精品解析：福建省福州市部分校2026-2027学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 【答案】B 【解析】 【分析】轴对称图形：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； C中图形是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D中图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：移项得， 配方得， 整理得． 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】二次函数图像的平移法则：左加右减、上加下减． 【详解】解：将抛物线向右平移2个单位长度，得， 再向下平移3个单位长度，得． 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了利用垂径定理和勾股定理求值，连接，连接交于点，由题意得：，米，由垂径定理可得米，由勾股定理得出米，最后由即可得出答案． 【详解】解：如图，连接，连接交于点， 由题意得：，米， ∴（米， （米， （米， 故选：B． 5. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（ ） A. 四边形中最多有一个钝角或直角 B. 四边形中四个角全部是钝角或直角 C. 四边形中至少有一个是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角或直角 【答案】D 【解析】 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设四边形中没有一个角是钝角或直角． 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，然后分别作这两条线段的垂直平分线，交点即为旋转中心． 【详解】解：连接，， 分别作这两条线段的垂直平分线，如图所示： 则交点D即为旋转中心， 故答案选：D． 【点睛】本题考查了旋转图形的性质，解题的关键是旋转中心在对应顶点连线的垂直平分线上． 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由轴，可得，根据和反比例函数图象在第二象限，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴． 8. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】利用根与系数的关系，将所求代数式变形后代入求值. 【详解】解：∵ 一元二次方程的两根为，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 原式. 9. 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（　　）月． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】A 【解析】 【详解】由W=﹣x2+16x﹣48，令W=0，则x2﹣16x+48=0，解得x=12或4， ∴不等式﹣x2+16x﹣48＞0的解为，4＜x＜12， ∴该景点一年中处于关闭状态有5个月． 故选A． 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】A 【解析】 【分析】先根据抛物线开口方向、对称轴、抛物线与轴交点判断a，b，c的符号，再利用对应的函数值判断的正负，结合对称轴得到与的等量关系，代入不等式推导、的大小关系，最后利用二次函数顶点最小值的性质判断第四个结论． 【详解】解：抛物线开口向上， ， 抛物线的对称轴为直线， ，即， 抛物线与轴交于负半轴， ， 即，两负一正， ， 故①正确． 由图象可知，当时，， ， 故②正确． ，且， ， ， 即，故③正确． 当时，二次函数取最小值， 对于任意实数，都有， ， 故④正确． 综上，正确结论的个数有4个． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的解，则b的值为_____． 【答案】 1 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程和它的解．将 代入方程 ，得到关于 的方程，求解即可． 【详解】解：当 时，代入方程得 ， 即 ， 解得 ． 故答案为： ． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的两点的横纵坐标都互为相反数，据此求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为， 故答案为：． 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 【答案】 【解析】 【分析】扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，利用该等量关系列方程即可求解． 【详解】解：设这个圆锥的底面圆的半径为， ∵用扇形作圆锥侧面时，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长， ∴代入圆心角，扇形半径， 得方程， 解得， ∴这个圆锥的底面圆的半径为． 14. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大． 根据反比例函数的性质得到反比例函数图象分布在第一、三象限，然后利用得到，． 【详解】解：∵ ， 反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每一象限内，随的增大而减小 ， ，， ， 故答案为：． 15. 如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则________． 【答案】122 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理，熟练掌握相关知识是解题的关键．由为直径可知，进而可得，再利用圆内接四边形对角互补即可得解． 【详解】解：是直径， ， ， ， ∵四边形是圆内接四边形， ． 故答案为：122． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】求出点B的坐标，根据菱形的性质得到，即轴，，则可证明点B与点C关于对称轴对称，求出对称轴，则可求出点C的坐标，进而可求出的长，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴，即轴，， ∵抛物线经过点B，C， ∴点B与点C关于对称轴对称， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的坐标为． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解一元二次方程． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，方程二次项系数化为1，常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，开方即可求出解． 【详解】解：， 方程变形得：， 配方得：，即， 开方得，， 解得：，． 18. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮每人分享给相同数量的人，则每轮平均每人分享给多少人？ 【答案】每轮平均每人分享给14人． 【解析】 【分析】设每轮平均每人分享的人数为未知数，根据两轮后总掌握人数的等量关系列方程求解． 【详解】解：设每轮平均每人分享的人数为． 初始有1人掌握技巧． 第一轮后，新增人掌握，总人数为． 第二轮中，每个已掌握的人分享给人，新增人掌握，总人数为． 由题意得． 解得，． ∵ 分享人数为正整数， ∴ 不符合实际，舍去． 答：每轮平均每人分享给14人． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为倒数时，求函数的顶点坐标． 【答案】（1） 证明：方程， ， 方程总有两个实数根． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的顶点坐标，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，准确计算是解题的关键． （1）通过计算判别式并证明其非负来证明方程总有两个实数根； （2）利用根与系数的关系，由两根互为倒数得出参数的值，再代入函数求顶点坐标。 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设方程的两个根为和， ， 两根互为倒数， ， ， 代入函数得：， 顶点横坐标为， 纵坐标为， 顶点坐标为． 20. 矩形中，，把绕点逆时针旋转使得点落在上，点对称点为点，点对称点为点，与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：点、、在同一直线上． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质； （1）利用矩形的性质得，，再根据旋转的性质得，，，则，于是根据等腰三角形的判定得，所以； （2）证明，则，所以，于是可判断点、、在同一直线上． 【小问1详解】 证明：∵矩形中，， ∴，， ∵把绕点逆时针旋转使得点落在上，点对称点为点，点对称点为点， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴点、、在同一直线上． 21. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． （1）求的度数； （2）若圆的半径为6，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）连接，利用半径相等和等腰三角形的性质求得，从而利用三角形的外角的性质求解； （2）过点作于点，根据垂径定理得，再根据含30度角的直角三角形的性质得到，然后由勾股定理求出，最后根据线段的和差即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， ∴， ∵，圆的半径为6，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接， （1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）求的长． 【答案】（1）见图 （2） 【解析】 【分析】（1）旋转图形，先确定旋转中心，旋转方向，后确定旋转角度。根据题意旋转中心点 ,顺时针旋转60°。将三角形各顶点与旋转中心点连接后，各连接线进行顺时针旋转60°，即顺时针旋转60°，得到旋转后的对应点,连接各对应点，便得到旋转后的. （2）将绕点顺时针旋转 可以得到 是等边三角形，由此得，即平分，将延长交 于，则是等边 的角平分线，利用“三线合一”也即垂直平分 ，后通过勾股定理便可解得 . 【详解】解（1） （2） ∵图形旋转后，对应各边相等，绕顺时针旋转，可得 ∴ 是等边三角形 又∵在 和 中 ∴，即平分 延长交 于 因为中，，所以 ∵ 是等边三角形， 平分 ∴根据等腰三角形“三线合一”得垂直平分 所以 由于 ，又是等腰直角三角形，垂直平分，则 所以 故答案为： . 【点睛】本题旨在考查图形旋转的应用，图形旋转的性质以及等腰三角形“三线合一”，直角三角形勾股定理的运用是解题的关键. 23. 综合与实践 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴， ，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 （1）填空：的长度为_____，该抛物线顶点坐标为_____． 任务二 （2）求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯 （3）将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） （4）将水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出该水杯底面圆的圆心到原点的距离的最大整数值为_____． 【答案】（1）； （2） （3）解：水流能流到圆柱形水杯内，理由如下： 在中，当时，， 解得或（舍去）， ∵水杯的底面半径为，且， ∴水流能流到圆柱形水杯内； （4） 【解析】 【分析】（1）根据圆柱的高和，点到圆柱顶端的距离可求出的长，进而求出点B的坐标即可得到答案； （2）把解析式设为顶点式，利用待定系数法求解即可； （3）把代入抛物线的解析式中求出x的值即可得到结论； （4）要满足水流的高度为时，水流的横坐标大于杯底左侧的横坐标，且要小于杯底右侧的横坐标，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为， ∴的长度为； ∵轴，， ∴，即抛物线的顶点坐标为； 【小问2详解】 解：设水流所在抛物线的函数解析式为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴水流所在抛物线的函数解析式为； 【小问3详解】 略 【小问4详解】 解：设该水杯底面圆的圆心到原点的距离为， ∵要使水流能流到圆柱形水杯内， ∴要满足水流的高度为时，水流的横坐标大于杯底左侧的横坐标，且要小于杯底右侧的横坐标， ∴由（3）可得， ∴， ∴r的最大整数值为， ∴该水杯底面圆的圆心到原点的距离的最大整数值为． 24. 抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求点的坐标； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求的坐标； （3）若直线与抛物线交于，两点（，都不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值． 【答案】（1） （2） （3）证明：该抛物线的解析式为， ∵直线与抛物线交于两点， ∴可设， 设直线的解析式为， 将，代入， ， 得，， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将，代入， ， 得，， 直线的解析式为 ∴， ∴． 令， 整理得， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）将代入函数解析式进行求解即可； （2）先求出，，连接，设，利用即可表示出的面积，利用二次函数的性质求其最值即可； （3）将抛物线的解析式配为，设，，根据可得直线的解析式为：，直线的解析式为：，从而可得，可得，再联立和抛物线的方程消去得到关于的方程，利用韦达定理即可求解． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 【小问2详解】 解：令，得， 解得， ∴，， 如图，连接，设， ， ， ， ∴当时，面积最大， 时，， ∴； 【小问3详解】 略 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 【答案】（1） （2） 证明：如图2，连接，设， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵过点作，交的延长线于点， ∴，即是的垂直平分线， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴． （3）5 【解析】 【分析】本题主要考查了圆周角定理、垂径定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）由等边对等角以及三角形内角和定理可得，，再根据圆周角定理可得，然后再根据三角形外角的性质求解即可； （2）如图2，连接，设，由等边对等角以及圆周角定理可得、，即；再证明，然后利用等腰三角形三线合一的性质可得，再根据垂径定理以及等腰三角形的性质可得，即，最后证明并利用全等三角形的性质即可证明结论； （3）如图：连接，由（2）可得：，，即；由角平分线的定义可得，由圆周角定理可得，利用角的和差可得，则是等腰直角三角形，即；再结合已知条件可得，如图：连接，设，则半径，最后在运用勾股定理列方程求得a的值，进而求得圆的半径． 【小问1详解】 解：如图1∵，， ∴， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图：连接， 由（2）可得：，， ∴， ∵作的平分线交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 如图：连接，设，则半径， 在中，， ∴，解得：或（不合题意舍去）， ∴的半径为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 （满分：150分；考试时间：120分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 杨辉三角 B. 割圆术示意图 C. 赵爽弦图 D. 洛书 2. 用配方法解方程，配方后所得的方程是（ ） A. B. C. D. 3. 在平面直角坐标系中，将抛物线向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 4. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具．如图，筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，已知圆心在水面上方，且圆被水面截得的弦长为6米，半径长为4米．若点为运行轨道的最低点，则点到的距离等于（ ） A. 1米 B. 米 C. 2米 D. 米 5. 用反证法证明命题“四边形中至少有一个角是钝角或直角”是真命题时，第一步应假设（ ） A. 四边形中最多有一个钝角或直角 B. 四边形中四个角全部是钝角或直角 C. 四边形中至少有一个是锐角 D. 四边形中没有一个角是钝角或直角 6. 如图，在正方形网格中，将绕某一点旋转某一角度得到，则旋转中心是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7. 反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则的值为（ ） A. 10 B. C. D. 8. 若一元二次方程的两根为，，则的值为（ ） A. 5 B. 3 C. 2 D. 0 9. 某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候出现赔本的经营状况．因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭．经跟踪测算，该景点一年中的利润W（万元）与月份x之间满足二次函数W=﹣x2+16x﹣48，则该景点一年中处于关闭状态有（　　）月． A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 二次函数的图象如图所示，有如下结论：①；②；③；④（为实数）．其中正确结论的个数是（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 已知是方程的解，则b的值为_____． 12. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为________． 13. 用一个圆心角为，半径为的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为______． 14. 在反比例函数的图象上有三个点，，，则，，的大小关系为________．（用“<”连接） 15. 如图，是半圆O的直径，，点C是上一点不与B，D重合，则________． 16. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴正半轴上，顶点D在x轴负半轴上，若抛物线经过点B，C，则点A的坐标为______． 三、解答题（本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解一元二次方程． 18. 在一场技术研讨会上，一名专家掌握了模型优化技巧并开始分享．经过两轮分享后，共225人掌握此技巧．若每轮每人分享给相同数量的人，则每轮平均每人分享给多少人？ 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程的两个根互为倒数时，求函数的顶点坐标． 20. 矩形中，，把绕点逆时针旋转使得点落在上，点对称点为点，点对称点为点，与交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：点、、在同一直线上． 21. 如图，是的直径，C是延长线上一点，点D在上，且，的延长线交于点E，． （1）求的度数； （2）若圆的半径为6，求的长． 22. 如图，已知中，，，将绕点A顺时针方向旋转60°到，点B，C的对应点分别为点，，连接， （1）依题意，尺规作图补全图形；（保留作图痕迹，不写作法与证明） （2）求的长． 23. 综合与实践 探索目的 制作简易水流装置 信息1 如图，是进水通道，是出水通道，是圆柱形容器的底面直径，从将圆柱形容器注满水，内部安装调节器，使水流从处流出且呈抛物线形．以点为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，水流最终落到轴上的点处． 信息2 圆柱的高为，点到圆柱顶端的距离为，轴， ，，为水流所在抛物线的顶点，点，，，，均在同一平面内． 问题解决 任务一 （1）填空：的长度为_____，该抛物线顶点坐标为_____． 任务二 （2）求水流所在抛物线的函数解析式． 任务三现有一个底面半径为，高为的圆柱形水杯 （3）将该水杯底面圆的圆心恰好放在点处，水流是否能流到圆柱形水杯内？请通过计算说明理由．（圆柱形水杯的厚度忽略不计） （4）将水杯的底面圆的圆心在轴上运动，为了使水流能流到圆柱形水杯内，直接写出该水杯底面圆的圆心到原点的距离的最大整数值为_____． 24. 抛物线交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点． （1）求点的坐标； （2）点是第一象限内抛物线上的动点，当面积最大时，求的坐标； （3）若直线与抛物线交于，两点（，都不与，重合），直线，分别与轴交于点，，设，两点的纵坐标分别为，，求证：为定值． 25. 如图，内接于，连接并延长交于点，． （1）如图1，设，连接，求（用含的代数式表示）； （2）如图2，过点作，交的延长线于点，交于点，连接．求证：； （3）如图3，在（2）的条件下，作的平分线交于点，若，，求的半径． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $