩形的面积等于________； 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，矩形的性质，由方程得到两个一次方程，再解一次方程结合矩形面积公式可得答案． 【详解】解：∵， ∴或， 解得：， ∴矩形相邻的两边分别为：2和3， ∴矩形的面积为：； 故答案为：6． 14. 如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=32°，以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上，则旋转角的度数为______． 【答案】64° 【解析】 【分析】先利用互余计算出∠BAC=58°，再利用旋转的性质得CA=CA′，∠A′=∠BAC=58°，∠ACA′等于旋转角，根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出∠ACA′的度数即可． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=32°， ∴∠BAC=58°， ∵以点C为旋转中心顺时针旋转后得到△A′B′C，且点A在边A′B′上， ∴CA=CA′，∠A′=∠BAC=58°，∠ACA′等于旋转角， ∴∠CAA′=∠A′=58°， ∴∠ACA′=180°-58°-58°=64°， 即旋转角的度数为64°． 故答案为：64°． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 15. 动态几何的问题背景往往是特殊图形，分析过程中要把握好一般与特殊的关系，抓住变化中的不变，做到动中有静，动静结合．如图，中，，点D是边上的动点，连接，以为边在的左下方作等边，连接，则点D在运动过程中，线段长度的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形30度角的性质等知识．如图，取的中点Q，连接，由，推出，推出当时，最小，此时的值最小． 【详解】解：如图，取的中点Q，连接， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，最小，此时的值最小， 在中，∵， ∴， ∴的最小值为3． 故答案为：3． 16. 若二次函数的图像与x轴有两个交点，则m的取值范围是_______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题、根的判别式等知识点，将抛物线与x轴的问题转化成一元二次方程根的问题成为解题的关键． 将抛物线与x轴的交点将问题转化为方程有2个不等实数根，再根据根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 17. 已知三角形的三边长分别为3，8，，若为偶数，则=_____________________. 【答案】6或8或10 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，求得第三边的取值范围，再根据第三边是偶数这一条件，求得第三边的值. 【详解】解：根据三角形的三边关系，得： 第三边x的取值范围是5<x<11， ∵x为偶数， ∴x可以取6、8、10. 故答案为6或8或10. 【点睛】本题考查了三角形的三边长度关系. 18. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝2cm，AB＝3cm，将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE，则点E与点C之间的距离是_________cm． 【答案】 【解析】 【详解】连接EC，即线段EC的长是点E与点C之间的距离， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：BC=（cm）， ∵将△ABC绕点B顺时针旋转60°得到△FBE， ∴BC=BE，∠CBE=60°， ∴△BEC是等边三角形， ∴EC=BE=BC=cm. 故答案为： 三、解答题（共8题，共66分） 19. 用适当的方法解方程： （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）先移项，然后利用开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴即， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 20. 已知：关于x的一元二次方程． （1）判断方程的根的情况； （2）若为等腰三角形，，另外两条边长是该方程的根，求的周长． 【答案】（1）有两个不相等的实数根 （2）13或17 【解析】 【分析】（1）计算方程的根的判别式，根据其属性判断即可． （2）先求得方程的两个根，后分类计算即可． 【小问1详解】 ∵一元二次方程， ∴△=， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 【小问2详解】 ∵一元二次方程，△= ∴， 解得， 当m+1=5时即m=4，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，3，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+3=13； 当m+-1=5时即m=6，原方程变形为， 解得， 故三角形的三边长为5，5，7，三角形存在， 此时三角形的周长为5+5+7=17； 当AB为底时，两个根为腰，故方程有两个相等的实数根， 这与方程有两个不相等的实数根矛盾， 故此情形不存在， 故等腰三角形的周长为13或17． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，等腰三角形的分类计算，熟练掌握根的判别式，灵活进行等腰三角形的分类是解题的关键． 21. 在等腰三角形,三边长分别是．其中，若关于的方程有两个相等的实数根，求的周长． 【答案】12 【解析】 【分析】由方程有两个相等的实数根可得到关于a的方程，可求得a的值，再分b为底和b为腰两种情况分别求其周长即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴△=0，即， 解得a=2或a=-10（负数舍去）， ①当b为底，a为腰时，2+2=4＜5，不能构成三角形， ②当b为腰，a为底时，能构成三角形，周长为=2+5+5=12， ∴△ABC的周长是12． 【点睛】本题主要考查根的判别式及等腰三角形的性质，利用根的情况求得a的值是解题的关键． 22. 已知二次函数图象的顶点坐标是，且经过点，求该二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，根据题意设二次函数的解析式为，把代入即可得到答案． 【详解】解：二次函数图象的顶点坐标是 ， ∴二次函数的解析式可设为． 把代入 ， 得 ， 解得 ． ∴该二次函数的解析式为． 23. 已知二次函数的图象经过，两点，求这个二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，将点，代入解析式，得出二元一次方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：将点，代入得 解得： ∴二次函数的解析式为： 24. 如图，长为25米，宽为12米的长方形地面上，修筑宽度均为m米的两条互相垂直的小路（图中阴影部分），其余部分作草地，如果将两条小路铺上地砖，选用地砖的价格是45元/平方米． （1）写出买地砖需要的费用y（元）与m（米）之间的关系式． （2）计算当m＝2时，买地砖需要的费用． 【答案】（1） （2）当m＝2时，买地砖需要的费用为3150元 【解析】 【分析】（1）先求出小路的面积，然后根据买地砖需要的钱数=小路的面积×每平方米地砖的价格，进行计算即可解答； （2）把m=2代入（1）中所求的关系式进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得：两条小路的面积为：25m+12mm2=（37mm2）米2， ∴y=45×（37mm2）=1665m45m2， 故答案为：y=1665m45m2； 【小问2详解】 解：当m=2时，1665m45m2=1665×245×4=3150（元）， 答：当m=2时，地砖的费用为3150元． 【点睛】本题考查了函数关系式，根据题目的已知条件结合图形求出小路的面积是解题的关键． 25. 如图，四边形ABCD中，，将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到． （1）请求出旋转角的度数； （2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）旋转角的度数为90°； （2）AE⊥BD，理由如下：如图所示， 由（1）可得：， ∴∠DBC=∠EAC， ∵∠ACB=90°， ∴∠2+∠DBC=90°， ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠EAC=90°， ∴BD⊥AE． 【解析】 【分析】（1）由题意易得BC=AC，则有∠CBA=∠CAB=45°，进而问题可求解； （2）由（1）可得∠DBC=∠EAC，如图∠1=∠2，∠2+∠DBC=90°，进而问题可求解． 【详解】解：（1）由将绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到可得：， ∴BC=AC， ∵， ∴∠CBA=∠CAB=45°， ∴∠ACB=90°， 即旋转角度为对应边的夹角，故旋转角为∠ACB=90°； （2）略 【点睛】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 26. 一座拱桥的轮廓呈抛物线型，如图，拱高，在高度为的两支柱和之间，还安装了三根立柱，相邻两立柱间的距离均为． （1）建立如图所示的平面直角坐标系，求拱桥抛物线的表达式； （2）求立柱的长； （3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽、高的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说说你的理由． 【答案】（1） （2） （3） 由于中间绿化带的宽两米，即绿化带到或的距离为米，三辆车并排宽共米， 因此只需考虑当时，的值与3的大小即可判定， 当时，， ∴不能并排行驶宽、高的三辆汽车． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题是解题根本，求出二次函数关系式是关键． （1）设拱桥抛物线的函数表达式为：，根据题目可知抛物线经过的两点的坐标，设出抛物线的解析式代入可求解． （2）令即可求出点的坐标，从而求出支柱的长度． （3）令求得的值，再与3比较大小即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，图象过原点，设拱桥抛物线的函数表达式为：， ∵相邻两支柱间的距离均为， ∴， ∴两点都在抛物线上， ∴， ∴， ； 【小问2详解】 解：当时，， ∴． ∴． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $