精品解析：广东省惠州市惠阳区第一中学高中部2024-2025学年高一上学期第二次质量检测数学试卷

惠阳区第一中学高中部 2024-2025 学年高一上学期 第二次质量检测数学试卷 （考试时长：120 分钟　试卷满分：150 分） 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 2. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 4. 若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 5. 若 ，则“”是“”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 f(x)=（其中 且 ），满足对任意 ，都有成立，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 8. 已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，则下列不等式中成立的是（　） A. B. C. D. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数的定义域为__________. 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2） 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ （3）该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 18. 已知函数 ，其中且， （1）求的值，判断的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求不等式的解集． 19. 定义在 D 上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中 称为函数的上界． （1）判断函数 是否是其定义域上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以 4 为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数 在区间 [0,1] 上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠阳区第一中学高中部 2024-2025 学年高一上学期 第二次质量检测数学试卷 （考试时长：120 分钟　试卷满分：150 分） 第一部分（选择题　共 58 分） 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】利用存在量词命题的否定可得出结论. 【详解】命题“，”为存在量词命题，该命题的否定为“，”. 故选：C. 2. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 3. 幂函数在区间上单调递减，则下列说法正确的是（ ） A. B. 或 C. 是奇函数 D. 是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】利用幂函数的定义和单调性可求的值，故可判断AB的正误，再根据奇偶性的定义可判断CD的正误. 【详解】函数为幂函数，则，解得或. 当时，在区间上单调递增，不满足条件，排除A，B； 所以，定义域关于原点对称，且， 所以函数是奇函数，不是偶函数，故C正确，D错误. 故选：C. 4. 若关于的不等式的解集为，则一元二次不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次不等式的解集，结合根与系数关系，求得的关系式，由此化简不等式，求得不等式的解集. 【详解】由于关于的一元二次不等式的解集为， 所以，即， 所以不等式等价于， 即，解得. 故选：A. 5. 若 ，则“”是“”的（　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】当时，，则得，充分性成立； 当时，可得或，进而或，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 6. 若，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，以及指数和对数的函数的单调性，来确定a，b，c的大小关系. 【详解】解：是增函数 ， 是增函数. ， 又 ， . 【点睛】本题考查三个数的大小的求法，考查指数函数和对数函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.根据题意，构造合适的对数函数和指数函数，利用指数对数函数的单调性判定的范围是关键. 7. 已知函数 f(x)=（其中 且 ），满足对任意 ，都有成立，则 的取值范围是（　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，再根据分段函数单调性的定义，列式求解. 【详解】因为满足对任意，都有成立， 所以在上是减函数， ，解得， 所以的取值范围是. 8. 已知函数的定义域为，若满足：①在内是单调函数；②存在区间，使在上的值域为，那么就称函数为“成功函数”．若函数（，且）是“成功函数”，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由新定义，得到函数在其定义域内为增函数，且在上的值域为，转化为方程必有两个不相等的实数根，再结合二次函数的性质，即可求解． 【详解】由题意，函数（，且）是“成功函数”， 可得函数在其定义域内为增函数，且在上的值域为， 则，即，所以方程必有两个不相等的实数根． 又由，即， 令，当时，关于的方程有两个不相等的正实数根，可得，解得； 当时，关于的方程在上有两个不相等的正实数根， 所以，无解； 所以. 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数的定义问题，以及对数函数的图象与性质的综合应用，其中解答中正确理解函数的新定义，结合对数函数的图象与性质，合理转化是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分． 9. 下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性及在上的单调性，逐项判断即得. 【详解】对于A，函数的定义域为，该函数不具奇偶性，A不是； 对于B，函数的定义域为R，，是偶函数，当时，在上单调递减，B是； 对于C，函数的定义域为R，，是偶函数，在上单调递减，C是； 对于D，函数的定义域为，， 是奇函数，D不是. 故选：BC 10. 已知，则下列不等式中成立的是（　） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据不等式的性质判断A，利用作差法判断B，利用不等式性质判断C，利用指数函数的单调性判断D. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，，因为，所以， 但是的正负号不确定，所以与大小不确定，故B错误； 对于C，，因为，所以，，故， 所以，故C正确； 对于D，因为，所以，则， 又在上单调递增，所以，故D错误. 11. 已知定义在R上的函数满足，当时，，，则（ ） A. B. 为奇函数 C. 在R上单调递减 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】A选项，赋值法得到，，；B选项，先赋值得到，令得，故B正确；C选项，令，且，当时，，故，从而在R上单调递增；D选项，先变形得到，又，故，由函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中， 令中，令得， 令得，即，A正确； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 故为奇函数，B正确； C选项，中，令，且， 故，即， 当时，，故， 即，故在R上单调递增，C错误； D选项， 由A知，， 又，故，又在R上单调递增，所以，D正确. 故选：ABD 第二部分（非选择题　共 92 分） 三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分． 12. 函数的定义域为__________. 【答案】 【解析】 【分析】直接列不等式，求出定义域. 【详解】要使函数有意义， 只需解得：且. 所以函数的定义域为. 故答案为： 13. 已知正数，满足，则的最小值为_____________. 【答案】 【解析】 【分析】利用“1”的灵活运用，结合基本不等式即得. 【详解】因为，则 因为，，所以， 则原式，当即时，取等号. 所以的最小值为. 故答案为：. 14. 已知函数，若关于的方程有5个不同的实数根，则的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】方程等价于或所以方程有5个不同的实数根等价于函数与直线和共有5个交点即可. 【详解】当时，；当时，， 作出函数图像如下： 方程或 方程有5个不同的实数根函数与直线和共有5个交点， 因为，所以或，解得或， 所以的取值范围为：. 故答案为：. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 求下列各式的值： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 原式 . 【小问2详解】 原式 . 16. 已知集合，. （1）求，； （2）若集合，且“，”为假命题，求实数m的取值范围. 【答案】（1）或； （2）或 【解析】 【分析】（1）根据补集的定义求出和，再求交集； （2）“”为假命题，则其否定“”为真命题，由此确定的取值范围. 【小问1详解】 对于集合，根据补集定义，或. 对于集合或，. 那么. 【小问2详解】 因为“”为假命题，则其否定“”为真命题，这意味着中的元素都不在中，即. 当时，满足，此时，解得. 当时，即时，要使，则或者. 由，解得. 由，解得，但，所以这种情况无解. 综上所得，实数的取值范围是或. 17. 某小微企业因资金链断裂陷入生产经营困境，该企业有60万元的无息贷款即将到期但无力偿还，当地政府和金融机构为帮助该企业渡过难关，批准其延期还贷，并再为其提供30万元的无息贷款用来帮助其维持生产，该企业盈利途径是生产销售一种产品，已知每生产1万件产品需投入4万元的资料成本费，每年的销售收入（万元）与产品年产量（万件）间的函数关系为，该企业在运营过程中每年还要支付给全体职工共36万元的人力成本费． （1）写出该企业的年利润（万元）关于产品年产量（万件）的函数解析式； （2）当产品年产量为多少万件时，企业获得的年利润最大？最大年利润为多少万元？ （3）该企业在维持生产的条件下，最短用几年时间可以还清所有贷款？ 【答案】（1）； （2）年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元； （3）5年. 【解析】 【分析】（1）按、分类写出年利润（万元）关于年产量（万件）的函数解析式. （2）结合二次函数的性质、基本不等式，按、分类，分别求出函数最大值后即可得解. （3）按照企业最大年利润计算，列出不等式即可得解. 【小问1详解】 当时，年利润； 当时，； 所以. 【小问2详解】 由（1）知，当时，， 所以当万件时，企业获得的利润最大为14万元； 当时，， 当且仅当万件时取等号，企业获得的利润最大为18万元，而， 所以年产量为9万件时，企业获得的年利润最大为18万元. 【小问3详解】 设最短用年后还清所有贷款，依题意，，解得， 所以企业最短用5年还清所有贷款. 18. 已知函数 ，其中且， （1）求的值，判断的奇偶性； （2）判断并证明函数的单调性； （3）求不等式的解集． 【答案】（1），为奇函数 （2）为单调递增函数.证明：任取， ， 由，且分子、分母各因式均为正， 得，故，即， 所以在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】由 先求出 ，再化简函数解析式 并确定定义域；根据 的关系即可判断奇偶性， （2）利用单调性的定义，结合作差比较真数大小即可求解； （3）根据奇函数与单调性脱去，结合函数的定义域即可求解. 【小问1详解】 由， ， 代入得，即， 于是，由得， 由与得的定义域，关于原点对称， 于是，，故为奇函数； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由且，，得， 又为奇函数，故，原不等式化为， 即，由在上单调递增得，即； 综上可得，即原不等式的解集为. 19. 定义在 D 上的函数，如果满足：存在常数，对任意，都有 成立，则称是D上的有界函数，其中 称为函数的上界． （1）判断函数 是否是其定义域上的有界函数并说明理由； （2）已知函数，若函数在上是以 4 为上界的有界函数，求实数的取值范围； （3）若，函数 在区间 [0,1] 上是否存在上界，若存在，求出的取值范围，若不存在请说明理由． 【答案】（1）是，理由如下： 由，故， 因此，得，于是， 从而对定义域内的成立，故是定义域（全体实数）上的有界函数，7是它的一个上界，也是最小上界. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据指数复合函数的单调性求解，即可根据定义求解， （2）利用换元法，结合分离参数，将问题转化为对一切成立，即可根据函数的单调性求解， （3）分离常数，根据函数单调性可得，进而讨论，即可得，；对进行讨论，结合函数单调性即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 令，由得，且， 于是，以为上界即对一切成立， 等价于对一切成立， 由于在上递增，故函数在上递增， 故，故的取值范围为 【小问3详解】 令，由，得，于是关于单调递减，从而，故上界存在， 由于在上的最大值必在端点取得，最小上界为 ，故； 当 时，，故， 当时，，故， 当 时，，此时 ， 故时，，此时，时，，故， 综上可得时，它在单调递减，故最小值为； 当时单调递增，它由 递增而趋于（取不到）， 于是，即的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $