精品解析：天津市耀华中学2026-2027学年高二上学期期中学情调研数学试卷

天津市耀华中学 2026—2027 学年度第一学期期中学情调研 高二年级数学学科 一、单选题（本题共有12个小题，每小题3分，每个小题只有一个正确选项，请将答案填涂到答题卡相应位置上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 3. 过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 4. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 5. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 6. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 7. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 9. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 12. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程____________. 14. 圆被直线截得的弦长为，则_________． 15. 已知点在圆上，则该圆的标准方程为______. 16. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 17. 椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为___________. 18. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 三、解答题（本题共有3个小题，共40分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 19. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 （1）求过点与垂直的直线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 20. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 21. 已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． （1）求椭圆方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市耀华中学 2026—2027 学年度第一学期期中学情调研 高二年级数学学科 一、单选题（本题共有12个小题，每小题3分，每个小题只有一个正确选项，请将答案填涂到答题卡相应位置上） 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线倾斜角和斜率的关系求解即可. 【详解】直线可化为，即直线的斜率. 设直线的倾斜角为，， 则，即，所以. 2. 已知直线，直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】若，则，，显然两直线平行， 因此由可以推出，充分性成立； 若，则，解得或1， 当时，，，此时两直线重合，舍去， 当时，，，此时两直线平行， 因此由可以推出，必要性成立； 综上所述，“”是“”的充要条件． 3. 过点，且与直线垂直的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由两直线垂直可设直线方程，再代入点即可求解. 【详解】因为所求直线与直线垂直， 可设所求直线方程为，把点代入方程得， 所以直线方程为. 故选：D 4. 已知实数，满足，且，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】的几何意义：点与定点连线的斜率，先求线段两个端点坐标，定点，分别计算斜率，点从移动到，连线的斜率逐渐减小，从而得到斜率最小值，从而得到的最小值. 【详解】的几何意义：点与定点连线的斜率， 因为，即且， 当，，端点， 当，，端点， 所以动点是线段上的点， ，， 因为直线单调递增，从增大到， 点从移动到，连线的斜率逐渐减小. 所以斜率最小值为. 5. 已知直线的倾斜角为，点，圆，若圆与圆关于直线对称，则圆的标准方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的方程，并将圆化为标准方程，求出点关于直线对称的点，即可根据圆心和半径写出方程. 【详解】由题意知，直线的方程为，即， 圆可化为， 故圆心，半径为， 设点关于直线对称的点为， 则，，解得， 因为圆与圆关于直线对称，所以， 又圆的半径为，故圆的标准方程为. 故选：C 6. 已知和圆相交，则这两个圆的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两圆的位置关系求解公共弦长或公切线长得出答案. 【详解】由题,圆，圆心，圆的半径为， 圆和圆的公共弦方程为 ，化简得. 又圆圆心到弦的距离为. 故弦长为. 故选：A. 7. 圆与圆的公切线有（ ）条 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准形式，求出圆心坐标与半径，计算圆心距并与半径差比较，判断两圆位置关系，进而确定公切线的条数. 【详解】圆的标准方程为， 圆心为，半径. 圆的标准方程为， 圆心为，半径. 两圆心距. ，，故圆内含于圆. 两圆内含时，无公切线. 故选：A 8. 古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点的距离之比为常数（且）的点的轨迹是圆，此圆称为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”．已知在平面直角坐标系中，，，动点满足，则的最小值为（ ） A. B. 6 C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点距离公式计算可得根据圆的方程与两点距离公式，根据三角形三边关系求最值即可. 【详解】化简整理得 ∴点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆； 而表示的是圆上的动点与圆外一定点间的距离， ∴的最小值即为的最小值， 而，∴的最小值为. 故选：A． 9. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，为的重心，，且，，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，确定相关点以及向量的坐标，利用点到直线的距离的向量求法，即可得答案. 【详解】如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系， 则，，，，由，可得， 为的重心，所以，，， 则，，， 故点到直线的距离为. 故选：A 10. 设椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆的外部，点是椭圆上的动点，满足恒成立，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由N在椭圆外部，则，根据椭圆的离心率公式，即可求得 ，根据椭圆的定义及三角形的性质结合，则 ，即可求得椭圆的离心率的取值范围． 【详解】因为点在椭圆的外部，所以，可得 ， 由椭圆的离心率， 又因为，且，， 要恒成立，即， 则椭圆离心率的取值范围是． 故选：D． 11. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，过的直线与的右支交于，两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，设，结合双曲线的定义，在中，由勾股定理可得，在中，由勾股定理可得，进而可解. 【详解】设，则，， 由双曲线定义可知，，， 因为，所以是直角三角形，即， 所以是直角三角形， 所以，即， 化简可得，所以， 在中有， 即，化简可得， 所以的离心率为. 12. 已知椭圆和双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为，，设两曲线在第一象限的交点为M，、的离心率分别为、，当时，不可能等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义，明确、的关系，再结合的取值范围和“对勾函数”的单调性求的取值范围. 【详解】由题意，， 根据椭圆的定义，； 根据双曲线的定义，. 所以， 所以，且. 所以. 设，， 则. 因为函数在上单调递增，所以. 所以. 所以不可能等于. 二、填空题（本题共有6个小题，每小题4分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 13. 与椭圆有相同焦点，且短轴长为2的椭圆的标准方程____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，进而求出长半轴长，写出标准方程. 【详解】椭圆，即的焦点坐标为， 则所求标准方程的椭圆焦点为，而短半轴长为1，则长半轴长为， 所以所求椭圆的标准方程为. 故答案为：. 14. 圆被直线截得的弦长为，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心坐标，再由题意利用点到直线的距离公式，求得a的值． 【详解】圆，即， 圆心坐标为，半径为， 由勾股定理可知，圆心到直线的距离为， 另一方面，圆心到直线的距离为，解得. 故答案为：． 【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法 （1）几何法：求圆的半径为，弦心距为，弦长为，则； （2）代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式. 15. 已知点在圆上，则该圆的标准方程为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由得到，可知的外接圆是以为直径的圆，然后求出圆的半径与圆心坐标，可得所求圆的标准方程. 【详解】解：根据题意，经过三点的圆是的外接圆， 由，，，可知， 因为，所以的外接圆是以为直径的圆， 由，可知圆半径， 结合圆心为的中点，可得圆的方程为. 故答案为：. 16. 已知点是椭圆：上的动点，若，则的最小值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】根据两点间的距离公式列关于的函数式，然后利用二次函数求出最值即可 【详解】由题意得，且 所以 当时，取得最小值为， 故答案为： 17. 椭圆：的左右焦点分别为，，过点的直线交椭圆于，两点，已知，，则椭圆的离心率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知向量关系化简求出，得到，再根据已知向量关系求出，得到，再取的中点，由得到勾股定理，进而得到关于、的方程，即可求出离心率. 【详解】解：且 ， 设的中点为，则 ， 代入数据并整理得：，等式两边同时除以得： 解得或（舍去） 所以椭圆的离心率为 故答案为：. 【点睛】思路点睛：圆锥曲线中求离心率的值，关键在于根据题目已知的等量关系或者根据题目中的几何关系构建关于、、的等量关系，进而列出方程求解. 18. 双曲线 的左、右焦点分别为， 为线段 上一点， 为双曲线上第一象限内一点， ， 与的周长之和为，且它们的内切圆面积相等，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据“ 与的周长之和”、“ 与的内切圆面积相等”、“”等列方程，化简求得双曲线的离心率. 【详解】记与的周长分别为与， 设与的内切圆半径为， 则， 根据，则，则， 又与的周长之和为， 所以． 因为， 又，所以可得．又， 所以． 由，即，化简得， 所以离心率． 故答案为：2 三、解答题（本题共有3个小题，共40分，请将答案填在答题卡相应位置上，答在试卷上的无效） 19. 已知圆的圆心是直线与直线的交点，又圆与圆：相外切．点 （1）求过点与垂直的直线方程； （2）求圆的标准方程； （3）若过点的直线被圆截得的弦长为，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 或 【解析】 【分析】（1）联立两条直线求出交点，再由两直线垂直得出斜率，根据直线点斜式方程即可求解. （2）根据两圆外切的关系，圆心距即可求解 （3）分直线的斜率存在与不存在讨论，斜率不存在时直接验证；斜率存在时，设直线的点斜式方程，利用点到直线的距离公式求出斜率，进而得到直线方程. 【小问1详解】 联立直线方程 ，解得 ，所以圆心 ， 圆 化为圆的标准方程： ，所以圆心 ， 而直线 的斜率 . 设所求直线斜率为 ， 则 ，即 ，解得 ， 所求直线过点 ，所求直线方程为 ，整理得 ， 因此，过点 与 C D 垂直的直线方程为 . 【小问2详解】 由（1）知圆心 ，圆心 ，， 因为圆 与圆 相外切，所以圆 的半径 ， 因此，圆 的标准方程为 . 【小问3详解】 当直线 的斜率不存在时，直线 的方程为 ，此时圆心 到直线 的距离 ，根据弦长公式可得弦长为 ，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为 ，即， 已知圆心 ，半径 ，弦长为 ，则圆心到直线的距离 . 根据点到直线的距离公式可得 ，即 2， 两边平方可得 ，展开得 ，解得 . 所以直线 的方程为 ，整理得 0 . 因此，直线 的方程为 或 . 20. 如图，在四棱柱中，平面，，．分别为的中点， （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角余弦值； （3）求点到平面的距离． 【答案】（1） 取中点，连接，， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取中点，连接，，借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 21. 已知椭圆C：，若椭圆的焦距为4且经过点，过点的直线交椭圆于P，Q两点． （1）求椭圆方程； （2）求面积的最大值，并求此时直线的方程； （3）若直线与x轴不垂直，在x轴上是否存在点使得恒成立？若存在，求出s的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）面积最大值为，直线或 （3）存在， 【解析】 【分析】（1）由焦距是4求出，将代入椭圆方程求出，得到答案； （2）根据题意设直线，与椭圆方程联立可得，由，代入运算化简，利用不等式求出面积的最大值； （3）根据题意有，转化为，由第二问代入运算得解. 【小问1详解】 由题意，，将点代入椭圆方程得， 解得，，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 根据题意知直线的斜率不为0，设直线，，， 联立，消去整理得， ，，且， ，令，， ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 所以面积的最大值为，此时直线的方程为或. 【小问3详解】 在轴上存在点使得，理由如下： 因为，所以，即， 整理得，即， 即， 则，又，解得， 所以在轴上存在点使得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $