精品解析：湖北省黄冈市部分高中2026届高三上学期期中考试数学试卷

2025年秋季黄冈市部分高中高三年级期中考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 7. 已知随机变量，，且，若，则（ ） A. 0.09 B. 0.82 C. 0.91 D. 0.21 8. 设向量，满足，对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 在工程技术中，常用到双曲正弦函数（）和双曲余弦函数（），它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记，，下面关于这两支函数的说法正确的有（ ） A. ，在定义域上均为增函数 B. C. D. 与均为偶函数 10. 下列命题中真命题有（ ） A. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则. B. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数为偶数”，则事件和是相互独立事件. C. 若函数的图象关于对称，，则是的必要不充分条件. D. 对一组数据进行回归分析，利用最小二乘法得到的回归直线至少要经过其中的一个数据点. 11. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为_____. 13. 函数在上的单调递减区间为_____. 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. （2）由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 16. 在中，角满足，且的外接圆的周长为. （1）求角； （2）若为边上的高，且，求的面积. 17. 已知为正项数列的前项和，且满足，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 18. 某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性. （1）从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少? （2）如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算. 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年秋季黄冈市部分高中高三年级期中考试 数学 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将答题卡上交. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义进行求解即可. 【详解】因为集合， 所以. 故选：C. 2. 复数的共轭复数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算和共轭复数的概念即可得到答案. 【详解】， 则其共轭复数为. 故选：B. 3. 已知，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最大值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号， 所以的最大值为. 故选：D 4. 已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ ） A. 9 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列前项和性质即可得到答案. 【详解】由等差数列前项和性质知，解得. 故选：D. 5. 已知，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，再利用两角差的余弦公式即可得到答案. 【详解】因为，，则， 则. 故选：B. 6. 从中任取2个数字，从中任取2个数字，一共可以组成没有重复数字四位数有（ ） A. 216个 B. 162个 C. 108个 D. 180个 【答案】D 【解析】 【分析】对首位数字分类讨论并结合组合数的性质求解即可. 【详解】当选的数字包括时，共有种数字组合， 而不能放在首位，则每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 当选的数字不包括时，共有种数字组合， 此时每个组合的情况数为个， 可得总情况数共有个， 即一共可以组成没有重复数字四位数有个，故D正确. 故选：D 7. 已知随机变量，，且，若，则（ ） A. 0.09 B. 0.82 C. 0.91 D. 0.21 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项分布的性质求出，再结合正态分布的对称性求解即可. 【详解】由题意得，则， 因为，所以， 即，解得， 由题意得， 由对称性可得， 则，故B正确. 故选：B 8. 设向量，满足，对任意，恒成立，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】对两边同平方化简得，再利用判别式法即可得到，最后展开计算，利用二次函数性质即可求出最小值. 【详解】设，， ，两边同平方得， 化简得， 上式对任意恒成立，， 即，则， 则 ， ，则的最小值为2. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 9. 在工程技术中，常用到双曲正弦函数（）和双曲余弦函数（），它们的很多性质与正弦函数和余弦函数类似.记，，下面关于这两支函数的说法正确的有（ ） A. ，在定义域上均为增函数 B. C. D. 与均为偶函数 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用导数得到在定义域上不是增函数判断A，结合题意与指数运算判断B，C，利用函数奇偶性的定义判断D即可. 【详解】由题意得，， 对于A，可得，且， 令，则， 得到在上单调递增，即当时，， 可得在定义域上不是增函数， 则，在定义域上不可能均为增函数，故A错误， 对于B，由题意得， ， 可得，故B正确， 对于C，由题意得， ， 可得，故C正确， 对于D，因为，所以是奇函数， 因为，所以是偶函数， 则，可得是偶函数， 则， 可得是偶函数，故D正确. 故选：BCD 10. 下列命题中真命题有（ ） A. 在二项式的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则. B. 先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，事件“两次掷出的点数相同”，事件“第一次掷出的点数为偶数”，则事件和是相互独立事件. C. 若函数的图象关于对称，，则是的必要不充分条件. D. 对一组数据进行回归分析，利用最小二乘法得到的回归直线至少要经过其中的一个数据点. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用二项式系数性质可判断A正确，根据独立事件的定义验证是否满足即可得B正确，由正切函数图象性质可判断C正确，根据回归直线特征可知D错误. 【详解】对于A，易知第5项的二项式系数为，因此只有第5项最大时，可得，即A正确； 对于B，先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子共有36种情况， 因此可知， 又，满足，所以事件和是相互独立事件，即B正确； 对于C，由“函数的图象关于对称”可得， 而可得，所以是的必要不充分条件，即C正确； 对于D，根据回归直线特征可知直线可以不经过任意一个数据点，因此D错误. 故选：ABC 11. 已知的内角的对边分别为，，且，则下列选项中正确的有（ ） A. B. 面积的最大值为 C. 的最大值为 D. 角的平分线交于点，则的最大值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】结合题意并利用两角和的正切公式判断A，利用余弦定理结合重要不等式判断B，利用余弦定理结合基本不等式判断C，作出符合题意的图形，结合题意并利用换元法得到，最后利用导数并结合求解最大值即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 则， 可得，得到， 由两角和的正切公式得，即， 由诱导公式得，解得， 因为，所以，故A错误， 对于B，由余弦定理得， 而，可得，由重要不等式得， 当且仅当时取等，则，解得， 由三角形面积公式得， 得到面积的最大值为，故B正确， 对于C，由已知得， 由基本不等式得，当且仅当时取等， 得到，则， 可得，解得，故C正确， 对于D，如图，作出符合题意的图形，设， 因为是的角平分线，所以， 由等面积公式得， 化简得，即， 由已知得，即， 可得， 令，则，而， 则在上单调递增，得到， 即的最大值为，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量、不共线，若向量与向量平行，则实数的值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量平行的性质建立方程组，求解参数即可. 【详解】若向量与向量平行，则， 即，又因为向量、不共线，所以，解得. 故答案为： 13. 函数在上的单调递减区间为_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用积化和差公式并结合整体代入法求解单调递减区间即可. 【详解】由积化和差公式得 ， 令，解得， 当时，，则在上的单调递减区间为. 故答案为： 14. 对于任意，不等式恒成立，则正数的取值范围是_____. 【答案】 【解析】 【分析】对原不等式合理变形，结合同构思想得到，再构造函数并利用导数判断其单调性，得到，最后利用分离参数法求解参数范围即可. 【详解】因为不等式恒成立，， 所以恒成立，则恒成立， 即恒成立，令，可得恒成立， 而，令，，令，， 得到在上单调递增，在上单调递减， 而，，则， 当时，满足，符合题意， 当时，可得恒成立， 则恒成立，令，而， 当时，，则在上单调递增， 可得，得到，故. 综上，正数的取值范围是, 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 某公司销售的3D卡通纪念章很受欢迎，国庆长假第一天每件售价为20元，卖出了100百件.为了缓解进货压力，同时保证销售额不下降，决定从第二天起开始涨价.根据往年的市场调研得出的规律，该种商品涨价会导致销量下降，具体数据如下： 每件涨价元 1 2 3 4 5 销量下降百件 1 2 8 14 15 （1）由统计表看出，可用线性回归模型拟合与的关系，试建立与的回归方程. （2）由（1）中的回归方程预测，当售价为多少元时，该款商品的日销售额最大，最大销售额是多少百元? 参考公式：对于一组具有线性相关关系的数据，其经验回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，. 【答案】（1）； （2）售价为23元时，日销售额最大，为2116百元． 【解析】 【分析】（1）计算出，，再代入线性回归方程公式即可； （2）设涨价元，再写出，最后利用二次函数性质即可求出最值. 【小问1详解】 ，， ， ， 则. 【小问2详解】 设涨价元时，每日的销售额为百元， 则 ，则当时，销售额最大为2116百元， 此时售价为23元，日销售额最大，为2116百元． 16. 在中，角满足，且的外接圆的周长为. （1）求角； （2）若为边上的高，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换化简计算可得； （2）利用平面向量共线定理可知，再利用勾股定理以及余弦定理计算求出高，即可求出的面积. 【小问1详解】 易知在中，所以, 因此由可得， 整理可得，又，可知， 所以， 因为，可得. 【小问2详解】 由为边上的高可知三点共线，设， 因此可得， 所以，即, 记角所对的边分别为， 又的外接圆的周长为，所以外接圆的半径为，， 因此，，如下图所示： 设，由勾股定理计算可知， 在中由余弦定理可得， 整理可得，即，解得， 所以. 17. 已知为正项数列的前项和，且满足，数列满足，且. （1）求的通项公式； （2）设为数列的前项和，证明：. 【答案】（1） （2） 设，则， 而，可得，即， 由题意的，则， 则是以为首项，以为公比的等比数列， 可得，得到， 而， 由指数函数性质得在上单调递增， 得到，则， 即，故， 则， 而，可得，即，故得证. 【解析】 【分析】（1）利用前项和与通项公式的关系并结合等差数列的定义求解即可. （2）构造等比数列求解，再利用放缩法结合等比数列的求和公式证明即可. 【小问1详解】 当时，可得，解得， 当时，，则， 可得，两式相减得， 化简得，而， 则，即， 得到是以为首项，以为公差的等差数列， 故. 【小问2详解】 略 18. 某学校心理咨询老师为了对一份心理健康测试卷进行评估，安排了一个实验组参与测试，实验组由已经确诊为心理异常的青少年患者和心理健康的青少年组成，其中心理异常者占10%.测试结果显示，确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性；另一方面，心理健康的测试者中有10%的测试卷诊断也呈阳性. （1）从测试卷中随机抽取一份，在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是多少? （2）如果参与本次测试的实验组总人数为100人，那么其中确诊为心理异常者的测试卷中有若干份被误诊为阴性，在此称之为漏诊卷.专家们要对这几份漏诊卷作进一步的分析.现在采取不放回的方式从这10份确诊为心理异常者的测试卷中每次随机抽取一份，直到把所有漏诊卷找出来.若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，写出的分布列并计算. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率以及全概率公式直接代入计算可得结果； （2）计算出样本中漏诊卷为2份，并根据剩余试卷中的漏诊份数写出的所有可能取值，求出对应概率即可得出分布列和期望值. 【小问1详解】 依题意记“确诊为心理异常”为事件，则“确诊为心理健康”为； “测试卷诊断结果为阳性”为事件，“测试卷诊断结果为阴性”为事件， 易知； 所以，可得； 在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率是； 所以， 因此在该测试卷诊断结果为阴性的条件下，测试者为心理异常的概率为； 【小问2详解】 由实验组总人数为100人，心理异常者占10%可得心理异常者共10人， 又确诊心理异常的测试者中有80%的测试卷诊断呈阳性，所以诊断卷为阳性的共8人，阴性的2人，即漏诊卷为2份， 若已经抽取的5份测试卷均不是漏诊卷，则剩下的5份测试卷中还有2份漏诊卷， 设还需要抽取份才可以找出所有漏诊卷，则的所有可能取值为2,3,4； 可得； ； ； 则的分布列为 所以 19. 已知函数，函数， （1）求的单调区间； （2）若曲线在处的切线方程为，证明：恒成立； （3）若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）证明：由题意得， 则， 令， 化简得， 则，令，，令，， 可得在上单调递减，在上单调递增， 得到， 即成立，可得， 故得证. （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数求解单调区间即可. （2）结合导数的几何意义求出切线方程，再构造函数并利用导数证明不等式即可. （3）构造函数，求出导函数，对再一次求导后，还要第三次求导，然后由时的导数值的正负分类讨论求解即可． 【小问1详解】 由题意得的定义域为， 因为，所以， 令，，令，， 则在上单调递减，在上单调递增， 综上，的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 则在上恒成立， 令，且满足题意， 而，令， 则，令， 则， 则在上是增函数，即在上单调递增， 得到，当时，， 此时在上单调递增，即在上单调递增， 则，可得在上单调递增， 得到恒成立，原不等式恒成立， 当时，则，又， 得到， 则由零点存在性定理得，存在，使得， 当时，，此时在上单调递减， 即在上单调递减， 当时，，此时在上单调递增， 即在上单调递增，而， 则当时，，此时在上单调递减， 可得，不合题意， 综上，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $