精品解析：广东惠州市惠阳区第一中学高中部2025-2026学年第一学期高一年级第一次质量检测数学试卷

惠阳一中高中部 2025—2026 学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120 分钟　　 第 I 卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. {5} 【答案】D 【解析】 【详解】因为， 所以， 所以． 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，都有 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在性量词命题的否定可得. 【详解】命题“，使得”的否定形式是：，都有. 故选：D. 3. 下列图形可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数概念一个只能对应一个，逐项判断即可. 【详解】由图象可知C符合，ABD都出现一个对应多个的情况， 所以C对，ABD错误. 故选：C 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件列不等式组求函数定义域. 【详解】要使函数有意义，则且. 所以所求函数的定义域为. 故选：C 5. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可. 【详解】 选项A：若，则.所以选项错误. 选项B：若,满足，但是.所以选项B错误. 选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确 选项D：若,满足，但是,所以选项D错误. 故选：C. 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由奇函数性质可得，再利用计算即可得. 【详解】由是定义在上的奇函数，则，则， 则当时，，则. 故选：D. 7. 2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，列出等式，再利用基本不等式求解判断即可. 【详解】依题意，，而， 因此，当且仅当时取等号， 所以. 故选：B 8. 已知函数 在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分段函数的单调性，列出不等式组求解即可. 【详解】当时， ，其对称轴为， 要使函数在其定义域上单调递减， 需使，解得， 故实数的取值范围为. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. ， C. 命题“，”的否定为假命题 D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用充分条件、必要条件的定义可判断AD选项；利用特殊值法可判断B选项；利用一元二次方程的判别式、存在量词命题的否定可判断C选项. 【详解】对于A选项，解方程可得或， 所以，“”是“”的充分不必要条件，A错； 对于B选项，当时，，B错； 对于C选项，对于方程，，即方程无实解， 故命题“，”为假命题，其否定为真命题，C错； 对于D选项，“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”， 但“三角形为等腰三角形”“三角形为正三角形”， 所以，“三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件，D对. 故选：ABC. 10. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ） A. B. C. 函数的最大值为 D. 不等式的解集为 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据偶函数的定义域和性质先求出的值判断选项A，B，然后利用函数的性质求最值判断选项C，最后根据二次不等式性质分析求解即可判断选项D.. 【详解】选项A，因为函数是偶函数， 所以函数的定义域关于原点对称， 由函数的定义域为， 所以，解得，故A错误； 选项B，当时，， 因为函数是偶函数，所以， 即，解得：，故B正确； 选项C，由A，B选项可得，定义域为， 该二次函数的图象开口向上，且图象关于轴对称， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的最大值为或， 又，所以的最大值为，故C正确； 选项D，令，所以， 即恒成立，所以不等式的解集等价于， 即， 所以不等式的解集为，故D正确. 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确； 对于C：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选：AB 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，则___________ 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用元素与集合的关系，结合集合元素的互异性求解. 【详解】当时，，，与集合元素的互异性矛盾； 当时，，，此时集合为，符合题意； 当时，显然，则，，，此时集合为，符合题意， 所以或. 故答案为：或. 13. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【详解】因为是偶函数，所以不等式，又因为在上单调递减，所以，解得. 考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键. 14. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用高斯函数的定义，结合给定的和列出不等式组求解. 【详解】由，得，又， 则，， 因此，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，从而，，由此能求出实数的取值范围； （2）分和两种情况讨论，进而可求出实数的取值范围． 【小问1详解】 ∵，∴， ∴，， 解得， ∴实数的取值范围是； 【小问2详解】 ∵， ∴当时，则，解得，符合题意； 当时，则或，解得 综上，实数m的取值范围是． 16. （1）已知实数，满足，，求和的取值范围 （2）已知正实数，满足：，求的最小值 【答案】（1），；（2）9 【解析】 【分析】（1）应用不等式的性质计算组合的范围即可; （2）已知等式,应用常值代换法求出和的最小值. 【详解】（1）因为，所以， 所以 所以的取值范围是． 因为，所以， 因为，所以， 所以的取值范围是． （2）因为， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为9. 17. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知的两根为1，3，且，利用韦达定理运算求解即可； （2）分和两种情况，根据恒成立问题结合二次函数列式求解即可. 【小问1详解】 不等式的解集是， 即的两根为1，3，且， 所以，解得. 【小问2详解】 当时，不等式. 若，则不等式即为，不恒成立，不合题意； 若，则由题意可得，解得； 综上所述：的取值范围是. 18. 已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）(i) 判断的单调性（无需证明）； (ii) 若，解不等式． 【答案】（1），； （2）为奇函数，证明如下： 中，令得， 即，故为奇函数； （3）(i) 在R上单调递减；(ii) 【解析】 【分析】（1）赋值法进行求解； （2）令得，得到为奇函数； （3）(i)赋值法，结合时，和函数单调性的定义得答案； (ii) 先得到，变形得到，结合函数单调性得不等式，求出答案. 【小问1详解】 中，令得， 故， 中，令得； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 (i) 在R上单调递减，理由如下： 任取且，， 中，令，则， 故， 又因为时，，所以， 所以，故在R上单调递减； (ii) ，中， 令得， ，即， ，故， 由(i)知，在R上单调递减，所以， 解得，所以原不等式的解集为. 19. 近年来，苏州市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数，冬天将至，为了提升人们的乘车体验感，苏州某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为． （1）求的解析式； （2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 【答案】（1） （2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据题意建立函数模型并计算解析式即可； （2）由函数的单调性及基本不等式分类讨论计算即可. 【小问1详解】 由题意可设（k为常数）， 因为，则， 所以； 【小问2详解】 由，结合（1）可知， 可得， 整理得， ①当时，， 当且仅当时等号成立,取最大值；； ②当时，在上单调递减， 即当时取最大值； 由①②可知，当发车时间间隔为分钟时，用户体验感指数最高，用户体验感最好. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳一中高中部 2025—2026 学年第一学期高一年级 第一次质量检测数学试卷 考试时间：120 分钟　　 第 I 卷（选择题） 一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. {5} 2. 命题“，使得”的否定形式是（ ） A. ，都有 B. ，使得 C. ，使得 D. ，都有 3. 下列图形可以表示函数图象的是（ ） A. B. C. D. 4. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 若a＞b，c＞d，则（ ） A. B. a－c＞b－d C. a－d＞b－c D. ac＞bd 6. 已知是定义在上的奇函数，且当时，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 2023年8月29日，华为在官方网站发布了Mate60系列手机，全系搭载麒麟芯片强势回归，5G技术更是遥遥领先，正所谓“轻舟已过万重山”.发布后的第一周销量约达80万台，第二周的增长率为a，第三周的增长率为b，这两周的平均增长率为x（a，b，x均大于零），则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 在其定义域上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选错得 0 分． 9. 下列命题中，错误的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. ， C. 命题“，”的否定为假命题 D. “三角形为等腰三角形”是“三角形为正三角形”的必要不充分条件 10. 已知函数是偶函数，且其定义域为，则（ ） A. B. C. 函数的最大值为 D. 不等式的解集为 11. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 第 II 卷（非选择题） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 已知，则___________ 13. 已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是__________. 14. 高斯是世界著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美称.函数称为“高斯函数”，它的函数值表示不超过的最大整数，例如，，.若，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，集合． （1）若，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围． 16. （1）已知实数，满足，，求和的取值范围 （2）已知正实数，满足：，求的最小值 17. 已知函数. （1）若不等式的解集是，求，的值； （2）当时，若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围. 18. 已知是定义在R上的函数，且满足，又当时，． （1）求，的值； （2）判断的奇偶性，并证明； （3）(i) 判断的单调性（无需证明）； (ii) 若，解不等式． 19. 近年来，苏州市地铁轨道交通高质量发展，成为中国内地轨道交通新星，便捷的交通为市民出行带来极大便利，刷新了市民幸福指数，冬天将至，为了提升人们的乘车体验感，苏州某地铁线路准备通过调整发车时间间隔优化交通出行，已知地铁的发车时间间隔t（单位：分钟）满足，通过调研，在某一时段，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当时地铁可达到满载状态，载客量为1250人，当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时载客量为610人，记地铁载客量为． （1）求的解析式； （2）经过对该线路的数据分析，得出市民乘车体验感指数Q与发车时间间隔t之间的函数关系，体验感指数越高，乘车体验感就越好，问当发车时间间隔为多少时，市民乘车体验感最好？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $