精品解析：江苏苏州工业园区星海实验高级中学2026-2027学年第一学期期中考试高二数学试卷

星海实验中学2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 3. 下列椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 5. 若点是椭圆：的某条弦的中点，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 6. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. ，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（     ） A. 的公差为 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中最小项为 11. 已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C. 若，则的面积为 D. 当，时，坐标原点为，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则________． 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 14. 过圆 上一点 作圆 的一条切线 ，离心率为 的椭圆 ， 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点， 为 的中点，且点 不在 轴上，则直线 的斜率为 ________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 已知直线，． （1）证明：无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． （2）设直线l和圆C交于A，B两点，求线段AB最短时直线l的方程． 17. 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 19. 已知点A在圆上运动，过点A作x轴的垂线，垂足为B，点D满足条件. （1）求点D的轨迹C的方程； （2）在点D的轨迹C上存在两点E、F，使得以为直径的圆恰与C交于点（异于点），过点G作直线的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，当点E在点F左侧时，若是C上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，与该圆相切？若存在，求；不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 星海实验中学2026-2027学年第一学期期中考试 高二数学 本试卷共19题，满分150分，考试时间120分钟.所有答案均写在答题纸上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】直线的斜率为，设该直线的倾斜角为，则， 而.故. 2. 已知是等差数列的前n项和，若，则，求为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【详解】对于等差数列（），其前项和满足公式，因此. 根据等差数列下标和性质：若且，则，因此. 将、代入前项和表达式：， 代入化简： ，解得. 3. 下列椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用椭圆离心率公式逐项求解，然后利用离心率的性质分析即可. 【详解】对于A，， 所以椭圆离心率为， 对于B，， 所以椭圆离心率为， 对于C，， 所以椭圆离心率为， 对于D，， 所以椭圆离心率为， 因为，所以D选项中椭圆离心率最小， 由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆，故D正确. 4. 已知数列满足：，，记数列的前n项积为，则（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，，所以， 故是周期为3的周期数列，且， 所以. 5. 若点是椭圆：的某条弦的中点，则实数的值可以是（ ） A. 4 B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，转化为点在椭圆的内部，列出不等式，求得的取值范围，结合选项，即可求解. 【详解】由点是椭圆：的某条弦的中点， 可得点在椭圆的内部，所以，即 解得或，所以选项A正确. 6. 已知直线与相交于点，则点到直线的距离的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得点的轨迹是以为直径的圆，求得圆的方程，进而求得圆心到直线的距离，进而可求点到直线的距离的最大值. 【详解】由题知直线过定点，直线过定点， 又因为，所以，所以点的轨迹是以为直径的圆. 又的中点坐标为，半径， 所以圆的方程为. 因为圆心到直线的距离为， 所以点到直线距离的最大值为. 故选：C. 7. 已知等差数列、的前n项和分别为、，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题知，设， 则，， 故． 8. 已知数列的前n项和（p，q，），若，且对任意的，都有，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】令，可得，分析可知数列是以首项，公差的等差数列，进而可得，结合等差数列性质运算求解. 【详解】令， 则， 因为，即，则， 可得，可知数列是以首项，公差的等差数列， 又因为，则，即， 可得，解得， 则， 所以的取值范围是. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若方程表示直线，则 B. ，分别为直线与上任意一点，则的最小值为 C. 当点到直线的距离最大时，的值为 D. 直线与相交于点，则过点，的直线方程为 【答案】CD 【解析】 【分析】A选项，举特例判断即可；B选项，两平行线距离即为的最小值，利用两平行线距离公式求出答案；C选项，先求出直线的定点，进而分析求解即可；D选项，代入，得到，根据两点确定一条直线，得到答案. 【详解】A选项，当不同时为0时，方程表示直线， 例如，此时表示的是一条直线，故A错误； B选项，直线与平行，故两平行线距离即为的最小值， 而，故两平行线距离为，故B错误； C选项，直线，即， 由，解得，则直线过定点， 因此，当点到直线的距离最大时， 与直线垂直， 而直线的斜率为，，则，故C正确； D选项，直线与相交于点， 故，因为两点确定一条直线， 则过点，的直线方程为，故D正确. 10. 已知等差数列的首项为，公差为，前项和为，若，则下列说法正确的是（     ） A. 的公差为 B. 当时，最大 C. 使得成立的最小自然数 D. 数列中最小项为 【答案】ACD 【解析】 【分析】通过判断，，的正负，使用判断公差的正负，并分析，的正负情况，以的取值分类讨论的最小项. 【详解】因为，所以，，， ，，，选项正确； ，，是前项和的最大值，而非，选项错误； 因为，，所以使得成立的最小自然数，选项正确； 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，所以， 当时，，，，所以数列中最小项为，选项正确. 故选： 11. 已知椭圆，左，右焦点分别为、，点为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 若椭圆上存在点，使得，则该椭圆离心率的取值范围为 C. 若，则的面积为 D. 当，时，坐标原点为，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A、利用均值不等式即可得到乘积的最大值；选项B、根据椭圆的焦半径范围求解离心率；选项C、先利用椭圆定义得到，再根据焦点三角形余弦定理以及面积公式，即可求解；选项D、先求出，设，再把坐标代入中，转化为二次函数求值域问题． 【详解】选项A、由椭圆定义， 由均值不等式得， 当且仅当时取等号，则选项A正确； 选项B、已知，又， 联立可得，则， 由，可得， 解不等式，可得， 解不等式，可得，所以， 则该椭圆离心率的取值范围为，则选项B错误； 选项C、设，， 已知，， 由余弦定理得，即， 则，解得， 所以的面积为，则选项C正确； 选项D、因为，，则， 所以，，，则， 设，满足． 则，，， 可变形为， 代入上式，可得， 这是开口向下的二次函数，对称轴为， 在对称轴处，， 在端点处，， 在端点处，， 所以的取值范围为，则选项D正确． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 经过，两点的直线的方向向量为，则________． 【答案】## 【解析】 【详解】由，可知，， 而直线方向向量为，故，解得. 13. 已知等比数列 的前 项和为 ，则 ______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用等比数列的前项和公式计算. 【详解】若等比数列的公比为，则，这与题设矛盾， 故等比数列的前项和，其中为公比， 所以常数项与的系数互为相反数，又因为，所以． 验证：时，，，，确为等比数列，所以. 14. 过圆 上一点 作圆 的一条切线 ，离心率为 的椭圆 ， 与椭圆 交于 ， 两点， 为坐标原点， 为 的中点，且点 不在 轴上，则直线 的斜率为 ________. 【答案】 【解析】 【分析】利用点差法得到椭圆中点弦斜率公式，并结合圆的切线性质列出直线斜率满足的关系式，再设点，利用斜率公式和圆的方程建立关系求解即可. 【详解】因为，所以，设在椭圆上， 代入得； 两式相减得，整理， 则， 又因为， 且点为弦的中点，所以，则， 所以， 且直线为圆的切线，则， 得到， 设， 所以，整理得，代入到圆方程中得. 故或 或， 综上，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列为等差数列，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则，解得， . 【小问2详解】 由（1）得：， . 16. 已知直线，． （1）证明：无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． （2）设直线l和圆C交于A，B两点，求线段AB最短时直线l的方程． 【答案】（1） 证明：（方法一）因为可化为， 令得，即无论m为何值，直线l恒过点， 又因为，所以点在圆C内， 所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． （方法二）圆心C到直线l的距离，所以，即， 所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：证明直线l恒过圆内一定点即可； 方法二：直接证明圆心到直线l的距离小于半径即可； （2）当时，弦AB最短，求此时直线l的方程. 【小问1详解】 证明：（方法一）因为可化为， 令得，即无论m为何值，直线l恒过点， 又因为，所以点在圆C内， 所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． （方法二）圆心C到直线l的距离，所以，即， 所以无论m为何值，直线l和圆C都有两个不同的交点． 【小问2详解】 由（1）知，因为直线l过圆内定点， ，所以当时，弦AB最短，此时， 因为，所以，直线l的方程为，即． 17. 已知正项等比数列的公比大于1，其前n项和为，且满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和． 【答案】（1）​ （2）​ 【解析】 【分析】（1）设公比为，由前三项和及第三项的值列方程，求出首项与公比，再写出通项公式． （2）将通项公式代入，化简得到，按和分类，利用等差数列求和公式分段求和． 【小问1详解】 设等比数列的公比为，则，由，，得， ，消去得，即，所以． 由，得，从而，故，． 【小问2详解】 由（1）得． 当时，前项均满足，故； 当时，前10项的和为，第11项至第项依次为，故． 综上，，． 18. 已知是等差数列，其前项和为，是等比数列，已知，，，是和的等比中项． （1）求和的通项公式； （2）设数列的前项和 ①求； ②对于恒成立，求实数的最大值． 【答案】（1）， （2）①；② 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式及等比数列的通项公式求解； （2）①求出，利用错位相减法求和.②将代入恒成立不等式：，从而得到对恒成立，设，问题转化为求,利用单调性求出的最小值，从而得到的最大值. 【小问1详解】 因为数列是等差数列，，， 所以， 解得，则. 则，则 ，，， 因为，所以 ， 则 ，. 【小问2详解】 ①由（1）得，代入数列通项：， 因此数列前项和为：， 将上式两边同乘公比：， 用错位相减法，作差： ， . ②将代入恒成立不等式：， 解得： ，即：对恒成立， 设，问题转化为求, , 当时， ， ，数列单调递减； 当时， ，，数列单调递增， 因此数列在处取得最小值，， 因此的最大值为. 19. 已知点A在圆上运动，过点A作x轴的垂线，垂足为B，点D满足条件. （1）求点D的轨迹C的方程； （2）在点D的轨迹C上存在两点E、F，使得以为直径的圆恰与C交于点（异于点），过点G作直线的垂线，垂足为H，求点H的轨迹方程； （3）在（2）的条件下，当点E在点F左侧时，若是C上一点，直线与关于直线对称，是否存在圆：使得直线，与该圆相切？若存在，求；不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2），去掉点 （3）存在，或3 【解析】 【分析】（1）通过向量关系建立动点D与已知圆上点A的坐标联系，代入圆方程求D的轨迹方程； （2）分直线的斜率存在、和不存在两种情况，结合利用圆的性质(直径所对的圆周角为直角)和垂直直线斜率关系，结，推导H的轨迹方程； （3）利用直线关于直线对称的斜率关系，分析圆与两条直线恒相切的条件，进而求解. 【小问1详解】 设，，则， 由，所以有， 则有，又，所以有，即， 所以点的轨迹的方程为. 【小问2详解】 当直线的斜率存在时， 设直线：，，， 联立，消去得， 则， 且，， 由题意，，即， 则， 即， 则， 化简得，即 ， 若，则直线：，所以直线过定点； 若，则直线：，此时直线过点（不合题意，舍去）. 当直线的斜率不存在时，，， 由，得，即， 又，则，所以， 即，解得或（舍去）. 综上所述，直线过定点， 由题意，，所以在以为直径的圆上，且不与点重合， 而的中点为，则圆的半径为， 故的轨迹为，去掉点. 【小问3详解】 设直线的斜率为，当时，直线斜率为，直线斜率为， 由题意知，，所以， 设直线的斜率为，要使，与圆相切， 则满足直线与的夹角等于直线与的夹角， 则，整理得， 因为 ，所以同号，即不为0，则或， 而，，则， 当时，，即；当时，，即， 当（与轴平行）时，与重合，此时垂直轴， 若圆K与和相切，则，此时 ，即或，满足题意. 综上所述，或3. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $