精品解析：广东省惠州市第一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

惠州一中2027届高一12月教学质量检测 数学试卷 （时间120分钟， 满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算出每项中、的对应的值后，检验其是否符合即可得解. 【详解】对A：有，解得，由时，，故，故A错误； 对B：有，解得，由时，，故，故B正确； 对C：有，解得，由时，，故，故C错误； 对D：有，解得，由时，，故，故D错误. 故选：B. 2. 函数的反函数为， 则（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】先求出函数的反函数，再将代入反函数计算. 【详解】因为原函数为，根据反函数的定义，对数函数与指数函数互为反函数， 所以其反函数为，所以. 故选：D. 3. “是锐角”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】若是锐角，则，故充分性成立； 若，不一定得到是锐角， 如，满足，显然不是锐角，故必要性不成立； 所以“是锐角”是“”成立的充分不必要条件. 故选：A 4. 冷水坑皇家学院某同学用二分法求函数. 零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先判断函数的单调性，依题意可得，解得即可. 【详解】函数在定义域上单调递增， 又零点所处的初始区间为，所以， 即，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：B 5. 已知， 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件三角函数的基本关系将弦化切，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以. 故选：A 6. 已知函数 则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对称轴和函数的单调性比较函数值大小.首先求出函数对称轴，再比较、、与对称轴的关系，从而确定函数值的大小关系. 【详解】对于函数，可得对称轴. 又因为函数的图象开口向上，在对称轴右侧函数单调递增. 因为，在上单调递增，，所以. 又，因为，所以，即. 对于，因为在上单调递增，所以，且，即. 根据函数在对称轴右侧单调递增，以及，可得，即. 故选：A. 7. 函数的图象关于（ ） A. 点对称 B. 直线对称 C. 轴对称 D. 直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再根据对数的运算性质计算出，即可判断. 【详解】函数的定义域为， 又， 则， 所以为偶函数，其函数图象关于轴对称. 故选：C 8. 已知实数，满足 ，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由，得到，结合函数为增函数，得到 ，求得，代入即可求解. 【详解】由，可得，则，可得， 因为函数在定义域上为单调递增函数， 又由，所以 ，可得，即 所以. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据三角函数的定义求出，，，再由诱导公式计算可得. 【详解】因为角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点， 所以，，，故A正确； 又，，，故B错误，C、D正确. 故选：ACD 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用基本不等式分析判断，对于B，由于，再结合基本不等式分析判断，对于C，对平方后利用基本不等式分析判断，对于D，利用乘“1”法及基本不等式判断. 【详解】对于A：因为，，且， 所以，当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故A正确； 对于B：由， 当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B正确； 对于C：由，则， 当且仅当时等号成立，所以的最大值为，故C错误； 对于D：由 ， 当且仅当，即，时取等号， 又，所以没有最小值，故D错误. 故选：AB 11. 函数被称为高斯函数，其中[]表示不超过的最大整数，如，已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域是自然数集N B. 函数的值域是 C. 函数有且只有一个零点 D. 函数的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】直接计算，结合指数函数值域即可判断A；分离常数，再根据指数函数及反比例函数的性质即可判断B；令，根据函数的单调性结合零点的存在性定理即可判断C.利用已知化简求值即可；写出函数的表达式，利用换元法以及二次函数的图象和性质求出最小值即可判断D. 【详解】对于A，已知，， 则， 因为，当时，，当时，，当时，， 所以的值域是，即自然数集，A正确， 对于B，， 令，则，函数变为， 因为，所以，则，所以， 当时，；当时，， 所以函数的值域是，B错误， 对于C，，令，函数为增函数， 且，而函数在上为增函数， 所以函数是增函数， 令，因为函数都是增函数， 所以函数是增函数， 又，， 所以函数有唯一零点，且在上， 即方程有且只有一个实根，C正确， 对于D，， 令，则， 当时，函数有最小值，D正确. 故选：ACD. 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是某折扇的示意图，已知为的中点， ，，则此扇面部分（扇环）的面积是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式计算可得. 【详解】因为为的中点， ，， 所以，所以，， 所以此扇面部分（扇环）的面积是. 故答案为： 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的幂函数____________. ①对，都有成立； ②对 当时，都有成立； ③对，都有，且使得 成立. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的幂函数解析式即可； 【详解】①对，都有成立，即是定义在上的偶函数； ②对 当时，都有成立，即在上单调递增， ③对，都有，且使得成立； 不妨令，显然满足①②，且，，即满足③，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 14. 已知函数，若关于的方程 有个不同的实数根，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】画出的图象，令，则先讨论的零点，根据二次函数判别式与韦达定理，结合的图象可得的较小根的范围，进而根据与较小根的关系式结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增且，在上单调递减且， 画出的图象如图， 令，则先讨论的零点. 当，即时，不合题意； 当，即时，易得或， 此时当或时均不满足有6个零点，不合题意； 故，即或，设的两根为， 不妨设，由韦达定理，且. ①当时，与均无零点，不合题意； ②当时： 1. 若，则，此时有4个零点，有2个零点，符合题意； 2. 若，此时有3个零点，则有且仅有3个零点，此时，故； 综上可得或. 又，故， 结合在上为减函数可得在，上为增函数. 故 故答案为：. 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是方程的两个实数根． （1）求的值： （2）若为第二象限角，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可确定m的范围，再结合根与系数的关系以及同角的三角函数关系，即可求得答案； （2）根据角所在象限，确定的正负，平方后结合同角的三角函数关系，化简求值，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意知是方程的两个实数根， 故； 且， 因为，故， 解得，满足， 故； 【小问2详解】 因为为第二象限角，所以，则， 由（1）知， 所以， 则. 16. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 【答案】（1）选择模型③，理由如下： 对于模型①，，图象为直线，故①错误， 由图可知，该函数的增长速度较慢， 对于模型②，指数型的函数是爆炸型增长，故②错误， 对于模型③，对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选择模型③， （2）72万元 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，结合函数所过的点，以及函数的增长速度，即可求解． （2）根据（1）的结论，将对应的点代入，即可求解函数表达式，列不等式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，选择模型③，所求函数过点，， 则，解得，， 故所求函数为， ，即， ， ， 至少应完成销售利润72万元． 17. 已知函数对， 都有且时，. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并给出证明： （3）若，求不等式的解集. 【答案】（1） （2） 在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则， 因为当时，，又，则，所以， 即，即， 所以在上单调递减； （3） 【解析】 【分析】（1）根据所给条件利用赋值法计算可得； （2）根据函数单调性的定义，利用作差法证明即可； （3）首先求出，即可求出，从而将转化为，结合函数的单调性转化为自变量的不等式，解得即可. 【小问1详解】 因为， 都有， 令，可得， 令，可得， 所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，则， 令，可得，所以为奇函数， 令，则， 所以不等式，即， 即， 即， 即，解得， 所以不等式的解集为. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）令 （i） 若函数有4个零点 求证： （ii） 是否存在非零实数m，使得函数在区间 上的取值范围为 若存在，求出m的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1）或 （2）（i）证明：因函数有4个零点， 所以方程有4个不同的解， 于是方程都各有两个不同的解， 即方程各有两个实数根，根据韦达定理知道. （ii）存在，，理由如下： 所以在上单调递减，在上单调递增； ①若函数在上不单调，则有，且，由于，所以，与假设矛盾； ②当时，有，即 所以 所以是一元二次方程的两个不相等的实数根， 记， 有，所以. ③当时，应有，即， 两式相减得到，所以； 两式相加得：，又， 所以， 所以，与矛盾.此时满足条件的实数不存在. 综合以上讨论，满足条件的实数的取值范围是. 【解析】 【分析】（1）首先将函数的表达式代入不等式，然后通过移项、通分等操作将其转化为整式不等式，再求解整式不等式得到解集. （2）（i）由题意得到方程有4个不同的解，即方程，各有两个实数根，根据韦达定理即可得证； （ii）由题意在上单调递减，在上单调递增，对的范围进行讨论，利用根的分布即可求解. 【小问1详解】 将代入，得到. 通分得到， 则. 此不等式等价于. 通过分析零点，，，将数轴分为四个区间：，，，. 当时，，，，则. 当时，，，，则. 当时，，，，则. 当时，，，，则. 不等式的解集为或. 【小问2详解】 （i）略 （ii）略 【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解. 19. 给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. （1）判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. （2）若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； （3）若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 【答案】（1）是，理由为： 由， ， 所以， 故集合是“和合集”. （2） 证明：由题设，令， 则，是关于的方程的两个不同的正实数根， 所以或（舍），即， 又，，若，都不大于2，则，矛盾， 所以，至少有一个大于2. （3） 【解析】 【分析】（1）由“和合集”的定义判断即可； （2）由“和合集”的定义，结合集合的运算，以及一元二次方程的性质进行求解即可； （3）设，得到，分类讨论求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，不妨令，即， 则，，矛盾，所以； 不妨令，则， 所以， 当，即，故，显然无解，不满足； 当，即，只能有，，， 故存在一个“和合集”； 当，， 即， 又， 且， 此时，显然有矛盾， 所以时不存在“和合集”； 综上，. 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠州一中2027届高一12月教学质量检测 数学试卷 （时间120分钟， 满分150分） 注意事项： 1.答题前，考生务必把自己的姓名、考生号等填写在答题卡相应的位置上. 2.做选择题时，必须用2B铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑. 3.非选择题必须使用黑色字迹钢笔或签字笔，将答案写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上指定位置作答，不按要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将答题卡交回. 第一部分 选择题（共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分. 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的反函数为， 则（ ） A. 2 B. 3 C. 8 D. 9 3. “是锐角”是“”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 冷水坑皇家学院某同学用二分法求函数. 零点的近似值时，确定零点所处的初始区间为，那么实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 已知， 则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数 则（ ） A. B. C. D. 7. 函数的图象关于（ ） A. 点对称 B. 直线对称 C. 轴对称 D. 直线对称 8. 已知实数，满足 ，，则（ ） A. B. 3 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，且，则（ ） A. 的最大值为 B. 的最小值为 C. 的最大值为2 D. 的最小值为3 11. 函数被称为高斯函数，其中[]表示不超过的最大整数，如，已知函数，函数，则（ ） A. 函数的值域是自然数集N B. 函数的值域是 C. 函数有且只有一个零点 D. 函数的最小值是 第二部分 非选择题（共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 如图是某折扇的示意图，已知为的中点， ，，则此扇面部分（扇环）的面积是___________. 13. 写出一个同时具有下列性质①②③的幂函数____________. ①对，都有成立； ②对 当时，都有成立； ③对，都有，且使得 成立. 14. 已知函数，若关于的方程 有个不同的实数根，则实数的取值范围是___________ 四、解答题：本题共6小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知是方程的两个实数根． （1）求的值： （2）若为第二象限角，求的值． 16. 为响应“湘商回归，返乡创业”的号召，某企业回永州投资特色农业，为了实现既定销售利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：按销售利润进行奖励，总奖金额（单位：万元）关于销售利润（单位：万元）的函数的图象接近如图所示，现有以下三个函数模型供企业选择：①②③ （1）请你帮助该企业从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； （2）根据你在（1）中选择的函数模型，如果总奖金不少于6万元，则至少应完成销售利润多少万元？ 17. 已知函数对， 都有且时，. （1）求的值； （2）判断函数的单调性，并给出证明： （3）若，求不等式的解集. 18. 已知函数 （1）求不等式的解集； （2）令 （i） 若函数有4个零点 求证： （ii） 是否存在非零实数m，使得函数在区间 上的取值范围为 若存在，求出m的取值范围； 若不存在，请说明理由. 19. 给定正整数，若集合，且满足 ，则称集合为集合的元“和合集”. （1）判断集合 是否为实数集的元“和合集”，并说明理由. （2）若集合为正实数集的元“和合集”，证明：，中至少有一个大于； （3）若集合是自然数集的元“和合集”，求集合. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $