江苏苏州市2026-2027学年高二上学期期中阳光调研数学试题

高二年级期中阳光调研试卷 数学 2026.11 注意事项 学生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本卷共4页，包含单项选择题（第1题～第8题）、多项选择题（第9题～第11题）、填空题（第12题～第14题）、解答题（第15题～第19题）．本卷满分150分，答题时间为120分钟．答题结束后，请将答题卡交回． 2．答题前，请您务必将自己的姓名、调研序列号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卡的规定位置． 3．请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效．作答必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔．请注意字体工整，笔迹清楚． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在平面直角坐标系中，直线的倾斜角等于 A． B． C． D． 2．已知等比数列满足，，则的值为 A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，已知线段一个端点的坐标是，另一个端点在圆上运动，则线段中点的轨迹方程是 A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，若直线先沿轴向左平移3个单位长度，再沿轴向上平移1个单位长度，最终回到了原来的位置，则的斜率为 A． B． C． D．3 5．预测人口变化趋势常使用“直接推算法”，其公式是（其中），其中为预测期人口数，为初期人口数，为预测期内人口年增长率，为预测期间隔年数．如果在某一时期，那么在这期间人口数 A．呈上升趋势 B．呈下降趋势 C．摆动变化 D．不变 6．关于x的方程有两个不等的实数根，则实数m的取值范围是 A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，已知圆（其中）上恰有两个点到直线：的距离同时等于1，则实数的取值范围是 A． B． C． D． 8．在平面直角坐标系中，已知两点，，曲线上的点始终满足．过点且斜率为的直线与曲线交于，两点（其中点在轴的上方），若，则的最小值等于 A．5 B．6 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线的方程是，则 A．当时，曲线经过坐标原点 B．当曲线经过坐标原点时，直线：与曲线相切 C．当曲线表示圆时， D．当曲线表示圆时，直线（）始终平分圆的周长 10．已知四条不同的直线（其中，，，），，，，并且，，则 A．其中有一条直线的方程可以是 B．其中必存在两条直线互相垂直 C．记四条直线围成的封闭区域为，点，则点到定点的最小距离为5 D．若四条直线围成的封闭区域能被一张圆形纸片覆盖，则该圆形纸片的面积不小于 11．已知数列各项均不为0，前项和为，（），，则 A．当时， B．当时，的前项和的最小值为 C．，，，使得，，成等比数列 D．， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．在平面直角坐标系中，两条直线，之间的距离等于 ▲ ． 13．在平面直角坐标系中，已知圆A：，圆B：，请写出一个圆心在x轴上并且与圆A，B都相切的圆C的标准方程 ▲ ． 14．正方形的边长为5，作该正方形的内切圆，记为圆O1，然后再作的内接正方形的内切圆，记为圆，然后再作圆的内接正方形的内切圆，记为圆，依此方法一直继续下去．所有这些内切圆的面积之和小于常数M，那么M的最小值等于 ▲ ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在平面直角坐标系中，已知，，，． （1）求直线的方程； （2）若点C在第一象限，并且，求的外接圆的标准方程． 16．（15分） 已知等差数列的首项为1，．数列的前n项和为，满足，，成等差数列． （1）求数列和的通项公式； （2）记，求数列的前n项和． 17．（15分） 在平面直角坐标系中，圆O：内有一定点，为过P且倾斜角为的弦． （1）当时，求的长； （2）是否存在弦被点P三等分？若存在，写出直线的方程；若不存在，请说明理由． 18．（17分） 某植物园内有一块圆形区域（记圆心为），可供种植花草和修建休闲小广场．经过测量发现，该圆的内接四边形满足，，，．为了研究方便，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系，如图所示． （1）求点的坐标； （2）求圆的方程； （3）因地理条件的限制，点，，是固定的，而边界，可以调整（调整后记为，），使得种植花草区域的面积有所增加．请在上找出一点，使得改造后的种植区域（四边形）的面积最大，并求出该最大值． 19．（17分） 在平面直角坐标系中，过点并且斜率为（）的直线分别与轴、轴交于点、． （1）若，求的值； （2）记的面积为，求满足不等式的的最小值； （3）证明：． 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级期中阳光调研试卷 数学参考答案与评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A B B C A B 二、选择题 题号 9 10 11 答案 ABD AB ACD 三、填空题 12． 13．或（填写1个方程即可） 14． 四、解答题 15．解：（1）直线的斜率等于2，所以直线的斜率等于， 2分 所以直线的方程为，即，即． 5分 （2）记点的坐标为，， 解得或．当时，点的坐标为，满足题意；当时，点的坐标为，不满足题意，舍去． 8分 直角中，斜边的中点为，斜边长等于5，半径等于， 10分 所以外接圆的标准方程为． 13分 16．解：（1）记等差数列的公差为，由得，解得， 所以． 3分 因为2，，成等差数列，所以，所以，得到． 4分 同时还有（），所以，即（）． 因为，所以，（），数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． 7分 （2），， 所以， 10分 所以． 所以． 15分 17．解：（1）当时，直线的斜率等于，方程为， 圆心到直线的距离， 3分 所以弦长． 6分 （2）假设存在弦被点三等分，不妨记点是靠近点处的三等分点．取弦的中点为M，记，，则，于是． 由垂径定理得和都是直角三角形，有 解得，即圆心到直线的距离等于1． 9分 （ⅰ）当直线不存在斜率时，方程为，满足题意； 12分 （ⅱ）当直线存在斜率时，记斜率为k，方程为，即， 圆心O到直线的距离，解得，方程为． 综合上述，满足条件的直线的方程为或． 15分 18．解：（1）由题意得，，．记点在轴上的投影为，则 ，， 所以点的坐标为． 3分 （2）圆心Q在y轴上，设坐标为，由，有 ，解得，即圆心， 5分 ，所以圆的方程为． 8分 （3）连接，，直线的斜率等于，方程是，即，圆心到直线的距离，所以的最大面积等于． 11分 此时，，直线的方程是，代入圆方程可以得到点． 12分 由点坐标满足圆的方程，再满足，可以解得点的坐标为， 14分 点到直线的距离等于，所以的面积等于． 16分 改造后的新区域（四边形）的面积最大为． 17分 19：解：（1）直线的方程为， 令，有，即， 2分 当时，，． 3分 （2）在直线的方程中，令，有． 即，显然． 4分 在直角中，． ．6分 ，所以． 又因为， ，满足的最小的值为6． 8分 （3）（ⅰ），， 9分 当时，，不等式成立； 10分 （ⅱ）当时，， 所以， 13分 所以 ． 综合（ⅰ）、（ⅱ）有． 17分 学科网（北京）股份有限公司 $